Необхідна ознака збіжності числового ряду. Гармонійний ряд.

Лекція 23

Тема: Числові ряди.

Основні поняття

Нескінченні ряди широко використовуються в теоретичних дослідженнях математичного аналізу, мають різноманітні практичні застосування.

Числовим рядом (або просто рядом) називається вираз вигляду

(1)

де дійсні або комплексні числа, які називають членами ряду, -загальним членом ряду.

Ряд (1) вважається заданим, якщо відомий загальний член ряду виражений як функція його номера .

Сума перших членів ряду (1) називається -ою частинною сумоюряду і позначається через , тобто . Розглянемо часткові суми

Якщо існує кінцева границя послідовності часткових сум ряду (1), то цю границю називають сумою ряду(1) і говорять, що ряд збігається. Записують: .

Якщо не існує або , то ряд (1) називають тим, що розбіжний. Такий ряд суми не має.

Розглянемо приклади:

1. Ряд 2 + 17 - + 196 + ... не можна вважати заданим, а ряд 2 + 5+8 + ... — можна: його загальний член задається формулою

2. Ряд 0 + 0 + 0 + ... + 0 + ... збігається, його сума дорівнює 0.

3. Ряд 1 + 1 + 1 + ... + 1 + ... розбіжний при

4. Ряд 1 – 1 + 1 –1 + 1 – 1 + ... розбіжний, оскільки послідовність, частинних сум 1,0,1,0,1,0... не має границі.

5. Ряд збігається. Дійсно,

……………………,

Отже, тобто ряд збігається, його сума дорівнює 1.

Властивість 1. Якщо ряд (1) збігається і його сума дорівнює , то ряд

(2)

де с – довільне число, також збігається і його сума дорівнює . Якщо ж ряд (1) розбіжний і , то і ряд (2) розбіжний.

Позначимо частинну суму ряду (2) через . Тоді

.

Отже, тобто ряд (2) збігається і має суму

Покажемо тепер, що якщо ряд (1) розбіжний , то і ряд (2) розбіжний. Припустимо протилежне: ряд (2) збігається і має суму .

Тоді Звідси отримуємо: тобто ряд (1) збігається, що суперечить умові про розходження ряду (1).

Властивість 2.Якщо збігається ряд (1) і збігається ряд

(3)

а їх суми дорівнюють і відповідно, то збігаються і ряди

(4)

причому сума кожного дорівнює відповідно .

Позначимо частинні суми рядів (1), (3) і (4) через , і відповідно. Тоді тобто кожний з рядів (4) збігається, і сума його дорівнює відповідно.

З властивості 1 витікає, що сума (різниця) рядів, що збігаються і рядів, що розбіжні є ряд, що розбіжний.

В справедливості цього твердження можна переконатися методом від протилежного.

Відзначимо, що сума (різниця) двох рядів, що розбіжні, може бути як рядом, що збігається, так і рядом, що розбіжний.

Властивість 3. Якщо до ряду (1) додати (або відкинути) кінцеве число членів, то отриманий ряд і ряд (1) збігаються або розбіжні одночасно.

Позначимо через суму відкинутих членів, через — найбільший з номерів цих членів. Щоб не змінювати нумерацію членів ряду (1), що залишилися, вважатимемо, що на місці відкинутих членів поставили нулі. Тоді при п > виконуватиметься рівність де — це п-а частинна сума ряду, отриманого з ряду (1) шляхом відкидання кінцевого числа членів. Тому . Звідси випливає, що границі в лівій і правій частинах одночасно існують або не існують, тобто ряд (1) збігається (розбіжний) тоді і тільки тоді, коли збігаються (розбіжні) ряди без кінцевого числа його членів. Аналогічно міркуємо у разі приписування до ряду кінцевого числа членів.

Ряд (5) називається -ою остачею ряду (1).Він отримується з ряду (1) відкиданням п перших його членів. Ряд (1) виходить із остачі додаванням кінцевого числа членів. Тому, згідно властивості 3, ряд (1) і його остача (5) одночасно збігаються або розбіжні.

З властивості 3 також випливає, що якщо ряд (1) збігається, то його остача прямує до нуля при , тобто

Ряд геометричної прогресії.Дослідимо збіжність ряду

( ), (6)

який називається рядом геометричної прогресії. Ряд (6) часто використовується при дослідженні рядів на збіжність.

Як відомо, сума перших членів прогресії знаходиться по формулі . Знайдемо границю цієї суми:

Розглянемо наступні випадки в залежності від величини

1. Якщо | | <1, то при . Тому ряд (6) збігається, його сума дорівнює

2. Якщо | | > 1, то при . Тому , ряд (6) розбіжний;

3. Якщо | | = 1, то при = 1 ряд (6) приймає вигляд + а + + ... + + ..., для нього і , тобто ряд (6) розбіжний; при = - 1 ряд (6) приймає вигляд а - - в цьому випадку = 0 при парному п і = а при непарному п. Отже, не існує, ряд (6) розбіжний.

Отже, ряд геометричної прогресії збігається при | | < 1 і розбіжний при | | 1.

Необхідна ознака збіжності числового ряду. Гармонійний ряд.

Знаходження -ої частинної суми і її границі для довільного ряду у багатьох випадках є непростою задачею. Тому для з'ясування збіжності ряду встановлюють спеціальні ознаки збіжності. Першою з них, як правило, є необхідна ознака збіжності.

ТеоремаЯкщо ряд (1) збігається, то його загальний член и прямує до нуля, тобто = 0.

□ Нехай ряд (1) збігається і . Тоді і (при і Враховуючи, що при >1, отримуємо: ■

Наслідок 1. (достатня умова розбіжності ряду). Якщо 0 або ця границя не існує, то ряд розбіжний.

