Обыкновенные дифференциальные уравнения

ИНТЕГРАЛЫ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Для всех факультетов, кроме ФН, ИБМ, ГУИМЦ, ИУ7, ИУ9, РК6, РЛ, БМТ,АКФ

ЛИТЕРАТУРА

Основная литература (ОЛ)

1. Зарубин В.С., Иванова Е.Е., Кувыркин Г.Н. Интегральное исчисление функций одного переменного: Учеб. для вузов / Под ред. В.С. Зарубина, А.П. Крищенко. – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2006. – 528 с. (Сер. Математика в техническом университете, вып. VI).

2. Агафонов С.А., Герман А.Д., Муратова Т.В. Дифференциальные уравнения: Учеб. для вузов / Под ред. В.С. Зарубина, А.П. Крищенко. – М.: Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2006. – 352 с. (Сер. Математика в техническом университете, вып. VIII).

3. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов. Т. 1. – М.: Интеграл-Пресс, 2006. – 416 с.

4. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов. Т. 2. – М.: Интеграл-Пресс, 2006. – 544 с.

5. Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Т. 2. Дифференциальное и интегральное исчисление. – М.: Дрофа, 2003. – 512 с.

6. Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Т. 3. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного. – М.: Дрофа, 2003. – 512 с.

7. Сборник задач по математике для втузов. Ч. 1. Линейная алгебра и основы математического анализа: Учеб. пособие для втузов / Под ред. А.В. Ефремова, Б.П. Демидовича. – М.: Наука, 1993. – 478 с.

8. Сборник задач по математике для втузов. Ч. 2. Специальные разделы математического анализа: Учеб. пособие для втузов / Под ред. А.В. Ефремова и Б.П. Демидовича. – М.: Наука, 1986. – 368 с.

9. Задачи и упражнения по математическому анализу для втузов / Под ред. Б.П. Демидовича. – М.: Интеграл-Пресс, 1997. – 416 с.

Дополнительная литература (ДЛ)

1. Вся высшая математика: Учебник для втузов: В 6 т. / Краснов М.Л., Киселев А.И., Макаренко и др. – Т. 2. – М.: Эдиториал УРСС, 2000. – 184 с.

2. Вся высшая математика: Учебник для втузов: В 6 т. / Краснов М.Л., Киселев А.И., Соболев С. К. и др. – Т. 3. – М.: Эдиториал УРСС, 2001. – 237с.

3. Филиппов А.Ф. Введение в теорию дифференциальных уравнений. Учеб. для вузов. – М.: Эдиториал УРСС, 2004. – 238 с.

4. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. – СпБ.: Лань, 2000.

Методические и учебные пособия (МП)

1. Добрица Б.Т., Роткова О.В., Шахов Е.М. Неопределенный интеграл. – М.: МГТУ, 1988.

2. Копаев А.В., Маркелов Г.Е., Тесалина А.А. Определенный интеграл. Методические указания для выполнения домашнего задания. – М.: Изд-во МГТУ, 2002. – 69 с.

3. Минеева О.М., Неклюдов А.В., Скуднева О.В. Несобственные интегралы.

Методические указания для выполнения домашнего задания. – М.: Изд-во МГТУ, 2003. – 41 с.

4. Богомолов В.Г., Кандаурова И.Е., Шишкина С.И. Дифференциальные уравнения первого порядка. – М.: Изд-во МГТУ, 2001. – 37 с.

5. Пелевина И.Н., Раров Н.Н., Филиновский А.В. Дифференциальные уравнения высших порядков. Методические указания для выполнения домашнего задания. – М.: Изд-во МГТУ, 2001. – 38 с.

6. Добрица Б.Т., Янов И.О. Системы дифференциальных уравнений. Методические указания к выполнению типового расчета. – М.: Изд-во МГТУ, 2002. – 42 с.

7. Казанджан Г.П., Савин А.С., Филиновский А.В. Системы дифференциальных уравнений и элементы теории устойчивости. Методические указания к выполнению домашнего задания. – М.: Изд-во МГТУ, 2002. – 28 с.

