Сследование свойств квадратичной регрессионной модели.

орядок постановки и проверка воспроизводимости опытов.

Для оценки точности эксперимента в каждой i-й точке факторного пространства проводят m параллельных опытов. В результате получают значения y_i1, y_i2, …, y_im для i=1,N исследуемого параметра, для которых находят среднее значение

, (8)

где y_iq — исследуемый параметр, q — номер измерения отклика при проведении параллельных опытов.

Чтобы исключить влияние систематических ошибок, вызванных влиянием внешней среды и неконтролируемых факторов, рекомендуется случайная последовательность при постановке опытов, которая называется рандомизацией. Рандомизацию опытов можно провести с помощью генератора случайных чисел.

Опыт считается статистически воспроизводимым. Если дисперсия выходного параметра s²_{y} однородна в каждой точке факторного пространства. Такую дисперсию называют также дисперсией воспроизводимости опыта и вычисляют по формуле

, (9)

где — среднее значение отклика в i-м опыте, y_iq — значение отклика.

Гипотезу о воспроизводимости опытов проверяют с помощью критерия Кохрена. Этот критерий используют тогда, когда во всех точках факторного пространства имеется одина­ковое число повторных опытов. Для этого формулируют нулевую гипотезу

Н₀: s²_y1= s²_y2=…= s²_yn — дисперсии значений отклика в каждом опыте однородны.

Подсчитывается дисперсия значений отклика для каждого из опытов эксперимента:

, i=1,N, (10)

а затем из всех дисперсий находится наибольшая , ко­торая делится на сумму всех дисперсий:

. (11)

Если G_расч<G_табл(α;γ₁;γ₂), гипотеза об однородности дисперсий принимется. Здесь α – уровень значимости, γ₁ и γ₂ – степени свободы, при этом γ₁=m-1, γ₂=N. Таблицы распределения Кохрена приводятся в Приложении А. Если G_расч>G_табл гипотеза отвергается, и тогда эксперимент необходимо повторить, изменив условия его проведения (набор факторов, интервалы их варьирования, точность измерительных приборов и др.).

асчет оценок коэффициентов регрессионного уравнения

Оценки коэффициентов регрессии для соответствующих групп равны ( — среднее значение отклика в i-м опыте):

— для свободного члена модели (2)

; (12)

— для линейных слагаемых моделей (1), (2)

, u = 1,2,…,k; (13)

— для парных взаимодействий моделей (1), (2)

, j, u = 1,2…k; j¹u; (14)

— для центрированных квадратичных переменных моделей (1), (2)

, u = 1,2,…,k. (15)

Приведем регрессионную модель (2) к виду (1). Для этого в выражение (5) подставим значение , вычисленное в соответствии с (12) и β, определенное на основании (3):

. (16)

Итак, получили для искомой регрессионной модели (1) следующие коэффициенты: b₀, b_i≡β_u, b_ij≡β_uj, b_ii≡β_u, i, u = 1,2…k; j¹u.

сследование свойств квадратичной регрессионной модели.

2.5. 1. Анализ значимости коэффициентов регрессии.Точность оценки коэффициентов регрессии для разных групп неодинакова, поскольку условие нормировки в случае ОЦКП не соблюдается, т.к. (u – номер любого столбца, кроме нулевого).

Проверка значимости коэффициентов уравнения регрессии проводится по t-критерию Стьюдента. Гипотеза о равенстве коэффициента уравнения регрессии нулю принимается, если выполняется неравенство t_табл>t_расч. В этом случае считается, что найденный коэффициент b_j является статистически незначительным и его следует исключить из уравнения регрессии. Критическое значение критерия t_табл выбирается из таблиц t-распределения Стьюдента при выбранном уровне статистической значимости a и при числе степеней свободы γ=N(m–1). Таблица t-распределения Стьюдента приведена в Приложении Б. Кроме этого критическое значение t_табл можно определить, используя функции электронной таблицы Excel: СТЬЮДРАСПОБР(α; γ).

Расчетное значение t-критерия вычисляется по формуле

, где s{b_j}— оценка среднего квадратичного отклонения погрешности определения коэффициента, .

