Преимущества потребителя и его функция полезности
Раздел 4. Модели поведения потребителей
Преимущества потребителя и его функция полезности
Решение потребителя о покупке определенного набора товаров математически можно представить как выбор точки в пространстве товаров. Пусть
n - конечное число разнообразных товаров, где x = (x1, ..., xn)Т вектор-столбец потребительских товаров (объемы), которые приобрел покупатель за определенный срок (например, в течение года) при заданных ценах, имея определенный объем доходов за этот же период.
Пространство товаров - это множество различных наборов товаров x с соответствующими координатами.
.
В теории потребительского выбора принимается гипотеза о том, что каждый потребитель имеет свои приоритеты на определенном подмножестве пространства товаров:
.
Это означает, что для каждой пары имеет место одно из трех отношений:
– набор x предпочтительнее, чем y;
– набор x является менее привлекательным, чем y;
– для потребителя оба набора эквивалентны.
Отношения предпочтения имеют следующие свойства:
1) если и , то (транзитивность;
2) если x>y, то (ненасыщенность: больший набор всегда привлекательней меньшего).
Справедлива также теорема Дебрэ: Если множество X связное без дыр, а отношения предпочтения непрерывны, то функция полезности существует. Предпочтения потребителя можно представить в форме индикатора преимуществ, то есть такой функции полезности u(x), что из следует u(x) > u(y), а с x ~ y следует u(x) = u(y).
Для каждого потребителя такое представление индикатора является множественным. Например, если u(x) - функция полезности, то и cu(x),
и ln u(x) - также индикатор преимуществ.
Введение функции полезности позволяет заменить отношение предпочтения привычными отношениями между числами: больше, меньше, равно.
В теории потребления вводятся гипотезы и считается, что функция полезности обладает следующими свойствами:
1) - с ростом потребления блага полезность растет;
2) - небольшой прирост блага при его начальном отсутствии резко увеличивает полезность;
3) - с ростом потребления блага скорость роста полезности уменьшается (падает);
4) - дальнейшее увеличение очень большого объема блага, не приводит к росту полезности.
Условие 3 обычно используется в более широкой трактовке - как матрица вторых производных (матрица Гессе)
и является отрицательно определенной.
Предельная полезность товара
показывает, на сколько возрастает полезность, если количество товара возрастает в малом объеме.
Поверхностью безразличия называют гиперповерхность размерностью (n - 1), на которой полезность постоянна:
или имеет дифференциальную форму:
(4.1)
Условие (4.1) означает, что касательная к поверхности безразличия перпендикулярна градиенту полезности.
Это означает (с точки зрения потребителя) возможность замены одного товара определенным количеством другого (равноценного) товара.
Пусть в (4.1) dxi = 0 для i = 3, …, n, тогда это соотношение имеет вид:
откуда
(4.2)
то есть предельная норма замещения первого товара вторым равна отношению предельной полезности первого и второго товаров.
Норма замещения показывает, сколько необходимо единиц второго товара, чтобы заменить малый объем выбывшего первого товара.
Бюджетным множеством называют множество тех наборов товаров, которые может приобрести потребитель, имея доход объемом M:
где p = (p1, ..., pn) - вектор-строка цен.