Комплексная плоскость Арифметические операции над комплексными числами

Модуль 2

Лекция 8. Комплексные числа

8.1.Понятие комплексного числа. Мнимая единица

8.2.Комплексная плоскость Арифметические операции над комплексными числами

8.3. Модуль и аргумент комплексного числа. Тригонометрическая форма записи

8.4.Корень из комплексного числа. Корни из единицы

8.5. Комплексно сопряженные числа

Программные положения

Комплексные числа являются расширением понятия действительных чисел. В приложениях они облегчают многие задачи, в том числе действия над векторами

Методические рекомендации

Обратите внимание на понятие мнимой единицы и правила действий с комплексными числами, особенно правило умножения

Литература

А.В.Дорофеева «Высшая математика» Глава IV, § 4.5 стр. 83-90

Б.П.Демидович, В.А.Кудрявцев Глава XVI «Комплексные числа» стр.299-304

Дополнительно

Р.Курант, Г.Роббинс «Что такое математика?» глава II §5 стр.116-129

Контрольные вопросы

1) Что такое комплексное число?

2) Какие комплексные числа называются равными?

3) Какое число называется комплексно сопряженным данному?

4) Сформулируйте правила действий с комплексными числами

5) Вычислите

6)Изобразите на комплексной плоскости множества точек

7) Как записать комплексное число в тригонометрической форме?

8) Выведите формулу корня n-й степени из комплексного числа

9) Отметьте на единичной окружности корни 4 степени из 1

10) Обоснуйте свойства сопряженных чисел

Понятие комплексного числа. Мнимая единица

Определение 8.1 (1).

Рассмотрим элементы вида z = x + y·i (или просто z=x+yi), где х и у — действительные числа, а i — некоторый элемент, называемый мнимой единицей . Элемент z = х + y·i называют комплексным числом, х — его действительной, а у — мнимой частью и пишут x = Re z (от латинского realus — действительный) , у = Im z (imaginarius — мнимый).

Два комплексных числа считаются равными тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части.

Вместо х + 0·i и 0 + у·i пишут соответственно х и y·i, в частности, 0 + 0·i = 0; вместо 1·i пишут i. Число х + y·i, у которого y≠ 0, называют существенно комплексным числом, а число вида y·i, у ≠ 0, — чисто мнимым.

Замечания 8.1.

1) Исторически мнимая единица возникла из необходимости извлечения корня из отрицательного числа. Обозначение i было введено для специального случая – нахождения корней уравнения х² = -1. Оно имеет два решения, x = i и x = -i, так что мнимая единица i такова, что i² = -1

2) x+i·y – это единое число, а не действие сложения. Действительную и мнимую части комплексного числа, в принципе, можно переставить местами: z=yi+x или переставить мнимую единицу: z=y+i·x – от этого комплексное число не изменится. Но стандартно комплексное число принято записывать именно в таком порядке: z=x+yi

Пример 8.1 (1).

z ₁= 2 + 3i , z ₂= - 1 – 5i, z₃ = -10i, z₄= 8

Определение 8.1.(2)

Комплексное число = x – yi называется (комплексно) сопряженным числу

z = x + yi (подробнее см.п.8.5)

Пример 8.1 (2).

z ₁= 2 + 3i , = 2 – 3i

z ₂= - 1 – 5i, = -1 +5i

z₃ = -10i, = +10i

z₄= 8, = 8

Множество всех комплексных чисел обозначают через С.

Комплексная плоскость Арифметические операции над комплексными числами

С помощью операций сложения и умножения действительных чисел в множестве комплексных чисел также можно ввести операции сложения и умножения.

Для комплексных чисел z₁ = х₁ + y₁i и z₂ = х₂ + y₂i их сумма z₁ + z₂ определяется как комплексное число, действительная и мнимая части которого получаются в результате сложения соответственно действительных и мнимых частей чисел z₁ и z₂.

z₁ + z₂ = (х₁ + х₂ ) + (y₁+y₂)i

Для определения произведения комплексных чисел сначала определим квадрат мнимой единицы:

i² = ii = -1

а затем — произведение двух произвольных комплексных чисел

z₁ = х₁ + y₁i и z₂ = х₂ + y₂i как результат почленного умножения z₁ = х₁ + y₁i на z₂ = х₂ + y₂i с использованием соотношения i² = —1 и

последующего сложения полученных результатов:

Замечание 8.2.

При определении умножения комплексных чисел можно было бы предварительно не определять, что i² = —1, и не использовать правила почленного умножения, а сразу определить произведение по формуле B.3). Тогда из нее бы уже следовало,

что i² = —1. В самом деле,

ii = (0 + 1·i)(0 + 1·i) = -1

Вычитание определяется как действие, обратное сложению: z = z₁ - z₂ если

z₁ = z₂ +z, а деление — как действие, обратное умножению: z = z₁ / z₂ , если z₁ = z₂ z

Примеры 8.2.

1. Сложить два комплексных числа ,

Для того чтобы сложить два комплексных числа нужно сложить их действительные и мнимые части:

2. Найти произведение комплексных чисел ,

,

Поскольку -i·6i = -6i² = 6

Векторная интерпретация. Каждому комплексному числу z = x + yi соответствует упорядоченная пара действительных чисел (x, у), и наоборот, каждой упорядоченной паре действительных чисел (x, у) соответствует комплексное число z = x + yi, и эти

соответствия взаимно однозначны. С упорядоченными же парами действительных чисел (x, у) на плоскости (при фиксированной системе декартовых координат) находятся

во взаимно однозначном соответствии векторы этой плоскости, имеющие числа х и у

своими координатами. В результате комплексное число z = х + yi можно рассматривать как вектор на плоскости с координатами x, у (см. рис 8.2.(1)).

Рис. 8.2.(1)

Этот вектор мы будем обозначать той же буквой z =(x,y)

Примеры 8.2.(см. рис. 8.2.(2))

Построим на комплексной плоскости следующие комплексные числа:
, ,
, ,
, , ,

Рис. 8.2.(2)

Целесообразность такой интерпретации комплексных чисел следует из того, что при сложении комплексных чисел складываются и соответствующие им векторы: при сложении векторов их координаты складываются, поэтому суммой векторов z₁ = х₁ + y₁i и z₂ = х₂ + y₂i их суммой является вектор z = z₁ + z₂ = (x ₁+ x ₂ , y ₁+ y₂) (правило параллелограмма, см рис. 8.2.(3))

Рис. 8.2.(3)

Поскольку вычитание как для комплексных чисел, так и для векторов является действием, обратным сложению, то при вычитании комплексных чисел соответствующие им векторы также вычитаются (см.8.2.(4))

Рис. 8.2.(4)

Определение 8.2.

Координатная плоскость, векторы z = (x, у) которой интерпретируются как комплексные числа, называется комплексной плоскостью, ее ось x — действительной осью (обозначается Re z), а ось у — мнимой (Im z)).