Оценки дисперсий для каждой из четырех однородных групп для m параллельных опытов подсчитываются по следующим формулам:

, (17)

, (18)

, (19)

, (20)

где s²_воспр — дисперсия воспроизводимости, вычисленная в соответствии с (9).

Как было отмечено выше, если коэффициенты регрессии оказываются незначимыми, то они исключаются из уравнения регрессии. Так как при использовании ОЦКП все коэффициенты используются независимо, то изменение оценки любого коэффициента (например, исключение его из уравнения) не приводит к изменению других оценок и их дисперсий. Исключение составляет коэффициент b₀. Необходимо помнить, что незначимость коэффициентов может быть обусловлена и неверным выбором интервала варьирования факторов. Поэтому иногда бывает полезно расширить интервал варьирования и провести новый эксперимент.

2.5.2. Проверка адекватности модели.Проверка адекватности полученного уравнения регрессии экспериментальным данным проводится на основании критерия Фишера, расчетное значение которого представляет собой следующее отношение

, (21)

где s²_ост — дисперсия, характеризующая расхождение между экспериментальными данными и теоретическими, полученными на основании и выражений (13)-(16) для коэффициентов модели (1) с учетом анализа значимости коэффициентов:

, (22)

где — значение отклика в i-й точке факторного пространства, вычисленное на основании модели (1), — количество значимых коэффициентов в модели (1).

Если , то гипотеза об адекватности регрессионной модели принимается. Значение F_табл выбирается из таблиц распределения Фишера при уровне значимости α и степенях свободы и . Таблица F-распределения Фишера приведена в Приложении 3. Кроме этого критическое значение F_табл можно определить, используя функции электронной таблицы Excel: FРАСПОБР(α; γ₁; γ₂).

онтрольные вопросы.

1. В чем сущность ортогонального ЦКП и какие ММ он позволяет построить?

2. В чем сущность и цель стандартизации масштаба факторов?

3. Как составляется и какими свойствами обладает МПортогонального ЦКП?

4. Что такое «звездное плечо» и из каким образом выбирается его значение?

5. Как определяется число опытов ОЦКП?

6. Что является ядром плана в ОЦКП?

7. Что является геометрической интерпретаций ОЦКП для двух факторов и для трех факторов?

8. Каков порядок постановки опытов в ОЦКП?

9. Как проверить воспроизводимость опытов?

10. Как рассчитать оценки коэффициентов регрессионного уравнения?

11. Как проверить статистическую значимость оценок коэффициентов регрессии?

12. Как проверить адекватность полученной ММ?

13. Как перейти к исходным физическим переменным?

ример расчета ОЦКП.

Требуется исследовать влияние технологических факторов (номиналов резисторов R1 и R2) в интегральной транзисторно-транзисторной логической схеме на значение средней потребляемой мощности P=f(R1, R2). Центр плана эксперимента: R1=5,3кОм и R2=3,75кОм. Функцию f(R1, R2) будем искать в виде квадратичного полинома (1).

Составим ОЦКП для пяти серий опытов при интервалах варьирования для R1 — 1,1кОм, R2 — 0,55кОм. Для стандартизации масштабов факторов условия проведения опытов вычислим значения нижнего и верхнего уровня согласно соотношению (7) и сведем результаты в таблицу 6.

Таблица 6 — Условия проведения ОЦКП

Характеристика плана	Стандартный масштаб xi	Натуральный масштаб
x1=R1, кОм	x2=R2, кОм
Нулевой уровень		5,3	3,75
Верхний уровень	+1	6,4	4,3
Нижний уровень	-1	4,2	3,2
Звездные точки	+1	5,3	4,3
-1	4,2	3,2

Составим матрицу эксперимента с учетом рандомизации опытов. В таблице 7 представлены результаты параллельных опытов и вычислены среднее значение отклика и дисперсия для каждой точки факторного пространства соответственно соотношениям (8) и (10).

Таблица 7. — Результаты эксперимента.