□ Дійсно, якби ряд сходився, то (за теоремою) =0. Але це суперечить умові. Значить, ряд розбіжний. ■

Теорема 1. дає необхідну умову збіжності ряду, але не достатню: з умови =0 не випливає, що ряд збігається. Це означає, що існують ряди, що розбіжні, для яких, = 0.

Для прикладу розглянемо так званий гармонійний ряд

(7)

Очевидно, що =0. Проте ряд (7) розбіжний. Покажемо це.

Як відомо, Звідси випливає, що при будь-якому має місце нерівність Логарифмуючи цю нерівність на основі , отримаємо: тобто

Підставляючи в отриману нерівність по черзі отримаємо:

Склавши поважно цю рівність, отримаємо Оскільки отримуємо тобто гармонійний ряд (7) розбіжний.

В якості другого прикладу можна взяти ряд

Тут = Проте цей ряд розбіжний.

Дійсно, тобто Отже, при , ряд розбіжний.

Достатні ознаки збіжності знакосталих рядів.Необхідна ознака збіжності не дає, взагалі кажучи, можливості говорити про те, чи збігається даний ряд чи ні. Збіжність і розбіжність ряду у багатьох випадках можна встановити за допомогою так званих достатніх ознак.

Розглянемо деякі з них для знакосталих рядів, тобто рядів з від’ємними членами (знаконегативний ряд переходить знакосталий шляхом множення його на (-1), що, як відомо, не впливає на збіжність ряду).

Ознаки порівняння рядів.

Збіжність або розбіжність знакосталих ряду часто встановлюється шляхом порівняння його з іншим («еталонним») рядом, про який відомо, збігається він чи ні. В основі такого порівняння лежать наступні теореми.

ТеоремаНехай дано два знакосталі ряди

(2.1) (2.2)

Якщо для всіх виконується нерівність

(2.3)

то із збіжності ряду (2.2) виходить збіжність ряду (2.1), з розбіжності ряду (2.1) виходить розбіжність ряду (2.2).

□ Позначимо -і частинні суми рядів (2.1) і (2.2) відповідно через і . З нерівності (2.3) виходить, що

(2.4)

Нехай ряд (2.2) збігається і його сума дорівнює . Тоді Члени ряду (2.2) додатні, тому і, отже, з урахуванням нерівності (2.4), Таким чином, послідовність монотонно зростає ( ) і обмежена зверху числом За ознакою існування границі послідовно має границю тобто ряд (2.1) збігається.

Нехай тепер ряд (2.1) розбіжний. Оскільки члени ряду від’ємні, в цьому випадку маємо Тоді, з врахуванням нерівності (2.4), отримуємо тобто ряд (2.4) розбіжний. ■

Зауваження.Теорема 2.1 справедлива і у тому випадку, коли нерівність (2.3) виконується не для всіх членів рядів (2.1) і (2.2), а починаючи з деякого номера . Це випливає з властивості 3 числових рядів.

Теорема (гранична ознака порівняння).Нехай дано два знакосталі ряди (2.1) і (2.2). Якщо існує кінцева, відмінний від 0, границя то ряди (2.1) і (2.2) збігаються або розбіжні одночасно.

□ За визначенням границі послідовності для всіх , крім, можливо, кінцевого числа їх, для будь-якого > 0 виконується нерівність , або (2.5)

Якщо ряд (2.1) збігається, то з лівої нерівності (2.5) і теореми 14.2.1, випливає, що ряд також збігається. Але тоді, згідно властивості 1 числових рядів, ряд (2.2) збігається.

Якщо ряд (2.1) розбіжний, то з правої нерівності (2.5), теореми 2.1, властивості 1 випливає, що і ряд (2.2) розбіжний.

Аналогічно, якщо ряд (2.2) збігається (розбіжний), то рядом, що збігається (розбіжний) буде і ряд (2.1). ■

Ознака Даламбера.На відміну від ознак порівняння, де все залежить від здогадки і запасу відомих рядів, що збігаються і розбіжні, ознака Даламбера (1717-1783, французький математик) дозволяє часто вирішити питання про збіжність ряду, виконавши лише деякі операції над самим рядом.

Теорема 2.3. Нехай дано ряд (1) з додатніми членами і існує кінцева або нескінченна границя Тоді ряд збігається при <1 і розбіжний при > 1.

□ Оскільки , то за означенням границі для будь-якого >0 знайдеться натуральне число N таке, що при п > N виконується нерівність

або . (2.6)

Нехай < 1. Можна підібрати так, що число < 1. Позначимо + = , <1. Тоді з правої частини нерівності (2.6) отримуємо або и < и , п>N. Через властивість 3 числових рядів можна вважати, що и < и для всіх =1,2,3... Даючи номеру ці значення, одержимо серію нерівностей:

тобто члени ряду менше відповідних членів ряду , який збігається як ряд геометричної прогресії із знаменником 0< <1. Але тоді, на підставі ознаки порівняння, збігається ряд , отже, збігається і початковий ряд (1).

Нехай >1. В цьому випадку . Звідси випливає, що, починаючи з деякого номера N, виконується нерівність >1, або тобто члени ряду зростають із збільшенням номера . Тому . На основі наслідку з необхідної ознаки ряд (1) розбіжний. ■

Зауваження.

1. Якщо , то ряд (1) може бути як, тим що збігається, так і тим, що розбіжний.

2. Ознаку Даламбера доцільно застосовувати, коли загальний член ряду містить вираз або

Радикальна ознака Коші.Іноді зручно користуватися радикальною ознакою Коші для дослідження збіжності знакосталого ряду. Ця ознака багато в чому схожа з ознакою Даламбера, про що говорять його формулювання і доведення.