Раусстың орнықтылық критерийі

Кез келген реттегі жүйенің орнықтылығының қажетті және жеткілікті шарты сипаттамалық теңдеуді шешпей-ақ қарастыруға оның коэффициенттерін енгізу арқылы 1977 жылы Раусс тапты және оны теңсіздіктер түрінде тұжырымдады.

Раусс критерийінің мағынасы мынада. Келесі сипаттамалық теңдеу берілсін

(5.17)

Коэффициент a₀ > 0 деп ұйғарайық. Егер олай болмаса, онда a₀ коэффи-циентін –1 көбейту арқылы сипаттамалық теңдеуді қажетті түрге келтіреміз. Раусс төмендегідей ережелерді пайдаланып, сипаттамалық теңдеудің коэффициенттерінен таблица 5.1 құрастырды.

Таблица 5.1 бірінші жатық жолы сипаттамалық теңдеудің жұп индексті коэффициенттерімен толтырылады. Екінші жатық жолға тақ индексті коэффициенттері жазылады. Үшінші жатық жолдағы коэффициенттер алғашқы екі жатық жолдың элементтері арқылы, ал төртінші жатық жолдағылар – екінші және үшінші жатық жолдағы элементтер арқылы келесі формулалар бойынша есептеледі

(5.18)

, (5.19)

мұндағы - тік жол номерлері.

Таблица 5.1

r мәні	жатық жол номері	Тік жолдар номері
			...
-					...
-					...
					...
					...
					...
					...
...	...	...	...	...	...

Бесінші, алтыншы және келесі барлық жатық жолдардағы коэффициенттер құрылымы (5.18) ұқсас формулалар бойынша есептеледі.

(5.20)

мұндағы - жатық жол номерлері.

Таблица 5.1 толтыру соған дейін жалғасады, сипаттамалық теңдеудің берілген ретіне сәйкес тек бір ғана элементі бар сипаттамалық теңдеудің бос мүшесіне сәйкес келетін жатық жол алынғанша.

Раусс дәлелдеді: орнықтылық шарты орындалу үшін және осыған сәйкес сипаттамалық теңдеудің барлық түбірлері теріс нақты бөлікті болуы үшін (яғни сипаттамалық теңдеудің барлық түбірлері сол жарты жазықтықта орналасуы үшін) қажетті және жеткілікті таблицадағы бірінші тік жолдағы коэффициенттердің барлығы оң болғаны, яғни келесі теңсіздіктердің орындалуы

(5.21)

Егер (5.21) теңсіздіктері орындалса және барлық түбірлері теріс нақты бөлікті болса, онда (5.18) - (5.21) өрнектері алынады, сипаттамалық теңдеудің барлық коэффициенттері оң болады. Бірақ, кері тұжырым үнемі орындалмайды (шындық болмайды). Яғни, егер сипаттамалық теңдеудің барлық коэффициенттері оң болса, барлық түбірлері бұл теңдеудің теріс нақты бөлікті болады деп айтуға болмайды.

Сипаттамалық теңдеудің барлық коэффициенттерінің оң болғаны қажетті шарт болады, бірақ барлық жағдайларда жеткілікті емес.

Бірінші ретті теңдеу

(5.22)

үшін Раусс коэффициенттер таблицасы және формулалар (5.18), (5.19) теңсіздіктер жүйесі (5.21) келесі түр қабылдайды

(5.23)

Раусс таблицасының қалған коэффициенттерінің барлығы нольге тең болады.

(5.23) теңсіздіктері, бірінші ретті жүйелердің орнықтылығының қажетті және жеткілікті шартын көрсетеді, (5.22) сипаттамалық теңдеуінің коэффициенттерінің оң болғанын.

Екінші ретті сипаттамалық теңдеуді қарастырайық

. (5.24)

Формулалар (5.18) және (5.19) бойынша есептелетін (5.21) теңсіздіктер жүйесінің коэффициенттерінің тек с₁₃ коэффициенті ғана нольден өзгеше және тең болады

.

Сонымен, екінші ретті жүйе орнықтылығының қажетті және жеткілікті шарты келесі теңсіздіктердің орындалуы болады

, (5.25)

ал (5.25) теңсіздігі сипаттамалық теңдеудің барлық коэффициенттерінің оң болғанын талап етеді.

Үшінші және одан да жоғары ретті теңдеулер жағдайында сипаттамалық теңдеудің коэффициенттерінің оң болуы жүйенің орнықтылығын қамтамасыз ету үшін жеткіліксіз болады.

Шындығында да, үшінші ретті теңдеу

. (5.26)

коэффициенттер с₂₃, с₂₄ үшін нольдік мәндер береді және (5.18) формуласы бойынша анықталатын келесі коэффициенттер с₁₃ және с₁₄ тең болады

.

Раусс критерийі бойынша орнықтылықтың қажетті және жеткілікті шарттары теңсіздіктер түрінде алынады

. (5.27)

Көрсетілген (5.27) теңсіздіктерінің ішінде үшінші теңсіздіктің орындалуы тек болғанда ғана мүмкін. Онда орнықтылық үшін (5.26) сипаттамалық теңдеуінің барлық коэффициенттерінің оң болғаны қажет. Бірақ, бұл жеткіліксіз. Тағы да

теңсіздігімен анықталатын қосымша шарттың орындалғаны қажет.

Егер Раусс критерийін пайдаланған кезде (5.21) теңсіздіктер жүйесінің Раусс таблицасының бірінші жатық жолындағы кейбір коэффициенттері теріс болса, онда олардың саны сипаттамалық теңдеудегі оң нақты бөлікті түбірлердің санына тең болады.