Решение системы линейных уравнений с помощью

обратной матрицы

Весьма удобно записывать систему линейных уравнений

(1)

в матричной форме, а именно: если А=(а_ij) – основная матрица системы, а В и X – столбцы свободных членов и неизвестных, то (1) можно записать в виде

A·X=B. (2)

Как и в предыдущем параграфе, предположим, что определитель системы Δ≠0. Отсюда вытекает, что основная матрица системы имеет обратную А^-1. Умножим обе части матричного равенства (2) на матрицу А^-1. Используя ассоциативность умножения матриц и роль единичной матрицы, как единицы при умножении матриц, будем иметь:

A^-1(AX)= A^-1B,

(A^-1A)X= A^-1B,

EX= A^-1B,

X= A^-1B. (3)

Последнее равенство и дает выражение столбца неизвестных через обратную матрицу и столбец свободных членов. Вспомним вид обратной матрицы

A^-1=(А_ji/Δ) и приравняем j-е элементы столбцов, стоящих в левой и правой частях (3):

или

.

Выражение, стоящее в скобках, есть не что иное, как разложение определителя Δ_j (из предыдущего параграфа) по j-му столбцу. Поэтому (3) равносильно

,

и мы снова пришли к формулам Крамера.

Итак, если определитель Δ основной матрицы А системы линейных уравнений отличен от нуля, то существует и притом единственное решение матричного уравнения

АХ=В,

определяемое соотношением

Х=А^-1В,

которое эквивалентно формулам Крамера.