Матрицы. Определители. Системы

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ № 1

Матрицы. Определители. Системы.

Задание 1. Даны матрицы А, В, С. Выполнить действия в выражениях, имеющих смысл:

AB+C, BA+C,

AC+B, CA+B,

BC+A, CB+A.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

26.

Задание 2.Вычислить определитель пятого порядка.

1.3 1 2 1 1 2. 1 0 1 0 0 3. 1 0 2 -1 0

1 -5 1 -5 1 -1 -5 1 -5 -4 -1 44 1 -5 -4

-2 0 3 1 0 -2 2 0 1 0 -2 2 0 1 0

0 1 1 1 0 1 -1 1 11 1 8 -1 1 2 1

1 -1 1 3 1 3 1 1 13 0 3 1 4 13 4

4. 1 9 2 -1 0 5. 1 1 2 -1 0 6. 0 1 0 -1 0

-1 0 1 -5 -2 4 0 -3 6 -2 2 2 82 3 -2

3 2 1 -1 1 3 2 1 -1 4 3 -4 1 -1 4

1 -1 1 0 1 11 -1 0 0 -1 1 -1 -41 0 1

3 1 4 2 4 0 1 4 2 -7 5 1 2 1 1

7. -1 1 -1 1 6 8. -1 -7 -9 1 1 9. 2 -7 1 7 3

2 3 1 6 3 -5 8 4 2 1 -2 -2 -4 -7 3

-4 0 16 -3 -24 0 0 10 5 1 0 4 7 1 9

-1 2 6 0 -2 1 -6 1 -6 3 -4 -6 -5 0 -8

1 -1 -4 1 2 -8 -5 0 1 7 6 -4 -1 3 5

10. 0 -1 9 -4 -5 11. -2 -9 0 -3 4 12. -8 -7 -5 4 2

-2 -2 -7 -2 -6 -2 0 6 -6 3 1 3 5 3 2

9 -1 8 -3 3 0 0 -8 -3 2 8 3 2 0 -6

-5 3 0 6 4 -2 7 -1 0 -7 0 0 -4 -7 0

9 -4 -4 6 -6 1 8 -1 -6 3 -4 -5 -7 5 0

13. 8 3 -7 -9 -7 14. 5 1 -8 9 -1 15. 3 1 -5 -2 -1

4 -4 0 -1 2 0 -4 6 -3 4 5 -4 8 5 7

6 4 -9 5 4 1 -4 0 1 -4 9 -7 -9 -7 12

-9 -2 9 1 -7 -4 -5 9 -4 2 9 0 -9 -7 4

5 2 -6 2 -3 7 8 -9 5 7 7 4 -1 4 -5

16. 4 2 2 8 0 17. 6 -6 3 -8 0 18. -3 -4 0 -7 8

5 1 -6 9 1 0 0 3 -6 6 1 5 7 7 1

5 6 8 -7 7 7 5 0 -8 5 1 -2 -8 1 -5

7 0 5 3 1 -6 -2 3 5 -3 -3 -6 -9 2 7

2 -1 8 -5 0 -5 -3 -4 5 1 5 5 -3 -1 1

19. 0 -6 8 -2 7 20. -4 -3 -8 4 3 21. 0 6 -2 2 1

6 -3 4 -2 5 -2 -5 -4 3 4 9 7 -1 -9 -9

0 -1 6 -2 4 0 -6 0 1 -1 0 -8 3 -3 0

9 -9 7 -1 7 2 -4 -7 -3 -1 3 1 0 -6 1

-3 -4 -5 0 5 -6 6 5 5 -9 2 0 -4 0 -9

22. -3 0 3 2 3 23. -9 1 -9 8 2 24. -9 -7 6 3 -3

-9 -2 -6 -3 -3 -5 0 -4 8 -3 -1 3 -6 -2 1

7 3 6 3 3 7 0 3 -3 -2 0 9 -3 6 5

0 -3 -6 -3 -3 6 -1 -7 2 -7 -8 4 -2 7 -2

0 4 6 6 5 2 -3 8 -9 -3 -5 8 -5 5 8

25. -6 0 -2 -18 -9 26. 9 -8 -5 -9 6

4 -2 -3 9 -5 -4 -9 -3 0 5

4 9 -7 3 3 3 0 -8 -8 1

7 -1 9 -18 -4 3 2 -3 -8 1

7 6 -3 -9 -5 -6 6 2 -6 0

Задание 3.Решить матричные уравнения.

