С использованием преобразования Лапласа

Второй часть лабораторной работы будет решение дифференциальных уравнений с использованием преобразования Лапласа. Пример решения представлен ниже.

Решить дифференциальных уравнений с использованием преобразований Лапласа:

.

Допустим, входной сигнал имеет форму единичного ступенчатого воздействия, т.е. . Тогда изображение входного сигнала .

Производим преобразование исходного ДУ по Лапласу и подставляем :

Определяется выражение для :

.

Оригинал полученной функции отсутствует в таблице оригиналов и изображений (таблица 1). Для решения задачи его поиска дробь разбивается на сумму простых дробей с учетом того, что знаменатель может быть представлен в виде

s(s + 2)(s + 3)

Сравнивая получившуюся дробь с исходной, можно составить систему из трех уравнений с тремя неизвестными:

Решая систему уравнений, получим следующие корни:

Следовательно, дробь можно представить как сумму трех дробей: .

Теперь, используя табличные функции, определяется оригинал выходной функции:

.

Функция y(t) является решением дифференциального уравнения.

Таблица 1 преобразований Лапласа

Оригинал x(t)	Изображение X(s)

Записываем заданные дифференциальные уравнения.

Решение:

По заданным дифференциальным уравнениям записать передаточные

Функции и оценить устойчивость звеньев по корням

Характеристических уравнений (используется корневой критерий)

Пример решения представлен ниже.

Из полученного выражения во второй части лабораторной работы получаем передаточную функцию:

Теперь использую корневой критерий, оцениваем устойчивость системы.

Корневой критерий формулируется следующим образом: линейная АСР устойчива, если все корни характеристического уравнения лежат в левой полуплоскости. Инными словами, все действительные части комплексных корней должны быть отрицательными. В противном случае система неустойчива.

Так как в данном случае все корни отрицательны(-2; -3), делаем вывод, что система устойчива.

Решение:

Вывод:

Практическая работа № 2

Исследование частотных характеристик

Типовых динамических звеньев

Цель работы:определение динамических свойств элементарных звеньев и показателей качества переходного процессапо полученным частотным характеристикам.

Общие сведения

Частотной характеристикой называется реакция звена (системы) на синусоидальное входное воздействие.

Отношение выходного сигнала к входному при подаче на вход синусоидальной функции называется частотной передаточной функцией или амплитудно-фазовой характеристикой (АФЧХ).

W(jω) = A(ω)e^jφ(ω) = P(ω)+jQ(ω),

где P(ω)–вещественная часть амплитудно-фазовой характеристики; Q(ω)–мнимая часть амплитудно-фазовой характеристики.

Так же, как и передаточная функция ω(s), частотная передаточная функция представляет собой отношение выходной координаты к входной.

Только в первом случае это отношение рассматривается в изображениях по Лапласу, а во втором случае - в виде отношения гармонических сигналов в показательной форме:

где А(ω) –модуль частотной передаточной функции или амплитудная характеристика,

где φ(ω) –аргумент частотной передаточной функции или фазовая характеристика.

Амплитудной характеристикой называется зависимость амплитуды выходного сигнала от частоты.

Фазовой характеристикой называется зависимость сдвига фаз выходного сигнала от частоты по отношению к входному.

Удобной формой представления частотных характеристик являются логарифмические частотные характеристики, состоящие из логарифмической амплитудной характеристики (ЛАХ) и логарифмической фазовой характеристики (ЛФХ).

Логарифмическая амплитудная характеристика апериодического звена представляется в виде

Единицей измерения амплитуды на выходе звена (системы) является децибел. Один бел соответствует увеличению мощности сигнала в 10 раз, два бела – в 100 раз. Децибел равен одной десятой части бела.

Частота ω в логарифмических частотных характеристиках измеряется в декадах. Одна декада соответствует изменению частоты в 10 раз.

Фазовый сдвиг φ(ω) при построении в логарифмическом масштабе остается в тех же единицах (в радианах или в градусах).

Логарифмической амплитудной характеристикой (ЛАХ) называется зависимость относительной амплитуды, выраженной в децибелах, от частоты, выраженной в декадах.

Логарифмической фазовой характеристикой (ЛФХ) называется зависимость фазового сдвига, выраженного в радианах или в градусах, от частоты, выраженной в декадах:

φ(ω) = f(lg(ω)).