Монотонность функции. достаточные условия экстремума функции

РАЗДЕЛ 5. ЭКСТРЕМУМЫ

· Излагаются вопросы исследования функций на экстремум

· Рассматриваются экстремумы функций одной и нескольких переменных

МОНОТОННОСТЬ ФУНКЦИИ. ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ ЭКСТРЕМУМА ФУНКЦИИ

Напомним основные определения.

Определение. Функция монотонность функции. достаточные условия экстремума функции - student2.ru , определенная на промежутке монотонность функции. достаточные условия экстремума функции - student2.ru , возрастает на этом промежутке, если для любых монотонность функции. достаточные условия экстремума функции - student2.ru , монотонность функции. достаточные условия экстремума функции - student2.ru имеет место неравенство монотонность функции. достаточные условия экстремума функции - student2.ru .

Функция монотонность функции. достаточные условия экстремума функции - student2.ru , определенная на промежутке монотонность функции. достаточные условия экстремума функции - student2.ru , не убывает на монотонность функции. достаточные условия экстремума функции - student2.ru , если для любых монотонность функции. достаточные условия экстремума функции - student2.ru , монотонность функции. достаточные условия экстремума функции - student2.ru имеет место неравенство монотонность функции. достаточные условия экстремума функции - student2.ru .

Функция монотонность функции. достаточные условия экстремума функции - student2.ru , определенная на промежутке монотонность функции. достаточные условия экстремума функции - student2.ru , убывает на монотонность функции. достаточные условия экстремума функции - student2.ru , если для любых монотонность функции. достаточные условия экстремума функции - student2.ru , монотонность функции. достаточные условия экстремума функции - student2.ru имеет место неравенство монотонность функции. достаточные условия экстремума функции - student2.ru .

Функция монотонность функции. достаточные условия экстремума функции - student2.ru , определенная на промежутке монотонность функции. достаточные условия экстремума функции - student2.ru , не возрастает на монотонность функции. достаточные условия экстремума функции - student2.ru , если для любых монотонность функции. достаточные условия экстремума функции - student2.ru , монотонность функции. достаточные условия экстремума функции - student2.ru имеет место неравенство монотонность функции. достаточные условия экстремума функции - student2.ru .

Общее название рассмотренных функций - монотонные функции.

Ясно, что если функция возрастает на монотонность функции. достаточные условия экстремума функции - student2.ru , то она, тем более, не убывает на монотонность функции. достаточные условия экстремума функции - student2.ru (но не наоборот). Аналогичное замечание справедливо для убывающей функции.

Общее название возрастающих, убывающих функций – строго монотонные функции.

Теорема.Пусть функция монотонность функции. достаточные условия экстремума функции - student2.ru дифференцируема на интервале монотонность функции. достаточные условия экстремума функции - student2.ru . Она не убывает (не возрастает) на монотонность функции. достаточные условия экстремума функции - student2.ru тогда и только тогда, когда для всех монотонность функции. достаточные условия экстремума функции - student2.ru выполняется неравенство монотонность функции. достаточные условия экстремума функции - student2.ru .

◄Пусть монотонность функции. достаточные условия экстремума функции - student2.ru не убывает на монотонность функции. достаточные условия экстремума функции - student2.ru (случай невозрастания рассматривается аналогично). Тогда рассмотрим произвольную точку монотонность функции. достаточные условия экстремума функции - student2.ru и приращения монотонность функции. достаточные условия экстремума функции - student2.ru такие, что монотонность функции. достаточные условия экстремума функции - student2.ru . Если монотонность функции. достаточные условия экстремума функции - student2.ru , то монотонность функции. достаточные условия экстремума функции - student2.ru и монотонность функции. достаточные условия экстремума функции - student2.ru .

Если монотонность функции. достаточные условия экстремума функции - student2.ru , то монотонность функции. достаточные условия экстремума функции - student2.ru , но все равно монотонность функции. достаточные условия экстремума функции - student2.ru . Предел монотонность функции. достаточные условия экстремума функции - student2.ru существует и равен монотонность функции. достаточные условия экстремума функции - student2.ru . По теореме о предельном перехоле в неравенстве этот предел монотонность функции. достаточные условия экстремума функции - student2.ru .

