Метод неопределенных коэффициентов

Метод неопределенных коэффициентов применяется для нахождения частного решения Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru неоднородного уравнения с постоянными коэффициентами в тех случаях, когда функция f(x), стоящая в правой части этого уравнения, имеет один из двух "специальных" видов:

Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru , (42)

где Pn(x) – многочлен степени n: Pn(x) = a0 xn + a1 xn1 +….+ an1 x+ an,

или

Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru , (43)

где M и N – числа.

1) Если Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru , то частное решение можно искать в виде:

Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru (44)

где k1, k2 – корни характеристического уравнения, Qn(x) – многочлен степени n, записанный с неопределенными коэффициентами, подлежащими определению, например,

Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru , и т. д.

2) Если Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru , то частное решение Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru можноискать в виде:

Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru (45)

где k1, k2 – корни характеристического уравнения, А и В – неизвестные постоянные, подлежащие определению.

Пример 6.Найти общее решение уравнения Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru .

Решение.

1 этап. Построим общее решение y0 соответствующего однородного уравнения Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru . Составим для него характеристическое уравнение Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru и найдем корни: Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru – корни вещественныеи различные. По табл. 4 определим вид линейно независимых частных решений однородного уравнения: Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru , Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru и запишем его общее решение:

Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru .

2 этап. Построим частное решение данного неоднородного уравнения Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru .В заданном уравнении Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru – правая часть 1-го специального вида: Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru Здесь Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru , Pn(x) = 12x, т. е. многочлен в правой части – 1-й степени (n= 1). Число Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru совпадает с одним корнем характеристического уравнения Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru . Следовательно, согласно (44) частное решение Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru будем искать в виде:

Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru ,

где А, B – неизвестные коэффициенты, подлежащие определению.

Найдем производные Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru и подставим Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru в данное неоднородное уравнение Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru , при этом для простоты используем следующую форму записи:

Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru

Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru .

Здесь слева от черты записаны коэффициенты, с которыми Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru входят в уравнение, а под чертой приравниваются (тождественно) левая
и правая части уравнения после подстановки в него Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru с группировкой подобных членов.

После сокращения обеих частей тождества на Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru , получаем: Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru , откуда, приравнивая коэффициенты при х1 и при х0в обеих частях тождества, получаем: Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru

Решая систему, находим Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru . Подставляя найденные значения в Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru , получим: Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru .

Объединяя результаты 2-х этапов, получаем общее решение
уравнения:

Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru .

Ответ: Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru .

Пример использования метода неопределенных коэффициентов для случая, когда функция, стоящая в правой части уравнения, имеет 2-й специальный вид, приведен в образце выполнения контрольной работы.

6. Системы двух линейных дифференциальных уравнений
и их решение порядка методом повышения порядка

Нормальная система двух линейных дифференциальных уравнений
1-го порядка имеет вид:

Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru (46)

где х – независимая переменная, y(x) и z(x) – неизвестные функции, f1(x)
и f2(x) – известные функции a1, a2, b1, b2 – коэффициенты. Общее решение системы (46) имеет вид:

Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru ,

где С1 и С2 – произвольные постоянные.

Для решения системы (46) методом повышения порядка необходимо исключить одну из неизвестных функций. Для этого можно выразить одну из функций, например, z(x), из одного уравнения системы:

Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru , (47)

продифференцировать ее и подставить z и Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru во второе уравнение системы. После упрощения получаем дифференциальное уравнение 2-го порядка вида Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru . После получения его решения Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru , следует, используя (47), найти вторую неизвестную функцию: Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru и записать ответ.

Если в системе (46) коэффициенты a1, a2, b1, b2 – постоянные, то в результате применения метода повышения порядка получается линейное неоднородное уравнение с постоянными коэффициентами:

Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru ,

решение которого рассмотрено в п. 5.

Пример использования метода повышения порядка для решения системы двух линейных дифференциальных уравнений 1-го порядка приведен в образце выполнения контрольной работы.

Примерный вариант и образец выполнения
контрольной работы 6

Задача 1. Дано дифференциальное уравнение 1-го порядка: Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru и точка Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru . Определить тип дифференциальногоуравнения. Найти общее решение дифференциального уравнения, уравнение интегральной кривой, проходящей через точку М и уравнения еще 4-х интегральных кривых (любых). Построить все эти кривые в системе координат.

Задача 2. Дано дифференциальное уравнение 1-го порядка: Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru Определить тип дифференциального уравнения и найти егообщее решение.

