Решение систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы.

Тема 2. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ.

Основные понятия.

Определение 1. Системой m линейных уравнений с n неизвестными называется система вида:

, (I)

где и - числа.

Определение 2. Решением системы (I) называется такой набор неизвестных , при котором каждое уравнение этой системы обращается в тождество.

Определение 3. Система (I) называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение и несовместной, если она не имеет решений. Совместная система называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной в противном случае.

Определение 4. Уравнение вида

называется нулевым, а уравнение вида

, где

называется несовместным. Очевидно, что система уравнений, содержащая несовместное уравнение, является несовместной.

Определение 5. Две системы линейных уравнений называются равносильными, если каждое решение одной системы служит решением другой и, наоборот, всякое решение второй системы является решением первой.

Матричная запись системы линейных уравнений.

Рассмотрим систему (I) ( см. §1).

Обозначим:

- матрица коэффициентов при неизвестных

,

- матрица – столбец свободных членов

- матрица – столбец неизвестных

.

Определение 1. Матрица называется основной матрицей системы (I), а матрица - расширенной матрицей системы (I).

По определению равенства матриц системе (I) соответствует матричное равенство:

.

Правую часть этого равенства по определению произведения матриц (см. определение 3 § 5 главы 1) можно разложить на множители:

, т.е.

. (2)

Равенство (2) называется матричной записью системы (I).

Решение системы линейных уравнений методом Крамера.

Пусть в системе (I) ( см. §1) m=n , т.е. число уравнений равно числу неизвестных, и основная матрица системы невырожденная, т.е. . Тогда система (I) из §1 имеет единственное решение

, (3)

где Δ = det A называется главным определителем системы (I), Δ_i получается из определителя Δ заменой i-го столбца на столбец из свободных членов системы (I).

Пример.Решить систему методом Крамера :

.

По формулам (3) .

Вычисляем определители системы:

,

,

,

.

Чтобы получить определитель , мы заменили в определителе первый столбец на столбец из свободных членов; заменяя в определителе 2-ой столбец на столбец из свободных членов, получаем ; аналогичным образом, заменяя в определителе 3-ий столбец на столбец из свободных членов, получаем . Решение системы :

.

Решение систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы.

Пусть в системе(I) (см. §1) m=n и основная матрица системы невырожденная . Запишем систему (I) в матричном виде (см. §2):

, (2)

т.к. матрица A невырожденная, то она имеет обратную матрицу (см. теорему 1 §6 главы 1). Умножим обе части равенства (2) на матрицу , тогда

. (3)

По определению обратной матрицы . Из равенства (3) имеем

,

отсюда

. (4)

Пример 1.

Решить систему с помощью обратной матрицы

.

Обозначим

; ; .

В примере (§ 3)мы вычислили определитель , следовательно, матрица A имеет обратную матрицу . Тогда в силу (4) , т.е.

. (5)

Найдем матрицу (см. §6 главы 1)

, , ,

, , ,

, , ,

,

.

Ответ:

Метод Гаусса.

Пусть задана система линейных уравнений:

. (I)

Требуется найти все решения системы (I) или убедиться в том, что система несовместна.

Определение 1. Назовем элементарным преобразованием системы (I) любое из трёх действий :

1) вычёркивание нулевого уравнения;

2) прибавление к обеим частям уравнения соответствующих частей другого уравнения, умноженных на число l;

3) перемена местами слагаемых в уравнениях системы так, чтобы неизвестные с одинаковыми номерами во всех уравнениях занимали одинаковые места, т.е. если, например, в 1-ом уравнении мы поменяли 2-ое и 3-е слагаемые, тогда то же самое необходимо сделать во всех уравнениях системы.

Метод Гаусса состоит в том, что система (I) с помощью элементарных преобразований приводится к равносильной системе, решение которой находится непосредственно или устанавливается её неразрешимость.

Как было описано в §2 система (I) однозначно определяется своей расширенной матрицей и любое элементарное преобразование системы (I) соответствует элементарному преобразованию расширенной матрицы :

.

Преобразование 1) соответствует вычёркиванию нулевой строки в матрице , преобразование 2) равносильно прибавлению к соответствующей строке матрицы другой её строки, умноженной на число l, преобразование 3) эквивалентно перестановке столбцов в матрице .

Легко видеть, что, наоборот, каждому элементарному преобразованию матрицы соответствует элементарное преобразование системы (I). В силу сказанного, вместо операций с системой (I) мы будем работать с расширенной матрицей этой системы.

В матрице 1-ый столбец состоит из коэффициентов при х₁, 2-ой столбец - из коэффициентов при х₂ и т.д. В случае перестановки столбцов следует учитывать, что это условие нарушается. Например, если мы поменяем 1-ый и 2-ой столбцы местами, то теперь в 1-ом столбце будут коэффициенты при х₂, а во 2-ом столбце - коэффициенты при х₁.

Будем решать систему (I) методом Гаусса.

1. Вычеркнем в матрице все нулевые строки, если такие имеются (т.е. вычеркнем в системе (I) все нулевые уравнения).

2. Проверим, есть ли среди строк матрицы строка, в которой все элементы, кроме последнего, равны нулю (назовём такую строку несовместной). Очевидно, что такой строке соответствует несовместное уравнение в системе (I) , следовательно, система (I) решений не имеет и на этом процесс заканчивается.

