Бесконечно малые функции и их свойства. Определение. Функция называется бесконечно малой функцией при , если

Определение. Функция Бесконечно малые функции и их свойства. Определение. Функция называется бесконечно малой функцией при , если - student2.ru называется бесконечно малой функцией при , если Бесконечно малые функции и их свойства. Определение. Функция называется бесконечно малой функцией при , если - student2.ru .

Аналогично определяются бесконечно малые функции при Бесконечно малые функции и их свойства. Определение. Функция называется бесконечно малой функцией при , если - student2.ru .

Бесконечно малые функции иначе называют бесконечно малыми величинами, или бесконечно малыми, и обозначают греческими буквами Бесконечно малые функции и их свойства. Определение. Функция называется бесконечно малой функцией при , если - student2.ru .

Примеры б. м. ф. функций: Бесконечно малые функции и их свойства. Определение. Функция называется бесконечно малой функцией при , если - student2.ru при ;

Бесконечно малые функции и их свойства. Определение. Функция называется бесконечно малой функцией при , если - student2.ru при .

Свойства б. м. ф.

1.Алгебраическая сумма конечного числа б. м. ф. есть б. м. ф.

2.Произведение ограниченной функции на б. м. ф. есть б. м. ф.

3.Произведение б. м. ф. на число есть б. м. ф.

4.Произведение двух б. м. ф. есть б. м. ф.

5.Частное от деления б. м. ф. на функцию, имеющую отличный от нуля предел , есть б. м. ф.

6.Частное от деления функции, имеющей отличный от нуля предел, на б. м. ф. есть б. б. ф.

7.Частное от деления функции, имеющей отличный от нуля предел, на б. б. ф. есть б. м. ф.

8.Если функция Бесконечно малые функции и их свойства. Определение. Функция называется бесконечно малой функцией при , если - student2.ru является б. м. ф. и не равна нулю, то функция есть б. б. ф. и наоборот, если функция Бесконечно малые функции и их свойства. Определение. Функция называется бесконечно малой функцией при , если - student2.ru является б. б. ф., то функция есть б. м. ф.

Примеры вычисления пределов с помощью свойств б. б. ф. и б. м. ф.

1.	2.
3.	4.

7.3. Связь между функцией, ее пределом и б. м. ф.

Теорема. Если Бесконечно малые функции и их свойства. Определение. Функция называется бесконечно малой функцией при , если - student2.ru , то ,

где Бесконечно малые функции и их свойства. Определение. Функция называется бесконечно малой функцией при , если - student2.ru - это б. м. ф. при .

Доказательство.

Бесконечно малые функции и их свойства. Определение. Функция называется бесконечно малой функцией при , если - student2.ru ,

т.е. Бесконечно малые функции и их свойства. Определение. Функция называется бесконечно малой функцией при , если - student2.ru .

Следовательно Бесконечно малые функции и их свойства. Определение. Функция называется бесконечно малой функцией при , если - student2.ru это б. м. ф. при , которую обозначим через . Таким образом, Бесконечно малые функции и их свойства. Определение. Функция называется бесконечно малой функцией при , если - student2.ru ¢.

Теорема.(обратная)Если Бесконечно малые функции и их свойства. Определение. Функция называется бесконечно малой функцией при , если - student2.ru , то

Доказательство. Так как Бесконечно малые функции и их свойства. Определение. Функция называется бесконечно малой функцией при , если - student2.ru есть б. м. ф. при , то .

Бесконечно малые функции и их свойства. Определение. Функция называется бесконечно малой функцией при , если - student2.ru ¢

Сравнение бесконечно малых функций

Известно, что сумма, разность и произведение б. м. ф. есть б. м. ф.

Отношение б. м. ф. может быть конечным числом, или может быть б.м. ф., или может быть б. б. ф., или может вообще не стремиться ни к какому пределу.

Две б. м. ф. сравниваются между собой с помощью их отношения.

Пусть Бесконечно малые функции и их свойства. Определение. Функция называется бесконечно малой функцией при , если - student2.ru и являются б.м.ф. при .

1. Если Бесконечно малые функции и их свойства. Определение. Функция называется бесконечно малой функцией при , если - student2.ru , то называется б.м.ф. более высокого порядка, чем Бесконечно малые функции и их свойства. Определение. Функция называется бесконечно малой функцией при , если - student2.ru .

2. Если Бесконечно малые функции и их свойства. Определение. Функция называется бесконечно малой функцией при , если - student2.ru , то называется б.м.ф. более низкого порядка, чем Бесконечно малые функции и их свойства. Определение. Функция называется бесконечно малой функцией при , если - student2.ru .

3. Если Бесконечно малые функции и их свойства. Определение. Функция называется бесконечно малой функцией при , если - student2.ru , то и называются б. м. ф. одного порядка.

4. Если Бесконечно малые функции и их свойства. Определение. Функция называется бесконечно малой функцией при , если - student2.ru не существует, то и называются несравнимыми б.м.ф.

5. Если Бесконечно малые функции и их свойства. Определение. Функция называется бесконечно малой функцией при , если - student2.ru , то и называются эквивалентными б. м. ф.

Обозначаются эквивалентные б. м. ф. так: Бесконечно малые функции и их свойства. Определение. Функция называется бесконечно малой функцией при , если - student2.ru

Среди б. м. ф. эквивалентные б. м. ф. играют особую роль.

Свойства эквивалентных б. м. ф.

1. Предел отношения двух б. м. ф. не изменится, если каждую или одну из них заменить эквивалентной б. м. ф.

2. Разность двух эквивалентных б.м.ф. есть б.м.ф. более высокого порядка, чем каждая из них.

3. Сумма конечного числа б.м.ф. разных порядков эквивалентна слагаемому низшего порядка.

Свойства эквивалентных б.м.ф. применяют для раскрытия неопределенностей Бесконечно малые функции и их свойства. Определение. Функция называется бесконечно малой функцией при , если - student2.ru при вычислении пределов.

Пример 1.

	(отбросили в числителе б. м. ф. более высокого порядка)
.	(заменили эквивалентной ей функцией при ).