Задача 3. Дано дифференциальное уравнение 2-го порядка: Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru и начальные условия: Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru Определитьтип дифференциального уравнения и найти его частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям.

Задача 4. Дано дифференциальное уравнение 2-го порядка: Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru . Определить тип дифференциального уравнения
и найти его общее решение, используя метод вариации произвольных постоянных.

Задача 5. Дано дифференциальное уравнение 2-го порядка: Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru . Определить тип дифференциальногоуравнения и найти его общее решение, используя метод неопределенных коэффициентов.

Задача 6. Дана система линейных дифференциальных уравнений 1-го порядка: Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru . Найти общее решение системы методом повышения порядка.

Решение задачи 1

Данное дифференциальное уравнение Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru – уравнение
с разделяющимися переменными. Заменим Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru на Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru и разделим переменные, умножая обе части уравнения на Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru

Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru .

Интегрируя полученное равенство, получим:

Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru

откуда Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru . Заменяя Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru , запишем общее решение данного уравнения: Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru .

Найдем уравнение интегральной кривой, проходящей через точку Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru , т. е. частное решение, удовлетворяющее заданному начальному условию: Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru Для этого подставим в общее решение вместо x, yчисла Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru соответственно: Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru . Подставляя найденное значение С в общее решение, получим искомое частное решение (уравнение интегральной кривой, проходящей через точку М): Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru .

Найдем уравнения еще нескольких интегральных кривых.

Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru

Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru Построим все эти кривые
в системе координат (рис. 9).

Ответы: Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru ;

Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru

Интегральные кривые изображены на рис. 9.

Решение задачи 2

Данное дифференциальное уравнение Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru – это уравнение Бернулли (см. (27)), в котором Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru . Применим подстановку Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru , тогда Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru Подставив значения yи Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru в уравнение, получим Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru , или

Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru (****)

Найдем функцию v(x), решая уравнение Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru

Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru .

Проинтегрируем левую и правую части этого уравнения:

Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru

при соответствующем подборе Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru получаем Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru – частное решение уравнения Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru .

Подставляя найденную функцию Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru в (****), получим дифференциальное уравнение для функции u: Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru , или Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru .

Найдем функцию Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru – общее решение этого уравнения:

Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru

Общим решением исходного уравнения является функция

Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru .

Ответ: Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru .

Решение задачи 3

Данное дифференциальное уравнение Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru – это дифференциальные уравнения 2-го порядка,не содержащие независимой переменной x(см. (34)). Полагаем Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru = p(y), тогда Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru и уравнениепримет вид:

Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru

Решая первое уравнение, получим: Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru – первое семейство решений. Оно не удовлетворяет начальному условию Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru

Второе уравнение Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru есть уравнение с разделяющимисяпеременными. Разделим переменные, заменяя Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru на Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru и проинтегрируем:

Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru

Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru

где Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru . Производя обратную замену p= Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru , получим дифференциальное уравнение 1-го порядка относительно неизвестной функции y:

Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru

Это уравнение с разделяющимися переменными. Прежде чем его интегрировать, целесообразно определить значение постоянной С1, используя начальные условия (y= 3, Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru = 2 при х = 1):

Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru

Подставив значение Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru в дифференциальное уравнение, получим:

Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru

Разделяя переменные и интегрируя, найдем

Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru

Здесь использовано: Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru .

Определим значение постоянной С2, соответствующее начальному условию y(1) = 3: Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru

Отсюда получим частный интеграл, удовлетворяющий заданным начальным условиям (решение задачи Коши): Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru .

Получим частное решение уравнения, выразив y(x):

Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru

Ответ: Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru

Решение задачи 4

Данное дифференциальное уравнение Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru – это линейное неоднородное дифференциальное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами (см. (38)). Его общее решение имеет вид Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru Найдем его в 2 этапа (см. п. 5.3.).

1 этап. Построим общее решение y0 соответствующего однородного уравнения Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru . Составим для него характеристическое уравнение Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru и найдем его корни: Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru По табл. 4 определим вид его общего решения Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru

2 этап. Построим частное решение Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru данного неоднородного уравнения при помощи метода вариации произвольных постоянных. Здесь Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru , т. е. Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru , тогда частное решение Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru будем искать в виде Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru .

Составим условиям вариации согласно (40):

Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru

Поделив оба уравнения почленно на Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru , получим систему с неизвестными Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru и Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru :

Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru

Для решения этой системы можно использовать метод исключения. Выразим Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru из первого уравнения и подставим во второе:

Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru

затем найдем Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru

Переходим к интегрированию:

Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru

(константы интегрирования считаем равными нулю).