1. a) ; b)

2. a) ; b)

3. a) ; b)

4. a) ; b)

5. a) ; b)

6. a) ; b)

7. a) ; b)

8. a) ; b)

9. a) ; b)

10. a) ; b)

11. a) ; b)

12. a) ; b)

13. a) ; b)

14. a) ; b)

15. a) ; b)

16. a) ; b)

17. a) ; b)

18. a) ; b)

19. a) ; b)

20. a) ; b)

21. a) ; b)

22. a) ; b)

23. a) ; b)

24. a) ; b)

25. a) ; b)

26. a) ; b)

Задание 4.Решить систему (в матрицах второго порядка).

1. , ;

2. , ;

3. , ;

4. , ;

5. , ;

6. , ;

7. , ;

8. , ;

9. , ;

10. , ;

11. , ;

12. , ;

13. , ;

14. , ;

15. , ;

16. , ;

17. , ;

18. , ;

19. , ;

20. , ;

21. , ;

22. , ;

23. , ;

24. , ;

25. , ;

26. , .

Задание 5.Дана система уравнений.

a) Записать эту систему в матричной форме.

b) Показать, что система имеет единственное решение.

c) Найти решение системы по формулам Крамера.

d) Найти решение системы методом Гаусса.

e) Решить систему матричным способом.

1. 2. 3.

4. 5. 6.

7. 8. 9.

10. 11. 12.

13. 14. 15.

16. 17. 18.

19. 20. 21.

22. 23. 24.

25. 26.

Задание 6.Дана система векторов , , , . Указать один из базисов линейной оболочки < , , , > и ее размерность. Найти координаты векторов в этом базисе.

1. , , ,

2. , , ,

3. , , ,

4. , , ,

5. , , ,

6. , , ,

7. , , ,

8. , , ,

9. , , ,

10. , , ,

11. , , ,

12. , , ,

13. , , ,

14. , , ,

15. , , ,

16. , , ,

17. , , ,

18. , , ,

19. , , ,

20. , , ,

21. , , ,

22. , , ,

23. , , ,

24. , , ,

25. , , ,

26. , , ,

Задание 7.Исследовать на совместность системы , , .

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

26.

Задание 8.Образует ли линейное пространство заданное множество, в котором определены сумма любых двух элементов и и произведение любого элемента на любое число ?

1. Множество всех векторов, лежащих на одной оси;

сумма , произведение .

2. Множество всех векторов на плоскости, каждый из которых лежит на одной из осей;

сумма , произведение .

3. Множество всех векторов, лежащих на одной оси;

сумма , произведение .

4. Множество всех векторов, являющихся линейными комбинациями векторов , , ;

сумма , произведение .

5. Множество всех функций , , принимающих положительные значения;

сумма , произведение .

6. Множество всех непрерывных функций , , заданных на ;

сумма , произведение .

7. Множество всех четных функций , , заданных на ;

сумма , произведение .

8. Множество всех нечетных функций , , заданных на ;

сумма , произведение .

9. Множество всех многочленов третьей степени от переменной ;

сумма , произведение .

10. Множество всех многочленов степени, меньшей или равной трем от переменных , ;

сумма , произведение .

11. Множество всех упорядоченных наборов из чисел

, ;

сумма ,

произведение .

12. Множество всех упорядоченных наборов из чисел

, ;

сумма , произведение .

13. Множество всех сходящихся последовательностей , ;

сумма , произведение .

14. Множество всех многочленов от одной переменной степени меньшей или равной ;

сумма , произведение .

15. Множество всех диагональных матриц

;

сумма , произведение .

16. Множество всех невырожденных матриц

;

сумма , произведение .

17. Множество всех квадратных матриц

;

сумма , произведение .

18. Множество всех диагональных матриц размера ;

сумма , произведение .

19. Множество всех квадратных матриц

;

сумма , произведение .

20. Множество всех симметричных матриц

;

сумма , произведение .

21. Множество всех целых чисел;

сумма , произведение .

22. Множество всех действительных чисел;

сумма , произведение .

23. Множество всех положительных чисел;

сумма , произведение .

24. Множество всех отрицательных чисел;

сумма , произведение .

25. Множество всех действительных чисел;

сумма , произведение .

26. Множество всех дифференцируемых функций , ;

сумма , произведение .

Задание 9. Исследовать на линейную зависимость систему векторов.

1.

2. на .

3.

4. на .

5.

6. на .

7.

8. на .