Теорема о взаимности перемещений (принцип

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ В СТЕРЖНЕВЫХ

СистемАХ. МЕТОД СИЛ

§ 14.1. Теорема о взаимности работ (теорема Бетти)

Рис.14.1

На горизонтальную балку АВ приложим статически силу Р1. Балка прогнется и займет положение пунктирной линии, сила Р1 совершит работу А11=Р1Δ11/2. Далее приложим статически силу Р2, балка еще прогнется (сплошная линия), сила

Р₂ совершит работу А₂₂ = Р₂Δ₂₂/2. При этом сила , постоянная на перемещении , совершит работу . Суммарная работа А при этом будет

А = А₁₁ + А₁₂ + А₂₂ = Р₁Δ₁₁/2 + Р₁Δ₁₂ + Р₂Δ₂₂/2. (14.1)

Здесь: Δ₁₁- перемещение по направлению Р₁ от Р₁;

Δ₁₂ – перемещение по направлению Р₁ от Р₂;

Δ₂₁ – перемещение по направлению Р₂ от Р₁;

Δ₂₂ – перемещение по направлению Р₂ от Р₂.

По принципу независимости действия сил, суммарную деформацию балки (сплошная линия) можно получить одновременно статически прикладывая Р₁ и Р₂. При этом получим ту же работу А:

А = Р₁(Δ₁₁+Δ₁₂)/2 + Р₂(Δ₂₁+ Δ₂₂)/2. (14.2)

Приравнивая (14.1) и (14.2) получим

Р₁Δ₁₂ = Р₂ Δ₂₁, или А₁₂ = А₂₁. (14.3)

Итак: Работа Р₁ по ее направлению на перемещение (Δ₁₂), вызванном Р₂ , равна работе Р₂ по ее направлению на перемещение (Δ₂₁), вызванном Р₁.Это и есть теорема Бетти. Эта теорема справедлива и в случае, когда под Р₁ и Р₂ подразумеваются системы нагрузок.

Теорема о взаимности перемещений (принцип

Максвелла)

Пусть на балку (рис. 14.1) приложены силы Р₁ = Р₂ = 1. Перемещения от этих единичных сил будем обозначать . С учетом (14.3) можно записать

, т.к. Р₁ = Р₂ = 1 получим

. (14.4)

Это и есть принцип Максвелла: для двух единичных нагружений упругой системы перемещение по направлению первой единичной силы, вызванное второй единичной силой, равно перемещению по направлению второй силы, вызванной первой силой.

§ 14.3. Формула перемещений (Мора)

В разделе 3, формула (3.18), показано, что потенциальная энергия деформации при растяжении (сжатии) стержня силой равна

. (14.5)

В разделе 5, формула (5.21), показано, что при изгибе стержня энергия .

В общем случае можно записать, допуская, что изгиб М может быть и относительно оси х ( ) и относительно оси у( ),

. (14.6)

Полагаем, что деформации стержней малы, материал их подчиняется закону Гука, потерь энергии нет и работы , определенные выше, переходят в потенциальные энергии , т.е. , где i = 1,2 и j = 1,2.

От нагрузки Р₁ в каждом стержне конструкции появляются N = N₁ и М = М₁. С учетом (14.5) и (14.6) и т.к. получим

. (1)

Здесь интегрирования надо вести по длине каждого стержня, а потом суммировать по всем стержням конструкции.

От нагрузки Р₂ в каждом стержне появляется N = N₂ и М = М₂, и тогда

. (2)

При одновременном действии нагрузок Р₁ и Р₂ в каждом стержне появятся N = N₁ + N₂ и М = М₁ + М₂, и тогда работа, совершаемая этими силами,

. (3)

Из формулы (14.1) найдем

.

Подставляя сюда формулы (1), (2) и (3), получим

.

После простых преобразований найдем:

. (4)

Полагаем: 1) Р₁ = 1 (единичная нагрузка), от нее возникают N₁ и М₁ во всех стержнях;

2) Р₂ = Р_Р – внешняя нагрузка, от нее в каждом стержне возникают N₂ = N_P, М₂ = М_Р, а т.к. А₁₂ = Р₁Δ₁₂ = 1∙ Δ₁₂ = Δ₁₂ = Δ_1Р.

Подставляя все вышесказанное в (4), получим

. (14.7)

Эта формула называется формула Мора, она определяет перемещение в направлении «единичной силы» от внешней нагрузки.