8. Добрица Б.Т., Пелевина А.Ф., Янов И.О. Элементы теории устойчивости. Методические указания. - М.: Изд-во МГТУ, 2001. – 45 с.

9. Ковалев Я.Г., Киреева Ю.Г., Лунева М.С., Тесалина А.А. Определенный интеграл. Методические указания для выполнения домашнего задания. – М.: МВТУ, 1987.

10. Белова Т.И., Грешилов А.А., Пелевина А.Ф. Дифференциальные уравнения первого порядка. Метод. указания по курсу «Высшая математика» – М.: Изд-во МГТУ, 1989. – 32 с.

11. Белова Т.И., Грешилов А.А., Пелевина А.Ф. Дифференциальные уравнения высших порядков. Метод. указания по курсу «Высшая математика» – М.: Изд-во МГТУ, 1990. – 36 с.

ЛЕКЦИИ

Неопределенный интеграл

Лекция 1. Первообразная и ее свойства. Неопределенный интеграл, его свойства, связь с дифференциалом. Таблица основных неопределенных интегралов.

ОЛ-1, § 1.1–1.4; ОЛ-4, гл. X, § 1–3, § 10–14; ОЛ-5, гл. 5, § 5.1–5.2.

Лекция 2. Интегрирование подстановкой и заменой переменного. Интегрирование по частям. Интегрирование выражений, содержащих квадратный трехчлен.

ОЛ-1, § 1.1–1.6; ОЛ-4, гл. X, § 4–9; ОЛ-5, гл. 5, § 5.2.

Лекция 3. Рациональные дроби. Разложение правильной рациональной дроби в сумму простейших (без док-ва). Интегрирование простейших дробей.

ОЛ-1, § 2.1–2.4; ОЛ-4, гл. Х, § 4–9; ОЛ-5, гл. 5, § 5.3–5.6.

Лекция 4. Интегрирование функций, рационально зависимых от тригонометрических функций. Интегрирование иррациональных функций. Примеры интегралов, не выражающихся через элементарные функции.

ОЛ-1, § 3–4; ОЛ-4, гл. Х, § 10–14; ОЛ-5, гл.5, § 5.7.

Определенный интеграл

Лекция 5. Определенный интеграл как предел интегральных сумм. Теорема об интегрируемости кусочно-непрерывных функций (без док-ва). Геометрическая интерпретация определенного интеграла. Основные свойства определенного интеграла. Теоремы об оценке и о среднем значении.

ОЛ-1, § 6.1–6.2, 6.5–6.8; ОЛ-4, гл.XI, § 1–3; ОЛ-5, гл.6, § 6.1–6.2.

Лекция 6. Определенный интеграл с переменным верхним пределом, теорема о его производной. Формула Ньютона — Лейбница. Вычисление определенных интегралов

подстановкой и по частям. Интегрирование периодических функций, интегрирование

четных и нечетных функций на отрезке, симметричном относительно начала координат.

ОЛ-1, § 6.9–6.10; ОЛ-4, гл.XI, § 4–6; ОЛ-5, гл.6, § 6.3–6.4.

Лекции 7–8. Несобственные интегралы по бесконечному промежутку (I-го рода).

Несобственные интегралы от неограниченных функций на отрезке (II-го рода). Признаки

сходимости несобственных интегралов. Абсолютная и условная сходимости.

Несобственные интегралы с несколькими особенностями.

ОЛ-1, § 7.1–7.6, 7.8; ОЛ-4, гл.XI, § 7; ОЛ-5, гл. 6, § 6.8–6.11.

Лекции 9–10. Вычисление площадей плоских фигур, ограниченных кривыми,

заданными в декартовых координатах, параметрически и в полярных координатах.

Вычисление объемов тел по площадям поперечных сечений и объемов тел вращения.

Вычисление длины дуги кривой и площади поверхности вращения.

ОЛ-1, § 9.1–9.5; ОЛ-4, гл.XII, § 1, 2, 4, 5; ОЛ-5, гл. 7, § 7.1–7.5.

Обыкновенные дифференциальные уравнения

Лекция 11. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. Обыкновенные

дифференциальные уравнения (ОДУ) первого порядка, его решения. Частное и общее

решения. Интегральные кривые. Задача Коши для ОДУ первого порядка. Теорема Коши о

существовании и единственности решения ОДУ (без вывода).

