Решения дифференциальных уравнений

Аналитическое (символьное) решение дифференциальных уравнений осуществляется с помощью команды DSolve, которая имеет три формата DSolve[eqn,y,x] - решает обыкновенное дифференциальное уравнение eqn относительно неизвестной функции y[x] независимой переменной x;

DSolve[{eqn₁,eqn₂,…,},{y₁,y₂,…},x] - решает систему обыкновенных дифференциальных уравнений {eqn₁,eqn₂,…} относительно неизвестных функций {y₁[x],y₂[x],…} независимой переменной x;

DSolve[eqn,y,{x₁,x₂,…}] - решает дифференциальное уравнение в частных производных eqn относительно неизвестной функции y[x₁,x₂,…] независимых переменных x₁,x₂, … .

Решение представлено в виде подстановки, константа интегрирования обозначена как C[1]. Если желательно другое обозначение для этой константы, то следует использовать опцию DSolveConstants→K:

Для использования полученного решения можно, например, присвоить подстановке некоторое имя

и определить соответствующую функцию

Проверка показывает, что цель достигнута:

Если необходимо решить дифференциальное уравнение с определенными граничными (или начальными) условиями, то их надо определить в списке решаемых уравнений, например, следующая команда интегрирует уравнение y’[x]==ay[x] с условием y[0]=5:

Константа интегрирования при этом оказывается автоматически определенной. Если нужно решить систему дифференциальных уравнений

то соответствующая команда имеет вид

Численное решение дифференциальных уравнений осуществляется с помощью команды NDSolve, которая имеет три формата:

NDSolve[eqns,y[x],{x,a,b}] - находит приближенное решение обыкновенного дифференциального уравнения eqns (с начальными условиями) относительно неизвестной функции y[x] независимой переменной x в интервале [a,b];

NDSolve[{eqn₁,eqn₂,…},{y₁,y₂,…},{x,a,b}] - численно решает систему обыкновенных дифференциальных уравнений {eqn₁,eqn₂,…) с начальными условиями относительно неизвестных функций {y₁[x],y₂[x],…} независимой переменной x на интервале [a,b];

NDSolve[eqn,y,{x₁,x₂,…}] - численно решает дифференциальное уравнение в частных производных eqn относительно неизвестной функции y[x₁,x₂,…] независимых переменных x₁,x₂, … .

Так, дифференциальное уравнение третьего порядка с начальными условиями можно численно проинтегрировать командой

Результат интегрирования Mathematica выводит в форме некоторой интерполяционной функции, для которой можно построить график:

Индивидуальные задания:

1. Решить уравнение символьно и численно уравнение:

№	Задание	№	Задание

2. Решить систему уравнений:

№	Задание	№	Задание

3. Решить символьно и численно дифференциальные уравнения:

№	Задание	№	Задание
	;		;
	;		;
	;		;
	;		;
	;		;
	;		;
	;		;

4. Решить дифференциальное уравнение:

№	Задание	№	Задание