ТФКП. Операционное исчисление

Банк задач

Математический анализ

III семестр

ИВТ 2012-2013

Модуль 1 Кратные, криволинейные интегралы.

1. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями Д: .

2. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: y = 5 - x²; y = 1.

3. Вычислить:

4.

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: .

5. Найти площадь области, ограниченной линиями y = ln(3x), x=1/3, x=e.

6. Вычислить , D: y=x³, x=0, y=1.

7. Вычислить

8. Вычислить

9. Вычислить .

10. Найти объем тела, ограниченного поверхностями

11.
Вычислить , если контур С: y=2x²; от (.) А(1,2) до (.) В(2,8).

12. Вычислить по контуру С: .

13. Вычислить , где С: x²+y²=4, z=1

14. Вычислить интеграл ∫_γ(x²y-3x)dx+(y²x+2y)dx

x=3cos t

где γ дуга эллипса y=2sin t t є, [0,π]

15. Вычислить , вдоль ломаной ABC, где А(1,2), В(1,5), С(3,5).

Модуль 2 Поверхностные интегралы. Элементы теории поля.

16. Дана функция U(A)=U(x,y,z) и точки A1(1;-1;2), A2(3;4;-1)

Вычислить:

А) производную этой функции в точке A1 по направлению вектора ;

В) grad U(A1).

17. Найти векторные линии векторного поля F=xί+yј

18. Найти div , если .

19. Найти rot , если .

20. . Найти rot .

21. . Найти rot(rot ).

22. Установить потенциальность поля и найти его потенциал.

23. Установить соленоидальность векторного поля . Найти векторный потенциал.

24. Проверить, является ли векторное поле потенциальным, соленоидальным. .

25. С помощью формулы Остроградского - Гаусса вычислить поток поля =(x+y, x-z, 2y-2z) через поверхность пирамиды: x=0, y=0, z=0, 2x-3y+3z+6=0.

26. Найти поток векторного поля

через часть плоскости p:x+2y+3z=1, расположенную в I октанте.

27.

Найти циркуляцию векторного поля

вдоль контура

28.

Найти работу силового поля вдоль дуги параболы y=x²- 2x- 3 от т. А(0, -3) до т. В(3, 0).

29. Найти циркуляцию векторного поля по замкнутому контуру С, образованному пересечением плоскости (р) с координатными плоскостями, и поток поля через поверхность пирамиды, образованной плоскостями (р), x=0, y=0, z=0 в направлении внешней нормали к ее поверхности: .

30. . Найти grad(div ).

Модуль 3 Элементы гармонического анализа. Ряды.

ТФКП. Операционное исчисление.

Ряды

31. Исследовать сходимость ряда .

32. Исследовать сходимость ряда .

33. Исследовать сходимость ряда:

34. Исследовать сходимость ряда:

35. Исследовать на абсолютную или условную сходимость

36. Исследовать сходимость ряда .

37. Исследовать сходимость знакочередующегося ряда

38. Найти область сходимости степенного ряда .

39. Найти область сходимости степенного ряда

40. Найти интервал сходимости и исследовать сходимость на концах интервала

41. Разложить в ряд Тейлора функцию y= , найти область сходимости ряда

Элементы гармонического анализа.

42. Является ли функция периодической?

43. Является ли функция периодической?

44. Найти период функции .

45. Написать закон гармонических колебаний с амплитудой 5, частотой 2 и начальной фазой .

46. Разложить в ряд Фурье функцию f(x) =1 при 0 П и f(-x) = -f(x).

47. Разложить в ряд Фурье функцию y = на (-П,П)

48. Разложить функцию в ряд Фурье (при необходимости продолжив её периодически на всю числовую ось)

y=x-1 , -2<x 2

49. Разложить функцию на промежутке (-П, П] в ряд Фурье, найти и построить амплитудный и фазовый спектры функции

50. Разложить функцию в ряд Фурье, построить амплитудный и фазовый спектры функции

f(x) =
-1 при x [-2 ;1)
x при x [-1; 1)
1 при x [1;2)

51. Представить интегралом Фурье функцию

Теория функции комплексного переменного.

52. Записать в алгебраической, тригонометрической и показательной форме:

; .

53. Выполнить действия: .

54. Вычислить:

55. Построить множество точек комплексной плоскости, удовлетворяющих условиям:

а). b).

56. Вычислить:

в точке .

57. Проверить, выполняются ли для функции Условия Коши-Римана, и найти производную в точке z0 ( ):

58. Проверить гармоничность функций U(x,y), V(x,y) и восстановить по вещественной или мнимой части.

.

59. Вычислить интеграл

∫(с)dz∕z c: z=3 , Rez>0

60. Вычислить интеграл

ί+2

∫(z³+z²)dz

61. Вычислить интеграл:

Операционное исчисление

62. Найти оригиналы по заданным изображениям

с)

д)

63. Найти изображение для оригинала:

1.

2.

64. Операционным методом решить дифференциальные уравнения, удовлетворяющие заданным начальным условиям:

A

B

65. Найти решение системы уравнений.