ОЛ-2, § 1.1, 1.3, 2.1, 2.2; ОЛ-4, гл. ХШ, § 1–5; ОЛ-6, гл. 1, § 1.1, 1.2, 1.4.

Лекция 12. Решение ОДУ первого порядка: ОДУ с разделяющимися переменными,

однородные ОДУ, линейные ОДУ (однородные и неоднородные), уравнения Бернулли.

Уравнения в полных дифференциалах и их решение.

ОЛ-2, § 3.1–3.4; ОЛ-4, гл.XIII, § 7–9; ОЛ-6, гл.1, § 1.3.

Лекция 13. Геометрическая интерпретация ОДУ первого порядка. Изоклины.

Геометрическое решение ОДУ с помощью изоклин. Особые точки и особые решения ОДУ

первого порядка.

ОЛ-2 § 1.3, 2.4, 3.5; ОЛ-4, гл.XIII, § 3, 11, 12; ОЛ-6, гл.1, § 1.9–1.10.

Лекция 14. ОДУ n-го порядка. Частное и общее решения. Задача Коши для ОДУ n-го

порядка и ее геометрическая интерпретация (при n = 2 ). Теорема Коши о существовании и

единственности решения ОДУ (без док-ва). Краевая задача. Понижение порядка

некоторых типов ОДУ n-го порядка.

ОЛ-2, § 4.4, 11.1, 11.2; ОЛ-4, гл.XIII, § 16–18; ОЛ-6 гл.1, § 1.11, 1.13, 1.14.

Лекции 15–16. Линейные дифференциальные уравнения (ЛДУ) n-го порядка,

уравнения однородные и неоднородные. Теорема о существовании и единственности

решения. Дифференциальный оператор L[y] , его свойства. Линейное пространство

решений однородного ЛДУ. Линейно зависимые и независимые системы функций на

отрезке. Определитель Вронского (вронскиан). Теорема о вронскиане системы линейно

зависимых функций. Теорема о вронскиане системы линейно независимых решений

однородного ЛДУ. Теорема о структуре общего решения однородного ЛДУ. Размерность

пространства решений и фундаментальная система решений однородного ЛДУ. Формула

Остроградского — Лиувилля и ее следствия. Понижение порядка однородного ЛДУ при

известном частном решении.

ОЛ-2, § 6.1–6.3; ОЛ-4, гл. XIII, § 20; ОЛ-6, гл.1, § 1.15.

Лекции 17–18. Однородные ЛДУ с постоянными коэффициентами.

Характеристическое уравнение однородного ЛДУ. Построение общего решения по

корням характеристического уравнения (вывод для n = 2 ). Неоднородные ЛДУ, структура

их общего решения. Теорема о наложении частных решений. Метод Лагранжа вариации

постоянных (вывод для n = 2 ). Нахождение частного решения неоднородного ЛДУ с

постоянными коэффициентами и правой частью специального вида.

ОЛ-2, § 6.2, 6.4–6.6; ОЛ-4, гл. XIII, § 21–25; ОЛ-6, гл.1, § 1.16–1.18.

Лекции 19–20. Нормальные системы ОДУ. Автономные системы ОДУ. Фазовое

пространство и фазовые траектории. Задача и теорема Коши для системы ОДУ. Частное и

общее решения системы ОДУ. Сведение ОДУ высшего порядка к нормальной системе

ОДУ первого порядка и сведение нормальной системы ОДУ первого порядка к ОДУ

высшего порядка (вывод для n = 2 ). Первые интегралы системы. Понижение порядка

системы ОДУ при помощи первых интегралов. Интегрируемые комбинации.

Симметричная форма записи нормальной автономной системы ОДУ.

ОЛ-2, § 4.1, 4.2, 6.1, 8.1–8.4; ОЛ-4, гл.XI, § 29; ОЛ-6, гл.1, § 1.16, 1.18.

Лекция 21. Системы линейных ОДУ первого порядка. Определитель Вронского.