Обратно пусть для всех монотонность функции. достаточные условия экстремума функции - student2.ru выполняется неравенство монотонность функции. достаточные условия экстремума функции - student2.ru . Пусть монотонность функции. достаточные условия экстремума функции - student2.ru , монотонность функции. достаточные условия экстремума функции - student2.ru . К отрезку монотонность функции. достаточные условия экстремума функции - student2.ru можно применить теорему Лагранжа. Действительно, т.к. монотонность функции. достаточные условия экстремума функции - student2.ru дифференцируема на монотонность функции. достаточные условия экстремума функции - student2.ru , то она непрерывна на монотонность функции. достаточные условия экстремума функции - student2.ru , а, значит, и на монотонность функции. достаточные условия экстремума функции - student2.ru . Также по условию она дифференцируема на монотонность функции. достаточные условия экстремума функции - student2.ru . Следовательно, монотонность функции. достаточные условия экстремума функции - student2.ru .►

Теорема допускает уточнение

Теорема.Пусть монотонность функции. достаточные условия экстремума функции - student2.ru дифференцируема на монотонность функции. достаточные условия экстремума функции - student2.ru и для всех монотонность функции. достаточные условия экстремума функции - student2.ru выполняется неравенство монотонность функции. достаточные условия экстремума функции - student2.ru . Тогда монотонность функции. достаточные условия экстремума функции - student2.ru возрастает на монотонность функции. достаточные условия экстремума функции - student2.ru .

◄Как и в предыдущей теореме, получаем, что для любых монотонность функции. достаточные условия экстремума функции - student2.ru , монотонность функции. достаточные условия экстремума функции - student2.ru , имеет место неравенство

монотонность функции. достаточные условия экстремума функции - student2.ru .►

Замечание. Утверждать, что если функция возрастает, то для всех монотонность функции. достаточные условия экстремума функции - student2.ru выполняется неравенство монотонность функции. достаточные условия экстремума функции - student2.ru нельзя. Пример функции монотонность функции. достаточные условия экстремума функции - student2.ru показывает, что хотя эта функция возрастает на всей прямой, есть точка монотонность функции. достаточные условия экстремума функции - student2.ru , в которой ее производная равна 0.

Таким образом, даже возрастание функции монотонность функции. достаточные условия экстремума функции - student2.ru гарантирует, по теореме 29.1, лишь нестрогое неравенство монотонность функции. достаточные условия экстремума функции - student2.ru .

В теореме Ферма установлено необходимое условие экстремума: Если функция монотонность функции. достаточные условия экстремума функции - student2.ru имеет производную монотонность функции. достаточные условия экстремума функции - student2.ru в точке экстремума монотонность функции. достаточные условия экстремума функции - student2.ru , то монотонность функции. достаточные условия экстремума функции - student2.ru .

Как показывает пример из предыдущего замечания, монотонность функции. достаточные условия экстремума функции - student2.ru , это условие не является достаточным.

Теорема. Пусть функция монотонность функции. достаточные условия экстремума функции - student2.ru непрерывна в некоторой окрестности монотонность функции. достаточные условия экстремума функции - student2.ru и пусть монотонность функции. достаточные условия экстремума функции - student2.ru для всех монотонность функции. достаточные условия экстремума функции - student2.ru и монотонность функции. достаточные условия экстремума функции - student2.ru для всех монотонность функции. достаточные условия экстремума функции - student2.ru . Тогда монотонность функции. достаточные условия экстремума функции - student2.ru -точка минимума. Если же монотонность функции. достаточные условия экстремума функции - student2.ru для всех монотонность функции. достаточные условия экстремума функции - student2.ru и монотонность функции. достаточные условия экстремума функции - student2.ru для всех монотонность функции. достаточные условия экстремума функции - student2.ru , то монотонность функции. достаточные условия экстремума функции - student2.ru - точка максимума.

◄Проведём доказательство для точки минимума. Пусть монотонность функции. достаточные условия экстремума функции - student2.ru , и монотонность функции. достаточные условия экстремума функции - student2.ru .

Если монотонность функции. достаточные условия экстремума функции - student2.ru , то применим теорему Лагранжа к отрезку монотонность функции. достаточные условия экстремума функции - student2.ru :

монотонность функции. достаточные условия экстремума функции - student2.ru .

Если монотонность функции. достаточные условия экстремума функции - student2.ru , то применим теорему Лагранжа к отрезку монотонность функции. достаточные условия экстремума функции - student2.ru :

монотонность функции. достаточные условия экстремума функции - student2.ru ,

Поэтому монотонность функции. достаточные условия экстремума функции - student2.ru . Таким образом, монотонность функции. достаточные условия экстремума функции - student2.ru - точка минимума.►

Теорема. Пусть монотонность функции. достаточные условия экстремума функции - student2.ru , монотонность функции. достаточные условия экстремума функции - student2.ru существует в монотонность функции. достаточные условия экстремума функции - student2.ru и монотонность функции. достаточные условия экстремума функции - student2.ru . Пусть монотонность функции. достаточные условия экстремума функции - student2.ru такова, что монотонность функции. достаточные условия экстремума функции - student2.ru , монотонность функции. достаточные условия экстремума функции - student2.ru
Тогда если монотонность функции. достаточные условия экстремума функции - student2.ru , то монотонность функции. достаточные условия экстремума функции - student2.ru - точка максимума, если монотонность функции. достаточные условия экстремума функции - student2.ru , то монотонность функции. достаточные условия экстремума функции - student2.ru - точка минимума.