Тогда Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru , и общее решение

Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru .

Ответ: Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru .

Решение задачи 5

Данное дифференциальное уравнение Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru –это линейное неоднородное дифференциальное уравнение 2-го порядка
с постоянными коэффициентами (см. (38)). Его общее решение имеет вид Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru Найдем его в 2 этапа.

1 этап. Построим общее решение y0 соответствующего однородного уравнения Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru Составим для него характеристическое уравнение Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru и найдем его корни: Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru По табл. 4 определим вид его общего решения Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru

2 этап. Построим частное решение Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru данного неоднородного уравнения при помощи метода неопределенных коэффициентов. В заданном уравнении Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru – правая часть 2-го специального вида: Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru , где Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru . Числа Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru , тогда, согласно (45), частное решение Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru будем искать в виде:

Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru

где А и В – неизвестные постоянные. Подставим Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru в данное неоднородное уравнение:

Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru

Сократим обе части тождества на Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru и приравняем коэффициенты при cos3x и при sin3x в левой и правой частях тождества.

Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru

Решая полученную систему двух уравнений с двумя неизвестными, находим Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru Подставив найденные значения А и В в выражение Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru , получим частное решение неоднородного уравнения:

Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru

Объединяя результаты 2-х этапов, запишем ответ – общее решение данного уравнения.

Ответ: Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru

Решение задачи 6

Для решения системы Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru методом повышения порядка исключим из нее одну из функций – z(x).

Выразим z(x) из первого уравнения системы: Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru , продифференцируем ее: Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru и подставим zи Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru во второе уравнение системы:

Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru .

После упрощения получаем дифференциальное уравнение 2-го порядка относительно функции у(х):

Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru .

Это линейное неоднородное дифференциальное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами (см. (38)). Его общее решение имеет вид Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru . Найдем его в 2 этапа.

1 этап. Построим общее решение y0 соответствующего одно-
родного уравнения Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru . Составим для него характе-
ристическое уравнение Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru и найдем корни: Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru – корни комплексные сопряженные: Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru . Здесь Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru , тогда по таблице 4 определимвид общего решения однородного уравнения:

Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru .

2 этап. Построим частное решение Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru неоднородного уравнения. Здесь Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru – правая часть 1-го специального вида: Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru , где Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru , n= 1. Число Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru не совпадает с корнями характеристического уравнения Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru , тогда, согласно (44), частное решение Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru будем искать в виде:

Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru ,

где А, B – неизвестные коэффициенты, подлежащие определению.

Найдем производные Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru и подставим Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru в неоднородное уравнение Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru , при этом для простоты используем следующую форму записи:

Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru

(здесь слева от черты записаны коэффициенты, с которыми Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru входят в уравнение). Приравниваем левую и правую части уравнения после подстановки в него Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru :

Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru .

Приравнивая коэффициенты при х1 и при х0 в обеих частях тождества, получаем:

Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru

откуда находим: A= –1, B= 4. Подставляя найденные значения в Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru , получим: Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru .

Объединяя результаты 2-х этапов, получаем общее решение уравнения Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru :

Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru .

Найдем вторую неизвестную функцию:

Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru

Ответ:

Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru

Варианты контрольнЫХ работ

Каждый вариант контрольной работы 5 для студентов-заочников
1 курса всех специальностей содержит 5 задач, охватывающих материал
по теме "Интегральное исчисление функции одной переменной". Каждый вариант контрольной работы 6 содержит 6 задач по теме "Дифференциальные уравнения".

Перед выполнением каждой контрольной работы студенту необходимо изучить теоретический материал по данной теме и закрепить его решением рекомендованных задач в соответствии с методическими указаниями, затем ознакомиться со справочным материалом и образцом выполнения примерного варианта контрольной работы.

Задания для всех вариантов общие; студенту следует выбрать из условия каждой задачи данные, необходимые для ее решения, в соответствии со своим вариантом. Оформление контрольных работ должно соответствовать установленным правилам и требованиям. Необходимые чертежи должны выполняться четко, с соответствующими подписями и комментариями (см. образец выполнения примерного варианта работы).

Интегрирование в контрольной работе 5 должно сопровождаться необходимыми ссылками на таблицы интегралов, их свойства, а также указанием метода интегрирования. При использовании замены переменной следует привести формулы замены всех элементов подинтегрального выражения через новую переменную.

Решение всех дифференциальных уравнений в контрольной работе 6 следует приводить подробно, указывая тип уравнения, способ получения решения и используемые методы интегрирования.

