Системы линейных уравнений.
Алгебра матриц
1. Линейные действия с матрицами. Транспонирование.Квадратной матрицей порядка называется таблица из
чисел
, расположенных в
строк и
столбцов:
(1)
Первый индекс i у элемента означает номер строки, второй индекс j – номер столбца, в которых стоит этот элемент. Диагональ
называется главной диагональю матрицы
.
Две матрицы и
одного и того же порядка считаются равными, если все соответствующие их элементы равны, т.е.
=
(i, j = 1,2 …,n). Матрицы разных порядков не сравниваются между собою.
Линейными преобразованиями над матрицами называются сложение матриц и умножение их на число. Оба этих действия определяются поэлементно:
,
.
Свойства сложения матриц и умножения их на число:
1)
2)
3) (2)
4)
5)
Матрица , целиком состоящая из нулей, называется нулевой, для неё
.
Сложение матриц имеет обратное действие – вычитание, которое также осуществляется поэлементно, например если ,
, то
Операция над матрицей , при которой её строки становятся столбцами с теми же номерами, а столбцы – строками, называется транспонированием и обозначается
. Например, если
, то
.
Операция транспонирования обладает следующими свойствами:
,
,
. (3)
Матрица, у которой все элементы, не стоящие на главной диагонали , равны нулю, называется диагональной.
Матрица называется симметрической, если она не меняется при транспонировании, т.е.
. У симметрической матрицы элементы, симметричные относительно главной диагонали, равны. Матрица
называется кососимметрической , если при транспонировании она меняет свой знак, т.е.
. У кососимметрической матрицы на главной диагонали стоят нули, а элементы, симметричные относительно этой диагонали, отличаются только знаком.
Определитель, составленный из элементов матрицы n-го порядка (1), называется определителем матрицы и обозначается
.
264.Пусть ,
. Найти
Решение . Пользуясь сочетательным и переместительным свойствами сложения матриц, имеем
,
Но
,
,
Поэтому
,
и
.
Полученная матрица представляет пример диагональной матрицы второго порядка.
265.Показать, что матрица - симметрическая, если
и
.
Решение. Имеем
=
.
Ясно, что полученная матрица S - симметрическая, так как она не меняется при транспонировании.
266.Показать, что матрица - кососимметрическая, если
и
Решение. Имеем
.
Так как , то матрица
является кососимметрической.
267.Доказать, что для любой матрицы матрица
симметрическая.
Решение. Применяя свойства (3) транспонирования, получим равенство
, т.е.
- симметрическая матрица.
268.Показать , что для матрицы n-го порядка выполняется равенство
.
Решение. При умножении матрицы на число
все её элементы умножаются на
. Вынося этот множитель из каждой строки за знак определителя (см. свойство 3, § 1, п.2), получим требуемое равенство.
269.Найти , если
,
.
270.Найти матрицу , если
,
.
271.Найти матрицу , если
,
.
272.Показать, что матрица - кососимметрическая, если
,
.
273.Показать, что матрица является нулевой матрицей, если
,
.
274.Показать, что для любой матрицы матрица
- кососимметрическая .
Указание. Стр. 267.
275.Дана произвольная матрица , показать, что она может быть представлена в виде суммы симметрической и кососимметрической матриц.
Указание. Рассмотреть матрицы и
.
276.Выписать общий вид симметрической и кососимметрической матриц второго и третьего порядка. Найти их определители.
2. Умножение матриц.Произведение матрицы на матрицу
(того же порядка) определяется следующим образом: для того, чтобы получить элемент
- матрицы произведения
, надо элементы i-ой строки матрицы
умножить на соответствующие элементы j-го столбца матрицы
и результаты сложить, т.е.
, (4)
- произведение i-й строки матрицы
на j-й столбец матрицы
.
Свойства.
1) .
2) .
3) . (5)
4) .
5) ,
где
- единичная матрица.
6) ,
,
(6)
Заметим, что в общем случае , т.е. умножение матриц не обладает коммутативным свойством, поэтому всегда надо строго следить за порядком множителей. Матрицы, для которых выполняется равенство
, называются перестановочными.
277.Найти произведение строки на столбец
.
Решение. Надо перемножить соответственные элементы и сложить результаты:
.
278.Найти произведения и
матриц:
и
.