№	x0	x1	x2	x1x2	x21	x22	y1	y2	y3	y4	y5	ycp	s2yi
		-1	-1		0,3	0,3	6,7	3,7	5,9	4,5	4,3	5,0	1,6
			-1	-1	0,3	0,3	14,1	13,2	14,7	12,9	14,3	13,8	0,6
		-1		-1	0,3	0,3	1,3	1,1	1,5	0,9	0,7	1,1	0,1
					0,3	0,3	18,8	20,2	17,7	19,1	20,1	19,2	1,1
		-1			0,3	-0,7	3,6	5,5	4,1	3,5	3,8	4,1	0,7
					0,3	-0,7	18,6	17,4	18,3	17,1	17,4	17,8	0,4
			-1		-0,7	0,3	8,8	9,2	8,3	9,1	8,4	8,8	0,2
					-0,7	0,3	10,7	10,2	10,1	10,2	11,1	10,5	0,2
					-0,7	-0,7	11,9	10,6	11,9	12,2	10,4	11,4	0,7

Проведем анализ воспроизводимости опыта на основе критерия Кохрена в соответствии с (11): G_расч=0,292, табличное значение критерия определяем при уровне значимости α=0,05 и степенях свободы γ₁=m-1=4, γ₂=N=9, получаем G_табл(α;γ₁;γ₂)=0,502. Так как G_расч< G_табл, опыт является воспроизводимым, и его результаты можно использовать для оценки коэффициентов регрессионного уравнения.

В соответствии с расчетными формулами (12)—(16) можно определить коэффициенты регрессионной модели. Для анализа значимости коэффициентов необходимо вычислить погрешности определения коэффициентов модели на основании соотношений (17)—(20). Результаты расчетов в таблице 8.

Таблица 8 — Результаты анализа значимости коэффициентов.

	b0	b1	b2	b12	b11	b22
расчетные формулы	12, 16
коэффициенты регрессионной модели	11,124	6,760	0,524	2,325	-0,050	-1,368
расчетные формулы
погрешности определения коэффициентов	0,011	0,020	0,020	0,030	0,061	0,061
tрасч	105,88	47,52	3,68	13,34	0,20	5,55
вывод	зн	зн	зн	зн	нзн	зн

Для принятия решения о значимости коэффициентов уравнения регрессии расчетное значение критерия Стьюдента t_расч сравнивается с табличным значением. Табличное значений критерия Стьюдента t_табл выбирается при уровне значимости α=0,05 и степени свободы γ=N(m-1)=45, t_табл=2,014. Неравенство t_расч <t_табл выполняется для коэффициента b₁₁, который приравнивается к нулю и исключается из регрессионной модели.

Проверка адекватности построенной модели выполняется в соответствии с критерием Фишера (21). Согласно выражению (9) дисперсия воспроизводимости равна s²_воспр=0,607, остаточная дисперсия в соответствии с (22) составляет s²_ост= 0,169, Расчетное значение критерия Фишера равно F_расч=0,278. Табличное значений критерия Фишера F_табл выбирается при уровне значимости α=0,05 и степенях свободы и , F_табл=2,87. Неравенство F_расч< F_табл выполняется, поэтому построенная регрессионная модель считается адекватной экспериментальным данным.

Перейдем от кодированных значений факторов к натуральному исчислению в соответствии с выражением (7) и условиями проведения эксперимента в таблице 6:

P=-12,15-8,27R1+14,5R2+3,84R1R2-4,52R2². (23)

Таким образом, выражение (23) представляет характер изменения средней потребляемой мощности P интегральной транзисторно-транзисторной логической схемы в области изменения номиналов резисторов 4,2≤R1≤6,4кОм, 3,2≤R2≤4,3 кОм.

3. Рототабельное центральное композиционное планирование

ототабельный центральный композиционный план.

Рототабельный центральный композиционный план (РЦКП) позволяет получить математическое описание отклика объекта исследования в виде уравнения множественной регрессии второго порядка:

Рототабельные планы, как и ортогональные, являются композиционными. Они позволяют сохранить экспериментальную информацию, полученную с помощью ПФЭ или ДФЭ, которую исследователь затем дополняет опытами в «звездных точках» и в центре плана.

Метод РЦКП позволяет получить более точное математическое описание, что достигается благодаря увеличению числа опытов в центре плана и специальному выбору величины «звездного плеча» α.

Рототабельные планы — это планы, у которых точки плана располагаются на окружностях (сферах, гиперсферах). В таком случае точность оценивания функции отклика по любому направлению факторного пространства (для всех точек плана) одинаковая.

