Удельные теплоемкости идеальных газов выражаются формулами

Пример 1.

Определить число N молекул, содержащихся в объеме V = 1 мм³ воды, и массу m₁ молекулы воды. Считая условно, что молекулы воды имеют вид шариков, соприкасающихся друг с другом, найти диаметр d молекулы.

Дано:	Решение:   Число N молекул, содержащихся в некоторой системе массой m , равно произведению постоянной Авогадро NА на количество вещества v: . Так как v = m/M, где М - молярная масса, то .
N, m1, d - ?

Выразив в этой формуле массу как произведение плотности на объем V, получим:

.

Произведем вычисления, учитывая, что для воды :

Массу m₁ одной молекулы можно найти по формуле

(1)

Подставив в (1) значения М и N_A , найдем массу молекулы воды:

Если молекулы воды плотно прилегают друг к другу, то можно считать, что на каждую молекулу приходится объем (кубической ячейки) V₁ = d³ ,где d – диаметр молекулы. Отсюда

. (2)

Объем V₁ найдем, разделив молярный объем V_m на число молекул в моле, т.е. на N_A :

(3)

Подставим выражение (3) и (2):

где . Тогда (4)

Проверим, дает ли правая часть выражения (4) единицу длины:

Произведем вычисления:

Пример 2.

В баллоне объемом 10 л находится гелий под давлением р₁= 1 МПа и при температуре Т₁ = 300 К. После того как из баллона было взято m = 10 г гелия, температура в баллоне понизилась до Т₂ = 290 К. Определить давление р₂ гелия, оставшегося в баллоне.

Дано:   р1= 1·106 Па Т1 = 300 К Т2 = 290 К m = 0,01кг V=1·10-2 м3	Решение:   Для решения задачи воспользуемся уравнением Менделеева – Клапейрона, применив его к конечному состоянию газа: (1)
р2 - ?

где m₂ – масса гелия в баллоне в конечном состоянии; М – молярная масса гелия; R – молярная газовая постоянная.

Из уравнения (1) выразим искомое давления

(2)

Массу m₂ гелия выразим через массу m₁ , соответствующую начальному состоянию, и массу m гелия, взятого из баллона:

(3)

Массу m₁ гелия найдем также из уравнения Менделеева – Клапейрона, применив его к начальному состоянию газа:

(4)

Подставив выражение массы m₁ в (3), а затем выражение m₂ в (2), найдем:

или (5)

Проверим, дает ли формула (5) единицу давления. Для этого в ее правую часть вместо символов величин подставим их единицы. В правой части формулы два слагаемых. Очевидно, что первое из них дает единицу давления, так как состоит из двух множителей, первый из которых ( Т₂ / Т₁ ) – безразмерный, а второй – давление. Проверим второе слагаемое:

Произведем вычисления по формуле (5), учитывая, что , :

.

Пример 3.

Баллон содержит m₁=80 г кислорода и m₁=320 г аргона. Давление смеси p = 1 МПа, температура Т = 300 К. Принимая данные газа за идеальные, определить объем V баллона.

Дано:   р= 1·106 Па m1 = 0,08 кг m2 = 0,32 кг T = 300 K	Решение:   По закону Дальтона, давление смеси равно сумме парциальных давлений газов, входящих в состав смеси. По уравнению Менделеева – Клапейрона, парциальные давления р1 кислорода и р2 аргона выражаются формулами:
V - ?

.

Следовательно, по закону Дальтона, давление смеси газов

р = р₁ + р₂, или ,

Откуда объем баллона

.

Произведем вычисления, учитывая, что М₁ = 32·10^-3 кг/моль, М₂ = 40·10^-3 кг/моль, :

.

Пример 4.

Найти среднюю кинетическую энергию вращательного движения одной молекулы кислорода при температуре Т = 350 К, а также кинетическую энергию Е_к вращательного движения всех молекул кислорода массой m = 4 г.

Дано:   m = 0,004 кг T = 350 K	Решение:   На каждую степень свободы молекулы газа приходится одинаковая средняя энергия = , где k – постоянная Больцмана, Т – термодинамическая температура газа. Так как вращательному движению двух- атомной молекулы ( молекула кислорода -
, Ек - ?

двухатомная) соответствует две степени свободы, то средняя энергия вращательного движения молекулы кислорода = . (1)

Кинетическая энергия вращательного движения всех молекул газа (2)

Число всех молекул газа

(3)

где N_A – постоянная Авогадро, v – количество вещества.

Если учесть, что количество вещества v = m/M, где m – масса газа, М – молярная масса газа, то формула (3) примет вид

Подставив выражение N в формулу (2), получаем

. (4)

Произведем вычисления, учитывая, что для кислорода :

Пример 5.

Вычислить удельные теплоемкости при постоянном давлении с_P и постоянном объеме c_V неона и водорода, принимая эти газы за идеальные.