Установить, что матрицы и
неперестановочны.
Решение. Пусть . Чтобы найти элемент
, надо умножить первую строку матрицы
на первый столбец матрицы
:
Элемент произведения
получается умножением первой строки
на второй столбец
:
Аналогично, умножая вторую строку на столбцы
, найдём:
;
Таким образом,
. Умножая теперь строки
на столбцы
, получим (проверьте!)
.
Так как , то данные матрицы неперестановочны.
279.Найти произведение данных матриц третьего порядка:
,
.
Решение. Умножив по очереди строки матрицы на столбцы
, получим
.
280.Найти все матрицы, перестановочные с .
Решение. Пусть - искомая матрица , тогда
,
, и равенство
соблюдается тогда и только тогда, когда
,
.
Таким образом, общий вид матрицы, перестановочной с данной матрицей следующий:
.
281.Показать, что произведение матрицы на транспонированную всегда является симметрической матрицей.
282.Матрица называется ортогональной, если выполняется условие
, или
. Доказать, что матрица
- ортогональная, если
.
Решение. Из симметричности матрицы следует, что
, поэтому
283.Произвести умножение квадратных матриц в следующих примерах:
а) , б)
,
в) , г)
.
284.Показать, что матрицы и
- перестановочны, если
,
.
285.Найти матрицу , если
,
.
286.Показать, что матрицы
,
перестановочны.
Найти их произведение.
287.Найти все матрицы, перестановочные с данными:
а) , б)
, в)
.
288.Найти общий вид матрицы третьего порядка , для которой
.
289.Ненулевые матрицы и
, для которых
, называются делителями нуля. Показать, что определитель хотя бы у одной из этих матриц равен нулю.
Указание. Использовать свойство умножения матриц (6).
290.Показать на примере матриц второго порядка , что равенство невозможно.
3.Степени матриц. Многочлены от матриц.Целая неотрицательная степень матрицы определяется равенством:
и
.
p раз
Для произведения степеней матриц справедливо равенство:
(p, q = 0, 1, 2, …)
Если дан многочлен , то многочленом от матрицы
называется матрица
.
Всякие два многочлена о матрицы перестановочны :
.
Если (нулевая матрица), то матрица
называется корнем многочлена.
291.Найти для матрицы
.
Решение. Вычисляем последовательно произведения по формуле (3):
,
,
и т.д.
Продолжая умножение, придём к формуле:
.
292.Матрица , у которой все элементы неотрицательны
, а сумма элементов каждой строки равна единице, т.е.
(i = 1, 2, …, n), называется матрицей переходных вероятностей или стохастической матрицей. Найти
и
стохастической матрицы
.
Решение. Находим и
(предварительно за знак матрицы выносится общий множитель
):
,
.
Заметим, что матрицы и
также являются стохастическими матрицами; вообще можно показать, что любая степень стохастической матрицы также является стохастической матрицей.
293.Найти все степени матрицы .
Решение. Имеем: ,
.
Значит, .
Ненулевая матрица , для которой
при некотором значении
, называется нильпотентной. Наименьшее из числе
, для которых
, называется показателем (индексом) нильпотентности . В этом примере
= 3.
294.Найти многочлен от матрицы , если
, а
.
Решение. Искомая матрица определяется равенством:
.
295.Показать, что матрица - корень многочлена
.
Решение. Имеем
.
Т.е. - корень многочлена
.
296.Найти для следующих матриц:
а) , б)
, в)
.
297.Найти все степени матриц и
.
298.Матрица называется инволютивной, если
и идемпотентной, если
. Найти общий вид инволютивной и идемпотентной матрицы второго порядка.
299.Найти , если:
а) ,
; б)
,
;
в) ,
.
300.Найти общий вид матриц второго порядка, квадрат которых равен нулевой матрице, т.е .
301.Найти все матрицы второго порядка, квадрат которых равен диагональной матрице
,
.
302.Найти условие, при котором матрица второго порядка перестановочна со всеми матрицами второго порядка .
303.Каким условиям должны удовлетворять элементы матрицы второго порядка, для того, чтобы она была перестановочна со всеми диагональными матрицами того же порядка?