Фундаментальная система решений. Формула Остроградского — Лиувилля. Теоремы о

структуре общего решения однородной и неоднородной систем линейных ОДУ первого

порядка. Метод вариации постоянных.

ОЛ-2, § 5.1–5.4; ОЛ-4, гл.XIII, § 30; ОЛ-6, гл. 1, § 1.20.

Лекция 22. Однородные системы линейных ОДУ с постоянными коэффициентами.

Характеристическое уравнение системы. Построение общего решения по корням

характеристического уравнения (вывод только для случая действительных и различных

корней).

ОЛ-2, § 5.5–5.7; ОЛ-6, гл.1, § 1.21, 1.22.

Лекции 23–24. Устойчивость по Ляпунову и асимптотическая устойчивость решения

системы ОДУ. Сведение устойчивости решения линейной системы к устойчивости ее

тривиального решения (точки покоя). Классификация точек покоя. Системы двух

однородных линейных ОДУ с постоянными коэффициентами. Теорема Ляпунова об

устойчивости по первому приближению. Функция Ляпунова. Теоремы Ляпунова об

устойчивости и асимптотической устойчивости.

ОЛ-2, § 9.1–9.4, 10.1–10.2; ОЛ-4, гл. XIII, § 31; ОЛ-6, гл.1, § 1.25, 1.26.

Лекция 25. Резервная.

ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ

Неопределенный интеграл

Занятие 1. Непосредственное интегрирование по таблице. Интегрирование методом

подстановки.

Ауд.: ОЛ-6, гл.6, §1: 6.15, 6.23, 6.24, 6.27, 6.29, 6.35, 6.37, 6.40, 6.42, 6.43, 6.44, 6.48

6.52, 6.53, 6.56, 6.60, 6.62, 6.65, 6.74, 6.79, 6.83, 6.89, 6.95, 6.98, 6.100, 6.102, 6.107 или

ОЛ-7, гл.4, §1: 1032, 1040, 1044, 1046, 1050, 1062, 1063, 1065, 1066, 1073, 1075, 1080,

1093, 1082, 1086, 1095, 1104, 1119, 1133, 1137, 1145, 1149,1153, 1159, 1163, 1167, 1179,

1189.

Дома: ОЛ-6, гл.6, § 1: 6.20, 6.22, 6.25, 6.32, 6.38, 6.39, 6.41 6.45, 6.46, 6.47, 6.49, 6.54,

6.57, 6.61, 6.66, 6.68, 6.72, 6.76, 6.80, 6.85, 6.86, 6.92, 6.97, 6.101, 6.104, 6.106, 6.112, или

ОЛ-7, гл.4, § 1: 1037, 1041, 1057, 1069, 1070, 1074, 1077, 1083, 1085, 1094, 1108, 1096,

1101, 1114, 1120, 1130, 1146, 1152, 1154, 1162, 1172 1182, 1188.

Занятие 2. Интегрирование по частям.

Ауд.: ОЛ-6, гл. 6, § 1: 6.129, 6.130, 6.132, 6.135, 6.124, 6.128, 6.136, 6.143, 6.151,

6.157, 6.144, 6.146, 6.147, 6.155, 6.156 или

ОЛ-7, гл. 4, § 3: 1214, 1219, 1236, 1231, 1213, 1223, 1227, 1234, 1235, 1252, 1253, 1245, 1237, 1228, 1242, 1246.

Дома: ОЛ-6, гл. 6, § 1: 6.125, 6.131, 6.140, 6.142, 6.127, 6.138, 6.145, 6.152, 6.153, 6.154, 6.137, 6.141 или

ОЛ-7, гл. 4, § 3: 1215, 1217, 1229, 1232, 1244, 1237, 1241, 1254, 1239, 1249, 1222, 1226.

Занятие 3. Интегрирование выражений, содержащих квадратный трехчлен.

Ауд.: ОЛ-6, гл. 6, § 2: 6.158, 6.161, 6.163, 6.165, 6.271, 6.250, 6.254, 6.255, 6.257, 6.259, 6.260, 6.264, 6.275 или

ОЛ-7, гл. 4, § 4: 1225, 1259, 1261, 1262, 1265, 1266, 1269, 1271, 1272, 1274, 1277, 1278, 1279.