◄Условия теоремы дают возможность применить формулу Тейлора с остаточным членом в форме Пеано, согласно которой, с учётом равенства монотонность функции. достаточные условия экстремума функции - student2.ru , имеем:

монотонность функции. достаточные условия экстремума функции - student2.ru , где монотонность функции. достаточные условия экстремума функции - student2.ru при монотонность функции. достаточные условия экстремума функции - student2.ru .

Пусть монотонность функции. достаточные условия экстремума функции - student2.ru . Так как монотонность функции. достаточные условия экстремума функции - student2.ru при монотонность функции. достаточные условия экстремума функции - student2.ru , существует монотонность функции. достаточные условия экстремума функции - student2.ru такое, что для любых монотонность функции. достаточные условия экстремума функции - student2.ru : монотонность функции. достаточные условия экстремума функции - student2.ru выполняется неравенство монотонность функции. достаточные условия экстремума функции - student2.ru .

Это означает, что модуль второго слагаемого в сумме монотонность функции. достаточные условия экстремума функции - student2.ru не превосходит половины модуля первого слагаемого, т.е. монотонность функции. достаточные условия экстремума функции - student2.ru , поэтому знак этой суммы совпадает со знаком монотонность функции. достаточные условия экстремума функции - student2.ru . Но знак этой величины совпадает со знаком монотонность функции. достаточные условия экстремума функции - student2.ru как при монотонность функции. достаточные условия экстремума функции - student2.ru , так и при монотонность функции. достаточные условия экстремума функции - student2.ru , так как монотонность функции. достаточные условия экстремума функции - student2.ru . Следовательно, приращение монотонность функции. достаточные условия экстремума функции - student2.ru не меняет знак в окрестности точки монотонность функции. достаточные условия экстремума функции - student2.ru , и знак его совпадает со знаком монотонность функции. достаточные условия экстремума функции - student2.ru . Это и означает, что если монотонность функции. достаточные условия экстремума функции - student2.ru , то монотонность функции. достаточные условия экстремума функции - student2.ru - точка максимума, а если монотонность функции. достаточные условия экстремума функции - student2.ru , то монотонность функции. достаточные условия экстремума функции - student2.ru - точка минимума.►

Ещё более тонкий достаточный признак экстремума содержится в следующей теореме.

Теорема.Пусть монотонность функции. достаточные условия экстремума функции - student2.ru , монотонность функции. достаточные условия экстремума функции - student2.ru существует в монотонность функции. достаточные условия экстремума функции - student2.ru и монотонность функции. достаточные условия экстремума функции - student2.ru . Пусть точка монотонность функции. достаточные условия экстремума функции - student2.ru такова, что монотонность функции. достаточные условия экстремума функции - student2.ru , а монотонность функции. достаточные условия экстремума функции - student2.ru . Тогда если n – чётное число, то в точке монотонность функции. достаточные условия экстремума функции - student2.ru есть экстремум, минимум при монотонность функции. достаточные условия экстремума функции - student2.ru , максимум при монотонность функции. достаточные условия экстремума функции - student2.ru .

Если же n – нечётное число, то в точке монотонность функции. достаточные условия экстремума функции - student2.ru экстремума нет.

◄Аналогично предыдущей теореме, получаем равенство монотонность функции. достаточные условия экстремума функции - student2.ru , где монотонность функции. достаточные условия экстремума функции - student2.ru при монотонность функции. достаточные условия экстремума функции - student2.ru , из которого точно так же следует, что знак приращения монотонность функции. достаточные условия экстремума функции - student2.ru совпадает со знаком монотонность функции. достаточные условия экстремума функции - student2.ru при условии монотонность функции. достаточные условия экстремума функции - student2.ru .

Если n – чётное число, то, как и в предыдущей теореме, монотонность функции. достаточные условия экстремума функции - student2.ru как для монотонность функции. достаточные условия экстремума функции - student2.ru , так и для монотонность функции. достаточные условия экстремума функции - student2.ru , поэтому знак приращения совпадает со знаком монотонность функции. достаточные условия экстремума функции - student2.ru и заключение теоремы становится очевидным.

Если же n – нечётное число, то величина монотонность функции. достаточные условия экстремума функции - student2.ru положительна при монотонность функции. достаточные условия экстремума функции - student2.ru и отрицательна при монотонность функции. достаточные условия экстремума функции - student2.ru , поэтому приращение монотонность функции. достаточные условия экстремума функции - student2.ru меняет свой знак в произвольной окрестности точки монотонность функции. достаточные условия экстремума функции - student2.ru , следовательно, в точке монотонность функции. достаточные условия экстремума функции - student2.ru нет экстремума. ►

Наши рекомендации