А) Метод неопределенных коэффициентов (см. лекцию).

Общее решение неоднородного линейного ДУ является суммой общего решения соответствующего однородного ДУ и некоторого частного решения неоднородного ДУ, т.е. .

1) Решим сначала соответствующее однородное ДУ.

Характеристическое уравнение однородного ДУ имеет вид: .

Корни характеристического уравнения равны:

Общее решение однородного ДУ запишется в виде

2) Частное решение неоднородного ДУ будем искать методом неопределённых коэффициентов.

Функция в правой части имеет специальный вид:

Число не является корнем характеристического уравнения, а многочлен имеет нулевую степень, следовательно, частное решение неоднородного уравнения надо искать в виде: , где – неопределенный коэффициент.

Тогда ,

Подставим , и в исходное уравнение, получим:

Общее решение неоднородного ДУ будет иметь вид:

.

Найдем частное решение. Имеем

Для определения и используем начальные условия:

Итак: – частное решение неоднородного уравнения, соответствующее заданным начальным условиям.

Ответ:

б) Операторный метод.

Найдем изображение по Лапласу для каждой функции.

Положим , где – оригинал, – изображение,

(см. таблицу оригиналов и изображений).

По теореме о дифференцировании оригинала имеем:

;

.

Составим операторное уравнение:

, откуда выразим

.

Замечание. Разложение на простейшие дроби выполняется с помощью метода неопределенных коэффициентов.

Возвращаясь к оригиналу, по таблице найдем:

– частное решение исходного ДУ.

Заметим, что решения, найденные в пунктах а) и б) совпадают.

Ответ: .

11. Найти общее решение ДУ: .

Решение.

Данное ДУ содержит в правой части две функции специального вида. Будем искать его решение в виде: , где – общее решение однородного уравнения, а и – некоторые частные решения неоднородного уравнения, соответствующие каждой из функций.

Характеристическое уравнение имеет корни .

Тогда общее решение соответствующего однородного уравнения имеет вид:

.

Будем интегрировать уравнение (11) отдельно для каждого слагаемого, стоящего в правой части уравнения.

1) ;

Частное решение ищем в виде: .

Методом неопределенных коэффициентов находим:

.

2) ;

Частное решение ищем в виде: .

Методом неопределенных коэффициентов находим:

.

Окончательно имеем: – общее решение неоднородного уравнения.

Ответ: .

12. Найти общее решение ДУ: .

Решение.

Данное уравнение является линейным однородным ДУ третьего порядка с постоянными коэффициентами.

Его характеристическое уравнение имеет корни

Тогда общее решение имеет вид: .

Ответ: .

13.Найти частное решение системы:

Решение.

Решим эту систему тремя способами: а) методом сведения системы к одному ДУ; б) алгебраическим методом и в) операторным методом.

Заметим, что независимой переменной в данном примере является , а и – искомые функции.