Дома: ОЛ-6, гл. 6, § 2:, 6.159, 6.160, 6.162, 6.164, 6.251, 6.252, 6.253, 6.256, 6.258, 6.265, 6.280 6.276, 6.277 или

ОЛ-7, гл. 4, § 4: 1258, 1260, 1263, 1267, 1270, 1268, 1273, 1275, 1276.

Занятие 4. Интегрирование рациональных дробей.

Ауд.: ОЛ-6, гл. 6, § 2: 6.167, 6.168, 6.177, 6.171, 6.179, 6.178, 6.174, 6.185, 6.186, 6.188 или

ОЛ-7, гл. 4, § 5: 1282, 1284, 1286, 1289, 1290, 1298, 1308, 1313, 1314.

Дома: ОЛ-6, гл. 6, § 2: 6.129, 6.170, 6.173, 6.180, 6.181, 6.184, 6.187, 6.189 или

ОЛ-7, гл. 4, § 5: 1283, 1285, 1292, 1295, 1296, 1297, 1305, 1307, 1311.

Занятие 5. Интегрирование __________тригонометрических функций.

Ауд.: ОЛ-6, гл. 6, § 2: 6.190, 6.191, 6.195, 6.197, 6.198, 6.201, 6.203, 6.206, 6.209, 6.212, 6.213, 6.216 или

ОЛ-7, гл. 4, § 7: 1338, 1341, 1345, 1347, 1350, 1351, 1355, 1359, 1365, 1366.

Дома: ОЛ-6, гл. 6, § 2: 6.192, 6.194, 6.196, 6.199, 6.202, 6.204, 6.208, 6.210, 6.211, 6.214, 6.215, 6.217 или

ОЛ-7, гл. 4, § 7: 1339, 1340, 1344, 1346, 1348, 1352, 1358, 1362, 1367, 1368, 1372.

Занятие 6. Интегрирование тригонометрических функций. Интегрирование некоторых иррациональных функций.

Ауд.: ОЛ-6, гл. 6, § 2: 6.219, 6.222, 6.225, 6.226, 6.238, 6.240, 6.242, 6.244 или

ОЛ-7, гл. 4, § 6, 7: 1377, 1382, 1388, 1380, 1389, 1318, 1320, 1322, 1325

Дома: ОЛ-6, гл. 6, § 2: 6.218, 6.223, 6.224, 6.227, 6.239, 6.241, 6.243, 6.245 или

ОЛ-7 гл. 4 § 6, 7: 1373, 1378, 1381, 1389, 1387, 1315, 1317, 1319, 1321, 1323, 1324.

Занятие 7. Интегрирование иррациональных функций. Подготовка к контрольной работе.

Ауд.: ОЛ-6, гл. 6, § 2: 6.261, 6.262, 6.264, 6.266, 6.267 или

ОЛ-7, гл. 4, § 9: 1403, 1405, 1407, 1411, 1412.

Дома: ОЛ-6, гл. 6, § 2: 6.263, 6.256, 6.268, 6.269 или

ОЛ-7, гл. 4, § 9: 1404, 1406, 1408, 1413.

Для подготовки к контрольной работе: ОЛ-6, гл. 6, § 3: 6.270, 6.272, 6.274, 6.276, 6.282, 6.284, 6.286, 6.288, 6.290, 6.294, 6.296, 6.304, 6.306, 6.310, 6.312, 6.314, 6.316 или:

ОЛ-7, гл. 4, § 12: 1432, 1436, 1441, 1447, 1453, 1456, 1459, 1463, 1469, 1473, 1475, 1478, 1479, 1480.

Занятие 8. Контрольная работа «Техника интегрирования».

Определенный интеграл

Занятие 9. Вычисление определенного интеграла. Его свойства и геометрическая интерпретация.

