Вероятность попадания в интервал

Функция распределения случайной величины. Её свойства

Каждая случайная величина полностью определяется своей функцией распределения.

Если x .- случайная величина, то функция F(x) = Fx (x) = P(x < x) называется функцией распределения случайной величины x . Здесь P(x < x) - вероятность того, что случайная величина x принимает значение, меньшее x.

Важно понимать, что функция распределения является “паспортом” случайной величины: она содержит всю информация о случайной величине и поэтому изучение случайной величины заключается в исследовании ее функции распределения, которую часто называют простораспределением.

Функция распределения любой случайной величины обладает следующими свойствами:

F(x) определена на всей числовой прямой R;

F(x) не убывает, т.е. если x1 Вероятность попадания в интервал - student2.ru x2, то F(x1) Вероятность попадания в интервал - student2.ru F(x2);

F(- Вероятность попадания в интервал - student2.ru )=0, F(+ Вероятность попадания в интервал - student2.ru )=1, т.е. Вероятность попадания в интервал - student2.ru и Вероятность попадания в интервал - student2.ru ;

F(x) непрерывна справа, т.е. Вероятность попадания в интервал - student2.ru

Функция распределения дискретной случайной величины

Если x - дискретная случайная величина, принимающая значения x1 < x2 < … < xi < … с вероятностями p1 < p2 < … < pi < …, то таблица вида

x1 x2 xi
p1 p2 pi

называется распределением дискретной случайной величины.

Функция распределения случайной величины, с таким распределением, имеет вид

Вероятность попадания в интервал - student2.ru

У дискретной случайной величины функция распределения ступенчатая.

Например, для случайного числа очков, выпавших при одном бросании игральной кости, распределение, функция распределения и график функции распределения имеют вид:

1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6

Вероятность попадания в интервал - student2.ru Вероятность попадания в интервал - student2.ru

Функция распределения и плотность вероятности непрерывной случайной величины

Если функция распределения Fx (x) непрерывна, то случайная величина x называетсянепрерывной случайной величиной.

Если функция распределения непрерывной случайной величины дифференцируема, то более наглядное представление о случайной величине дает плотность вероятности случайной величины px (x), которая связана с функцией распределения Fx (x) формулами

Вероятность попадания в интервал - student2.ru и Вероятность попадания в интервал - student2.ru .

Отсюда, в частности, следует, что для любой случайной величины Вероятность попадания в интервал - student2.ru .

Квантили

При решении практических задач часто требуется найти значение x, при котором функция распределения Fx (x) случайной величины x принимает заданное значение p, т.е. требуется решить уравнение Fx (x) = p. Решения такого уравнения (соответствующие значения x) в теории вероятностей называются квантилями.

Квантилью xp (p-квантилью, квантилью уровня p) случайной величины Вероятность попадания в интервал - student2.ru , имеющей функцию распределения Fx (x), называют решение xp уравнения Fx (x) = p, p Вероятность попадания в интервал - student2.ru (0, 1). Для некоторых pуравнение Fx (x) = p может иметь несколько решений, для некоторых - ни одного. Это означает, что для соответствующей случайной величины некоторые квантили определены неоднозначно, а некоторые кванитили не существуют.

Квантили, наиболее часто встречающиеся в практических задачах, имеют свои названия:

медиана - квантиль уровня 0.5;

нижняя квартиль - квантиль уровня 0.25;

верхняя квартиль - квантиль уровня 0.75;

децили - квантили уровней 0.1, 0.2, …, 0.9;

процентили - квантили уровней 0.01, 0.02, …, 0.99.

Вероятность попадания в интервал

Вероятность того, что значение случайной величины Fx (x) попадает в интервал (a, b), равнаяP(a < x < b) = Fx (b) -Fx (a), вычисляется по формулам:

Вероятность попадания в интервал - student2.ru - для непрерывной случайной величины и

Вероятность попадания в интервал - student2.ru - для дискретной случайной величины.

Если a= - Вероятность попадания в интервал - student2.ru , то Вероятность попадания в интервал - student2.ru ,

если b= Вероятность попадания в интервал - student2.ru , то Вероятность попадания в интервал - student2.ru .

Наши рекомендации