4.Обратная матрица .Матрица называется обратной матрице
, если
. Для того, чтобы матрица
имела обратную матрицу, необходимо и достаточно, чтобы она была невырожденной , т.е. чтобы
. Обратная матрица определяется по формуле
, (7)
где - алгебраические дополнения элементов
в определителе
. Алгебраические дополнения для строчек матрицы
записываются в столбцы матрицы (7). Так, например, в первом столбце этой матрицы стоят алгебраические дополнения первой строки матрицы
.
С помощью обратной матрицы решаются матричные уравнения вида:
и
(при
.) (8)
Умножая первое уравнение на слева, а второе на
справа, получим их решение в виде:
и
. (9)
Свойства.
1) .
2) . (10)
3) .
4) .
304.Найти обратную матрицу для матрицы
.
Решение. Покажем сначала, что данная матрица невырожденная, тогда она имеет обратную матрицу. Действительно,
.
Вычислим алгебраические дополнения элементов матрицы :
,
,
,
.
Следовательно, матрица , обратная к
, имеет вид:
.
Проверим правильность полученного результата:
.
305.Найти матрицу, обратную для матрицы
.
Решение. Так как , то данная матрица является невырожденной.
Вычислим алгебраические дополнения:
,
,
Аналогично находим
Таким образом,
Вычислим произведение:
что показывает правильность полученного результата.
306.Решить матричное уравнение или
.
Решение. По формуле (9) имеем . Так как
, то
поэтому
поэтому
307.Показать, что матрица , обратная симметрической матрице
, будет тоже симметрической.
308.Найти матрицы, обратные для следующих:
а) , б)
, в)
, г)
.
309.Решить следующие матричные уравнения:
а) , б)
,
в) и
, если
,
.
310.Показать, что если , то
.
311.Как изменится обратная матрица , если в матрице
переставить местами две строчки?
312.Показать, что если матрица не имеет обратной , то и её произведение на любую матрицу
также не имеет обратной.
313.Две матрицы и
называются подобными, если они связаны равенством
, где
-некоторая невырожденная матрица .
Показать, что подобные матрицы имеют одинаковые определители.
5.Прямоугольные матрицы и элементарные преобразования матриц. Прямоугольная таблица чисел, расположенных в строках и
столбцах, называется прямоугольной матрицей размера
, или (
) матрицей:
. (11)
Элементарными преобразованиями первого рода матрицы называются следующие действия:
1) Умножение какой-либо строки на число ;
2)Перестановка двух строк;
3)Прибавление к элементам одной строки соответственных элементов другой строки, умноженных на число .
Элементарными преобразования второго рода матрицы называются аналогичные действия со столбцами.
С помощью элементарных преобразований любую матрицу можно привести к специальному виду:
Число r единиц, стоящих на главной диагонали, не зависит от способа приведения матрицы к виду матрицы
и называется рангом матрицы
.
Матрицы, получаемые друг из друга элементарными преобразованиями называются эквивалентными и соединяются знаком ~. У эквивалентных матриц одинаковые ранги.
314.Найти ранги следующих матриц
.
Решение.Подвергнем эту матрицу следующим элементарным преобразованиям. Ко второму столбцу прибавим первый, умноженный на (-4), а к третьему столбцу прибавим первый, умноженный на (-10), затем ко второй строке прибавим третью, умноженную на (-4). После этих преобразований полученная матрица примет вид:
.
Теперь первую строку умножим на 5 и на (-3) и прибавим соответственно ко второй и третьем строка, а затем переставим местами вторую и третью строки; тогда будем иметь матрицу:
.
Далее, если умножить на (-1/5) и (-1/13) второй и третий столбцы, а затем вычесть из третьего столбца второй, то получим матрицу
.
Следовательно, ранг rданной матрицы равен двум, т.е. r=2.
315.
Решение. Посредством последовательных элементарных преобразований над данной матрицей получим следующую систему эквивалентных матриц :
Следовательно, ранг этой матрицы равен двум.
316.Найти ранги следующих матриц:
а) , б)
, в)
, г)
, д)
.
Системы линейных уравнений.