Решение:

Удельные теплоемкости идеальных газов выражаются формулами

где i – число степеней свободы молекулы газа, М – молярная масса. Для неона (одноатомного газа) i = 3 и M = 20·10^-3 кг/моль.

Произведем вычисления:

.

Для водорода (двухатомный газ) i = 5 и M = 2·10^-3 кг/моль. Тогда

.

Пример 6.

Кислород массой m = 2 кг занимает объем V₁ = 1 м³ и находится под давлением р₁ = 0,2 МПа. Газ был нагрет сначала при постоянном давлении до объема V₂ = 3 м³, а затем при постоянном объеме до давления р₃ = 0,5 МПа. Найти изменение ΔU внутренней энергии газа, совершенную им работу А и теплоту Q, переданную газу. Построить график процесса.

Дано:   m = 2 кг V1 = 1 м3 р1 = 0,2·106 Па р3 = 0,5·106 Па V2 = 3 м3	Решение:   Изменение внутренней энергии газа , (1) где i – число степеней свободы молекул газа (для двухатомных молекул кислорода i = 5), - разность температур газа в конеч-
ΔU, А, Q - ?

ном (третьем) и начальном состояниях.

Начальную и конечную температуру газа найдем из уравнения Менделеева - Клапейрона , откуда .

P P3 • 3 1 P1 • • 2 0 V1 V2 V Рис. 6

Работа расширения газа при постоян- ном давлении выражается формулой . Работа газа, нагреваемого при постоянном объеме, равна нулю: . Следовательно, полная работа, совершаемая газом, . Согласно первому началу термоди- намики, теплота Q , переданная газу, равна сумме изменения внутренней

энергии ΔU и работы А:

.

Произведем вычисления, учитывая, что для кислорода :

;

;

;

;

;

;

.

График процесса приведен на рис. 6.

Пример 7.

В цилиндре под поршнем находится водород массой m = 0,02 кг при температуре T₁ = 300 K. Водород сначала расширился адиабатно, увеличив свой объем в n₁ = 5 раз, а затем был сжат изотермически, причем объем газа уменьшился в n₂ = 5 раз. Найти температуру в конце адиабатного расширения и работу, совершаемую газом при этих процессах.

Дано:   m = 0,02 кг T1 = 300 K n1 = 5 раз n2 = 5 раз	Решение:   Температуры и объемы газа, совершающего адиабатный процесс, связаны между собой соотношениями , или ,
T2, A1, A2 - ?

где γ – отношение теплоемкостей газа при постоянном давлении и постоянном объеме, .

Отсюда получаем следующее выражение для конечной температуры

.

Работа А₁ газа при адиабатном расширении может быть определена по формуле

,

Где C_V – молярная теплоемкость газа при постоянном объеме. Работа А₂ газа при изотермическом процессе может быть выражена в виде

, или , где n₂ =V₂/V₃ .

Произведем вычисления, учитывая, что для водорода как двухатомного газа

.

Так как (находится логарифмированием), то

,

Знак минус показывает, что при сжатии газа работа совершается внешними силами.

Пример 8.

Тепловая машина работает по обратимому циклу Карно. Температура теплоотдатчика T₁ = 500 K. Определить КПД η цикла и температуру Т₂ теплоприемника тепловой машины, если за счет каждого килоджоуля теплоты, полученной от теплоотдатчика, машина совершает работу А = 350 Дж.

Дано:   T1 = 500 K А = 350 Дж Q1 = 1·103 Дж	Решение:   Термический КПД тепловой машины показывает, какая доля теплоты, полученной от теплоотдатчика, превращается в механическую работу. Термический КПД выражается формулой
η, Т2 - ?

,

где Q₁ – теплота, полученная от теплоотдатчика, А – работа, совершенная рабочим телом тепловой машины.

Зная КПД цикла, можно по формуле

Определить температуру охладителя Т₂

Произведем вычисления

Пример 9.

Найти добавочное давление внутри мыльного пузыря диаметром d = 10 см. Какую работу нужно совершить, чтобы выдуть этот пузырь?

Дано:   d = 10 см.	Решение:   Пленка мыльного пузыря имеет две сферические поверхности: внешнюю и внутреннюю. Обе по- верхности оказывают давление на воздух, заклю-
р - ?

ченный внутри пузырька. Так как толщина пленки чрезвычайно мала, то диаметры обеих поверхностей практически одинаковы. Поэтому добавочное давление

,

где r – радиус пузыря. Так как r = d/2, то .

Работу, которую нужно совершить, чтобы, растягивая пленку, увеличить ее поверхность на ΔS , выражается формулой

В данном случае S – общая площадь двух сферических поверхностей пленки мыльного пузыря, S₀ – общая площадь двух поверхностей плоской пленки, затягивающей отверстие трубки до выдувания пузыря. Пренебрегая S₀ , получаем

Произведем вычисления:

;

.