Поняття випадкової функції і випадкових процесів

Зміна в процесі одного досліду випадкової величини називається випадковою функцією, тобто це функція, яка в результаті досліду може набути того чи іншого виду, наперед невідомого.

Якщо аргументом є час, то випадкова функція називається випадковим процесом.

Математична модель процесу з випадковими відхиленнями може бути представлена у виді співвідношення:

,

- величини, що відображають ряд спостережень (і=1, 2... n);

- деяка функція, що відображає тенденцію зміни ;

- випадкові відхилення, що мають місце при проходженні процесу .

Цю величину можна розглядати, як появу похибки по відношенню до , завдяки чому процес став випадковим.

Припустимо, що функція φ (t) задана деякою формулою:

, в яку входять невідомі параметри вибрані так, щоб φ (t) . Для знаходження знаходять

,

тобто застосовують метод найменших квадратів. Якщо випадковість розглядати як основну властивість процесу, а не як відхилення від основної тенденції зміни, то можна оперувати лише з випадковими величинами .

Якщо розширити математичну модель, розглядаючи нескінченну в обидві сторони послідовність , то можна отримати послідовність величин, яка називається випадковим процесом. Неперервна випадкова величина x(t), що змінюється в часі, називається випадковим, або стохастичним процесом.

Випадкові процеси в енергетиці зв’язані, по-перше, метеорологічними умовами. До їх числа можна віднести зміни потужності і енергії гідроелектростанції, зміну сумарного попиту потужності ї енергії в енергосистемах, що залежить як від зміни температури навколишнього середовища, так і від інших факторів. По-друге, в процесі можуть бути зв’язані з потоками однорідних подій: виникнення аварій, закінчення аварійних ремонтів.

Імовірнісні методи визначення закономірностей, що характеризують випадкові процеси, в енергетиці поки тільки розробляються, і методики їх використання поки ще немає, крім методу Монте-Карло і теорії масового обслуговування.

Визначимо кількісні характеристики випадкового процесу. Для кожного конкретного значення часу t випадковий процес характеризується деякою випадковою величиною, яка називається розрізом випадкового процесу.

Якщо фіксується певне значення часу t, то випадковий процес перетворюється у (розріз); якщо фіксується конкретний дослід, то випадковий процес перетворюється у невипадкову функцію часу (реалізація випадкового процесу).

Випадковий процес являє собою нескінченну множину випадкових величин чи невипадкових функцій часу.

Випадкові величини, що являють собою розріз випадкового процесу, є залежними величинами, тобто мають кореляційний зв’язок В цьому зв’язку і полягає єдність процесу.

Для випадкового процесу неможливо знайти загальний закон розподілу ймовірностей. Але кількісні характеристики випадкового процесу можна отримати на основі достатньо великої кількості дослідів, тобто на основі обробки великої кількості реалізацій.

Позначимо величину, що характеризує випадковий процес, через Х(t). Математичне сподівання випадкового процесу М(Х(t)) - математичне сподівання всіх його розрізів, на відміну від випадкової величини є не конкретною величиною, а конкретною функцією часу.

Якщо математичне сподівання розрізу процесу позначити через , то:

.

Таким чином, щоб отримати , потрібно для кожного значення часу шляхом статистичної обробки спостережених випадкових значень знаходиться конкретна величина , що дорівнює математичному сподіванню випадкової величини, що спостерігалась при даному значенні t.

Сукупність значень для всіх значень t і визначають математичне сподівання випадкового процесу у вигляді функцію часу. Аналогічно можуть бути визначені значення дисперсії і стандартного відхилення.

Обидві ці величини є також невипадковими функціями часу і визначаються для кожного моменту часу розрізу на основі обробки спостережень за значеннями випадкової величини, в яку перетворюється процес при конкретному значенні t.

Для повної характеристики випадкового процесу необхідно знати ще одну величину – так звану кореляційну функцію процесу, яка являє собою математичне сподівання добутку центрованих значень двох випадкових величин, для двох довільних конкретних значень t і t´.

, де центроване значення дорівнює різниці випадкової функції часу і її математичного сподівання

.

Якщо t´=t, то кореляційна функція перетворюється в дисперсію:

.

Якщо використати поняття нормальної випадкової величини: ,

то математичне сподівання двох нормованих розрізів дорівнює коефіцієнту кореляції цих розрізів:

.

Якщо t´=t, то

.