Число опытов РЦКП определяется по формуле N=2^k-p+2k+N₀, где 2^k-p — число опытов в ядре плана ПФЭ или ДФЭ, 2k — число опытов в «звездных» точках, имеющих координаты, N₀ — число опытов в центре плана.

Чтобы композиционный план был ротатабельный величина «звездного» плеча α выбирается из условий

при n<5

при n≥5.

Параметры РЦКП для различного количества факторов приведены в таблице 9.

3.2. Составление матрицы планирования эксперимента

Матрица планирования строится так же, как и при ортогональном плане. Отличие состоит только в том, что число опытов в центре плана выбирается из условия, чтобы информация о значениях выходной переменной оставалась неизменной (или почти неизменной) для точек сферы единичного радиуса, т.е. чтобы информационный профиль мало отличался внутри этой сферы. Планы, удовлетворяющие этому условию, называются рототабельными униформ-планами.

Таблица 9 — Характеристики ротатабельного планирования

Число факторов				5(ПФЭ)	5(ДФЭ)
Число опытов ПФЭ
Число опытов в звездных точках
Число опытов в центре плана
Общее число опытов
Величина звездного плеча α	1,414	1,680	2,000	2,378	2,000

Для получения рототабельного униформ-плана необходимо обеспечить равенство дисперсии в центре плана (r = 0) и на поверхности гиперсферы радиуса r = 1. Этого добиваются подбором числа наблюдений N₀ в центре плана.

Матрица РЦКП для двух факторов приведена в таблице 10, а геометрическая интерпретация плана эксперимента представлена на рисунке 3.

Таблица 10 — Матрица РЦКП для двух факторов

Системы опытов	№ опыта	x0	x1	x2	x1x2	x21	x22	y
ПФЭ								y1
		-1		-1			y2
			-1	-1			y3
		-1	-1				y4
Опыты в «звездных» точках			1,41					y5
		-1,41					y6
			1,41				y7
			-1,41				y8
Опыты в центре плана								y9
							y10
							y11
							y12
							y13

Рисунок 3 — Геометрическая интерпретация рототабельного центрального композиционного плана для двух факторов.

При анализе значимости коэффициентов регрессионного уравнения, построенного на основе РЦКП, необходимо иметь в виду, что матрица, приведенная в таблице 10, не обладает свойством ортогональности.

3.3. Порядок проведения эксперимента.

При РЦКП стандартизация масштабов факторов, порядок постановки опытов, проверка воспроизводимости опытов проводятся так же, как и при ОЦКП. Несколько отличаются соотношения для расчета оценок коэффициентов регрессионного уравнения и их дисперсий. При реализации рототабельных планов можно отказаться от постановки параллельных опытов для оценки воспроизводимости эксперимента, что уменьшает число опытов по сравнению с ОЦКП. Дисперсия воспроизводимости может быть оценена в этом случае по экспериментам в центре плана.

3.4. Расчет оценок коэффициентов регрессионного уравнения.

Формулы для расчета коэффициентов полинома и их дисперсий при РЦКП значительно сложнее, чем при ОЦКП. При рототабельном планировании для вычисления оценок коэффициентов регрессии и соответствующих оценок дисперсии находят следующие вспомогательные величины:

, (23)

, (24)

, (25)

где k — число факторов, N — общее число опытов рототабельного планирования, N₀ — число опытов в центре плана.

Далее на основании результатов эксперимента вычисляют следующие суммы:

— для свободного члена

, (26)

— для линейных слагаемых

, (27)

— для парных взаимодействий

, (28)

— для квадратичных переменных

. (29)

Формулы для расчета коэффициентов регрессионной модели с учетом (23) — (29) будут иметь следующий вид:

— для свободного члена

; (30)

— для линейных слагаемых

; (31)

— для парных взаимодействий

; (32)

— для квадратичных переменных

. (33)

Оценку дисперсии воспроизводимости можно вычислить на основании результатов опытов, проведенных в центре плана. Среднее значение отклика равно

,

тогда (34)

.

Дисперсия вычислена для числа степеней свободы γ=N₀-1.