3. Пусть матрица не содержит несовместных строк (система (I) не содержит несовместных уравнений). Если a₁₁=0, то находим в 1-ой строке какой-нибудь элемент (кроме последнего) отличный от нуля и переставляем столбцы так, чтобы в 1-ой строке на 1-ом месте не было нуля. Будем теперь считать, что (т.е. поменяем местами соответствующие слагаемые в уравнениях системы (I)).

4. Умножим 1-ую строку на и сложим результат со 2-ой строкой, затем умножим 1-ую строку на и сложим результат с 3-ей строкой и т.д. Очевидно, что этот процесс эквивалентен исключению неизвестного x₁ из всех уравнений системы (I), кроме 1-ого. В новой матрице получаем нули в 1-ом столбце под элементом a₁₁ :

.

5. Вычеркнем в матрице все нулевые строки, если они есть, проверим, нет ли несовместной строки (если она имеется, то система несовместна и на этом решение заканчивается). Проверим, будет ли a₂₂ ^/=0, если да, то находим во 2-ой строке элемент, отличный от нуля и переставляем столбцы так, чтобы . Далее умножаем элементы 2-ой строки на и складываем с соответствующими элементами 3-ей строки, затем - элементы 2-ой строки на и складываем с соответствующими элементами 4-ой строки и т.д., пока не получим нули под a₂₂ ^/

.

Произведенные действия эквивалентны исключению неизвестного х₂ из всех уравнений системы (I), кроме 1-ого и 2-ого. Так как число строк конечно, поэтому через конечное число шагов мы получим, что либо система несовместна, либо мы придём к ступенчатой матрице (см. определение 2 §7 главы 1) :

,

где

.

Выпишем систему уравнений, соответствующую матрице . Эта система равносильна системе (I)

.

Из последнего уравнения выражаем ; подставляем в предыдущее уравнение, находим и т.д., пока не получим .

Замечание 1. Таким образом, при решении системы (I) методом Гаусса мы приходим к одному из следующих случаев.

1. Система (I) несовместна.

2. Система (I) имеет единственное решение, если в матрице число строк равно числу неизвестных ( ).

3. Система (I) имеет бесчисленное множество решений, если число строк в матрице меньше числа неизвестных ( ).

Отсюда имеет место следующая теорема.

Теорема. Система линейных уравнений либо несовместна, либо имеет единственное решение, либо – бесконечное множество решений.

Примеры. Решить систему уравнений методом Гаусса или доказать ее несовместность:

а) ;

б) ;

в) .

Решение.

а) Перепишем заданную систему в виде:

.

Мы поменяли местами 1-ое и 2-ое уравнение исходной системы, чтобы упростить вычисления (вместо дробей мы с помощью такой перестановки будем оперировать только целыми числами).

Составляем расширенную матрицу:

.

Нулевых строк нет; несовместных строк нет, ; исключим 1-ое неизвестное из всех уравнений системы, кроме 1-го. Для этого умножим элементы 1-ой строки матрицы на «-2» и сложим с соответствующими элементами 2-ой строки, что равносильно умножению 1-го уравнения на «-2» и сложению со 2-ым уравнением. Затем умножим элементы 1-ой строки на «-3» и сложим с соответствующими элементами третьей строки, т.е. умножим 2-ое уравнение заданной системы на «-3» и сложим с 3-им уравнением. Получим

.

Матрице соответствует система уравнений

.

В матрице нулевых строк нет, несовместных строк также нет, исключим неизвестное из 3-го уравнения системы, для этого умножим элементы 2-ой строки матрицы на «-1» и сложим с элементами 3-ей строки :

.

Матрица содержит несовместную строку (в 3-ей строке все элементы равны нулю, кроме последнего). Этой строке соответствует несовместное уравнение . Следовательно, система решений не имеет ( ), система несовместна.

б) Составляем расширенную матрицу:

.

Нулевых строк нет, несовместных строк нет, , исключаем неизвестное из 2-го и 3-го уравнения заданной системы, для этого умножим элементы 1-ой строки матрицы на «-2», затем на «-3» и сложим соответственно с элементами 2-ой и 3-ей строк, получим

.

Рекомендуем читателю проанализировать, какие операции при этом совершаются с заданной системой уравнений. Умножаем элементы 2-ой строки матрицы на «-1» и складываем с элементами 3-ей строки, получаем:

,

где - матрица ступенчатого вида.

Записываем систему уравнений, соответствующую этой матрице

.

Теперь двигаемся снизу вверх. Из последнего уравнения находим .

Подставляя это равенство в предпоследнее уравнение, находим .

Подставляя и в первое уравнение, получаем : .

Ответ: - система имеет единственное решение.

в) Составляем расширенную матрицу:

1. Переставим местами 1-ую и 2-ую строку для упрощения вычислений (меняем местами уравнения в заданной системе).

2. Умножим элементы 2-ой строки матрицы последовательно на «-2», «-1» и «-5» и сложим соответственно с элементами 2-ой, 3-ей и 4-ой строк (для получения нулей под элементом ).

3. Аналогичным образом, получаем нули под элементом .

4. Вычеркиваем нулевые строки.

Последняя матрица – ступенчатая. Переходим от нее к системе уравнений:

;

из последнего уравнения получаем:

,

подставляя это равенство в 1-ое уравнение системы, находим

.

Ответ: - система имеет бесчисленное множество решений. Давая произвольные значения переменным и , мы каждый раз будем получать частные решения заданной системы уравнений.

Замечание . Количество уравнений в окончательной системе при решении методом Гаусса всегда равно рангу матрицы - (см. определение 3§7 главы 1).