Варианты контрольной работы 5

Задача 1. Найти неопределенные интегралы:

№ варианта Интегралы
n Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru ; Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru ; Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru ; Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru

В примерах Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru правильность полученных результатов проверить дифференцированием.

Задача 2. Вычислить несобственные интегралы или доказать их расходимость:

№ варианта Интегралы
n а) Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru ; б) Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru

Задача 3. Вычислить с помощью определенного интеграла площадь плоской фигуры:

а) ограниченной в ДСК линиями l1 и l2;

б) ограниченной в ПСК линией l.

Сделать чертежи.

№ варианта Уравнения линий
а) б)
n Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru

Задача 4. Вычислить с помощью определенного интеграла объем тела, полученного вращением вокруг оси OX фигуры, ограниченной линиями l1и l2. Сделать чертеж.

№ варианта Уравнения линий
n Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru

Задача 5. Вычислить с помощью определенного интеграла длину дуги кривой, заданной в ДСК уравнением y = f(x), где Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru .

№ варианта Уравнение кривой Промежуток
n Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru

Варианты контрольной работы 6

Задача 1. Дано дифференциальное уравнение 1-го порядка и точка М. Определить тип дифференциального уравнения. Найти общее решение дифференциального уравнения, уравнение интегральной кривой, проходящей через точку М и уравнения еще 4-х интегральных кривых (любых). Построить все эти кривые в системе координат.

№ варианта Дифференциальное уравнение Точка
Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru M(–2; 4)
Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru M(0; 3)
Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru M Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru
Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru M(0; 1)
Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru M(1; 2)
Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru M Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru
Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru M(0; –1)
Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru M(0; 1)
Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru M(2; 1)
Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru M(–1; 2)

Задача 2. Дано дифференциальное уравнение 1-го порядка. Определить тип дифференциального уравнения и найти его общее решение.

№ варианта Дифференциальное уравнение № варианта Дифференциальное уравнение
Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru
Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru
Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru
Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru
Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru

Задача 3. Дано дифференциальное уравнение 2-го порядка и начальные условия. Определить тип дифференциального уравнения и найти его частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям.

№ варианта Дифференциальное уравнение Начальные условия
Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru
Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru
Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru
Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru
Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru
Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru
Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru
Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru
Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru
Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru

Задача 4. Дано дифференциальное уравнение 2-го порядка. Определить тип дифференциального уравнения и найти его общее решение, используя метод вариации произвольных постоянных.

№ варианта Дифференциальное уравнение № варианта Дифференциальное уравнение
Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru
Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru
Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru
Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru
Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru

Задача 5. Дано дифференциальное уравнение 2-го порядка. Определить тип дифференциального уравнения и найти его общее решение, используя метод неопределенных коэффициентов.

№ варианта Дифференциальное уравнение № варианта Дифференциальное уравнение
Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru
Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru
Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru
Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru
Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru

Задача 6. Дана система линейных дифференциальных уравнений 1-го порядка. Найти общее решение системы методом повышения порядка.

№ варианта Система дифференциальных уравнений № варианта Система дифференциальных уравнений
Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru
Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru
Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru
Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru
Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru

Рекомендуемая литература

1. Письменный, Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. В 2 ч. Ч. 1 / Д.Т. Письменный. – М. : Айрис-пресс, 2003. – 288 с.

2. Письменный, Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. В 2 ч. Ч. 2 / Д.Т. Письменный. – М. : Рольф, 2002. – 256 с.

3. Щипачев, В.С. Высшая математика : учебник для вузов / В.С. Щипачев. – М. : Высш. шк., 1998. – 479 с.

4. Данко, П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 ч. Ч.1
/ П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова. – М. : Высш. шк., 1999. – 304 с.

5. Данко, П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 ч. Ч.2
/ П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова. – М. : Высш. шк., 1999. – 416 с.

6. Щипачев, В.С. Задачник по высшей математике / В.С. Щипачев. – М. : Высш. шк., 2001. – 304 с.

Налоговая льгота – Общероссийский классификатор продукции

ОК 005-93, т. 2; 95 3004 – воспитательная, образовательная и педагогическая литература

 
  Метод неопределенных коэффициентов - student2.ru

Издательство МГТУ. 183010 Мурманск, Спортивная, 13.

Сдано в набор 06.04.2007. Подписано в печать 10.04.2007. Формат 60´841/16
Бум. типографская. Усл. печ. л. 3,02. Уч.-изд. л. 2,36. Заказ 194. Тираж 100 экз.

Наши рекомендации