1.Формулы крамера.Пусть дана система линейных уравнений
(1)
Определитель n-го порядка , составленный из коэффициентов при неизвестных, называется определителем системы. В зависимости от определителя системы различают следующие случаи:
а)Если определитель системы (1) отличен от нуля, то система имеет, и притом единственное, решение, которое может быть определено по формулам Крамера:
(2)
Где определитель n-го порядка (i=1, 2,…, n) получается из
путём замены i-го столбца свободными членами
;
б)Если , но хотя бы один из
(i=1, 2,…, n), то система (1) совместна;
в)Если и
(i=1, 2,…, n), то система (1) либо несовместна, либо имеет бесчисленное множество решений [в последнем случае хотя бы одно уравнение системы (1) – следствие других ].
317.Решить систему
Решение. Определитель системы
Поэтому решение её определяется по формулам Крамера:
и
Но
тогда
Геометрически каждое из уравнений и
определяет прямую на плоскости x0y, и поэтому решение
определяет точку пересечения этих прямых.
318.Исследовать систему
Решение. Определитель данной системы , но определить
что показывает несовместность системы.
Геометрически это означает , что данные прямые не пересекаются, т.е. параллельны.
319. Решить систему
.
Решение. Определители
так как у них строки пропорциональны. Здесь оба уравнения системы определяют одну и ту же прямую и решением системы являются координаты любой точки этой прямой. Отсюда следует, что система имеет бесчисленное множество решений.
Найти все решения следующих систем:
320. 322.
321. 323.
.
324.Решить систему
Решение. Вычисляем определители:
Так как , то данная система имеет только одно решение . Находим его по формулам Крамера:
Решить следующие системы:
325. 326.
327.
328.
2.Решение системы с помощью обратно матрицы. Пусть дана система (1).
Её можно записать в матричной форме
, (3)
Где - матрица из коэффициентов при неизвестных, а
и
- столбцы, составленные соответственно из свободных членов и из неизвестных. Если матрица
- невырожденная, т.е. определитель системы
, то, умножая обе части уравнения (3) на матрицу
слева, получаем решение системы в матричной форме:
Найти решение следующих систем с помощью обратной матрицы:
329.
Решение. Здесь , значит матрица - невырожденная и искомое решение имеет вид (4):
Отсюда
330.
Решение. Определитель системы , и тогда
откуда и следует, что
331.
332.
333.
334.
335.
3.Однородная система линейных уравнений.Система (1) называется однородной, если все свободные члены в матричной форме однородная система имеет вид
, (5)
где 0 – нулевой столбец.
Однородная система всегда обладает тривиальным – нулевым решением:
т.е всегда совместна.
Если определитель системы то нулевое решение будет её единственным решением. Для того, чтобы система (5) имела ненулевое решение, необходимо и достаточно, чтобы её определитель был равен нулю. Заметим, что система (5), имеющая одно ненулевое решение, имеет бесчисленное множество решений; если
и
, то
при любом
.
Пусть дана однородная система, например, трёх уравнений с тремя неизвестными
(5`)
Здесь могут быть следующие случаи:
а) Если , то ненулевое решение
- единственное;
б) Если , но один из миноров второго порядка определителя отличен от нуля, тогда одно из уравнений системы является следствием двух других уравнений и данная система уравнений сводится к системе двух уравнений с тремя неизвестными, имеющей бесчисленное множество ненулевых решений ;
в) Если и все миноры второго порядка определителя равны нулю, то система сводится к одному уравнению с тремя неизвестными , следовательно, данная система также имеет бесчисленное множество ненулевых решений.
Найти все решения следующих однородных систем:
336.
Решение. Вычислим определитель системы:
.
Поскольку , то данная система имеет только одно ненулевое решение:
337.
Решение. Определитель данной системы
Поэтому система имеет ненулевые решения. Замечаем, что миноры, содержащиеся в первых двух строчках, отличны от нуля, например,
Здесь для получения третьего уравнения надо прибавить к первому удвоенное второе (проверить!), т.е. третье уравнение- следствие первых двух, и система сводится к двум уравнениям:
Задавая произвольно одно из них, например Z, из этих двух уравнений найдём значения X и Y. Полагая в данном случае Z=h, получим
,
откуда
Следовательно, решение системы можно записать в виде:
,
где h – произвольно число.
338.
Решение. Нетрудно подсчитать, что здесь сам определить и все его миноры равны нулю. Это значит, что в данной системе только одно независимое уравнение, а остальные два ему пропорциональны. Находя, например, из первого уравнения при произвольных
и
, получим решение данной системы. Общий вид решения можно записать так:
где h и k – произвольные числа.