Пределы иррациональных выражений
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ ЗАДАНИЙ
Введение
Вычисление пределов функций начинают с непосредственной подстановки предельного значения основной переменной в выражении для функции, используя правила предельного перехода под знаком непрерывной функции, теоремы о пределах. Если получают неопределенности:
используют различные приемы их «раскрытия».
Ниже приведенное правило дет некоторые свойства бесконечно малых и бесконечно больших функций, связь между ними.
Правило 1.
Если
- (постоянная величина),
- ограниченная функция,
- бесконечно малая функция (или короче “0”),
- бесконечно большая функция, то
1) 
2) 
( - одного знака);
3) 
4) 
5) 
6) 
7) 
8) 
9) 
10) 
11) 
12) 
Таблица эквивалентных бесконечно малых функций при 
Примечание. Приближенными равенствами 6 и 8 пользуется в другой форме при 
Правило 1.
При нахождении предела отношения бесконечно малых при бесконечно больших функций каждую из них (или одну) можно заменить другой функцией, ей эквивалентной. То есть:
(1.1)
Правило 2.
Алгебраическая сумма бесконечно малых функций разных порядков эквивалентна слагаемому низшего порядка.
Правило 3.
Алгебраическая сумма бесконечно больших функций разных поряд-ков эквивалентна слагаемому высшего порядка.
Правило 4.
При вычислении предела показательно-степенной функции 
где 
и 
пользуются равенством:
(1.2)
Правило 5.
Неопределенности вида 
или 
приводят к виду дроби, которая может дать новые – типа 
или 
.
Часто используются при вычислении пределов следующие свойства показательной и степенной функции:
(1.3)
(1.4)
(1.5)
Пределы рациональных функций
Пример 1. 
(Пр.4); Пр.2 
Пр. 1.8 
Пример 2. 
Пр. 1.11 
Пр. 6 
Пр. 1.11 
Пример 3. 
Пр. 4, Пр.2 
Пример4. 
Пр.6 
Пр.4,Пр.2 
Примечание. Если бы мы воспользовались вначале последовательно правилами 4 и 2, то получили бы:
что неверно, так как разность эквивалентных бесконечно больших функций есть функция более низкого порядка, чем каждая из них (бесконечно большая, постоянная) как в рассмотренном примере, или, в крайнем случае, предел их разности может быть бесконечно малой функцией (см. пример 2 пункта. 2.4.2).
Пример 5. 
/разложим многочлены на множители/= 
Пределы иррациональных выражений
Пример 1. 
Пр. 4, Пр. 2 
Примечание. При вычислении пределов иррациональных выражений, дающих неопределенности типа или 
используют введение новой переменной, освобождающей от иррациональности, или преобразование выражения с помощью сопряженного ему. Например, парами взаимно сопряженных выражений будут:
1) 
и 
2) 
и 
3) 
и 
которые при вычислении пределов используются в формах:
(1.6)
(1.7)
(1.8)
Пример 2. 
Пр.6 
Пример 3. 
Пример 4. 
Примечание. Обратите внимание на то, что при вычислении предела 5 из пункта 2.4.I и 3,4 настоящего пункта, при раскрытии неопределенности и 
стараются так преобразовать выражение, чтобы дробь можно было сократить на множители 
стремящийся к нулю.