Ауд.: ОЛ-6, гл. 6, § 4: 6.326, 6.337, 6.340, 6.346, 6.350, 6.379, 6.387, 6.390, 6.395, 6.399, 6.406, 6.364(б, в), 6.365 (а, в), 6.366 (а, г), 6.369, 6.370, 6.378 (в задачах 6.326, 6.337, 6.340, 6.399, 6.406 дать геометрическую интерпретацию) или

ОЛ-7, гл. 5, § 2, 4–6: 1521, 1529, 1534, 1536, 1538, 1576, 1587, 1590, 1592, 1598, 1592, 1598, 1599, 1600, 1610(а, б), 1611 (а, в), 1612, 1614, 1619, 1621 (в задачах 1521, 1529, 1536, 1599, 1600 дать геометрическую интерпретацию).

Дома: ОЛ-6, гл. 6, § 4: 6.328, 6.336, 6.341, 6.347, 6.386, 6.394, 6.400, 6.403, 6.464 (а), 6.365 (б), 6.366 (б, в), 6.368, 6.371 (в задачах 6.336, 6.338, 6.341, 6.399, 6.347 дать геометрическую интерпретацию) или

ОЛ-7, гл.5, § 2, 4–6: 1522, 1527, 1537, 1539, 1541, 1589, 1591, 1593, 1601, 1602, 1610 (в), 1611 (б), 1613, 1618, 1620 (в задачах 1527, 1537, 1541, 1601 дать геометрическую интерпретацию).

Занятие 10. Вычисление площади плоской фигуры в декартовой и полярной системах координат.

Ауд.: ОЛ-6, гл. 6, § 6: 6.453, 6.456, 6.467, 6.478, 6.479, 6.483, 6.486, 6.488 или

ОЛ-7, гл. 5, § 7: 1623, 1624, 1633, 1638, 1650, 1655, 1658, 1663.

Дома: ОЛ-6, гл. 6, § 6: 6.457, 6.464, 6.468, 6.480, 6.481, 6.484, 6.487, 6.492 или

ОЛ-7, гл. 5, § 7: 1626, 1634, 1636, 1645, 1653, 1656, 1657, 1661.

Занятия 11–12. Несобственные интегралы. Исследование несобственных интегралов на сходимость. Вычисление объемов тел по площадям поперечных сечений, вычисление объемов тел вращения. Приложения определенного интеграла в физике.

Ауд.: ОЛ-6, гл. 6, § 5, 6: 6.411, 6.417, 6.419, 6.424, 6.433, 6.435, 6.437, 6.441, 6.426, 6.428, 6.430, 6.432, 6.443, 6.445, 6.447, 6.449, 6.451, 6.533, 6.535, 6.536, 6.538, 6.540, 6.541, 6.543, 6.560, 6.573, 6.581 или

ОЛ-7, гл.5, § 3, 9: 1551, 1552, 1555, 1556, 1560, 1562, 1546, 1549, 1550, 1558, 1559, 1570, 1573, 1571, 1707, 1708, 1688, 1691, 1692, 1694, 1701 (в), 1702, 1703.

Дома: ОЛ-6, гл. 6, § 5, 6: 6.412, 6.418, 6.420, 6.434, 6.436, 6.439, 6.429, 6.431, 6.442, 6.444 6.446, 6.448, 6.534, 6.537, 6.542, 6.544, 6.561, 6.574, 6.582 или

ОЛ-7, гл. 5, § 3, 9: 1554, 1559, 1563, 1565, 1547, 1557, 1566, 1567, 1572, 1646, 1683, 1691 (а), 1697, 1709, 1689, 1695, 1697, 1701 (б) 1704.

Занятие 13–14. Вычисление длины дуги и площади поверхности вращения.

Ауд.: ОЛ-6, гл. 6, § 6: 6.494, 6.500, 6.506, 6.507, 6.509, 6.519 (а), 6.523 (б), 6.527, 6.530 или

ОЛ-7, гл.5, § 8, 10: 1665, 1667, 1669, 1676, 1680, 1715, 1722 (б), 1723 (в), 1725.

Дома: ОЛ-6, гл. 6, § 6: 6.499, 6.504, 6.511, 6.519 (б), 6.523 (а), 6.526, 6.529, 6.531 или

ОЛ-7 гл. 5 § 8, 10: 1666 1670, 1678, 1679, 1716, 1722(а), 1723(б), 1726.