Вероятность попадания в интервал

Функция распределения случайной величины. Её свойства

Каждая случайная величина полностью определяется своей функцией распределения.

Если x .- случайная величина, то функция F(x) = F_x (x) = P(x < x) называется функцией распределения случайной величины x . Здесь P(x < x) - вероятность того, что случайная величина x принимает значение, меньшее x.

Важно понимать, что функция распределения является “паспортом” случайной величины: она содержит всю информация о случайной величине и поэтому изучение случайной величины заключается в исследовании ее функции распределения, которую часто называют простораспределением.

Функция распределения любой случайной величины обладает следующими свойствами:

F(x) определена на всей числовой прямой R;

F(x) не убывает, т.е. если x₁ x₂, то F(x₁) F(x₂);

F(- )=0, F(+ )=1, т.е. и ;

F(x) непрерывна справа, т.е.

Функция распределения дискретной случайной величины

Если x - дискретная случайная величина, принимающая значения x₁ < x₂ < … < x_i < … с вероятностями p₁ < p₂ < … < p_i < …, то таблица вида

x1	x2	…	xi	…
p1	p2	…	pi	…

называется распределением дискретной случайной величины.

Функция распределения случайной величины, с таким распределением, имеет вид

У дискретной случайной величины функция распределения ступенчатая.

Например, для случайного числа очков, выпавших при одном бросании игральной кости, распределение, функция распределения и график функции распределения имеют вид:

1/6	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6

Функция распределения и плотность вероятности непрерывной случайной величины

Если функция распределения F_x (x) непрерывна, то случайная величина x называетсянепрерывной случайной величиной.

Если функция распределения непрерывной случайной величины дифференцируема, то более наглядное представление о случайной величине дает плотность вероятности случайной величины p_x (x), которая связана с функцией распределения F_x (x) формулами

и .

Отсюда, в частности, следует, что для любой случайной величины .

Квантили

При решении практических задач часто требуется найти значение x, при котором функция распределения F_x (x) случайной величины x принимает заданное значение p, т.е. требуется решить уравнение F_x (x) = p. Решения такого уравнения (соответствующие значения x) в теории вероятностей называются квантилями.

Квантилью x_p (p-квантилью, квантилью уровня p) случайной величины , имеющей функцию распределения F_x (x), называют решение x_p уравнения F_x (x) = p, p (0, 1). Для некоторых pуравнение F_x (x) = p может иметь несколько решений, для некоторых - ни одного. Это означает, что для соответствующей случайной величины некоторые квантили определены неоднозначно, а некоторые кванитили не существуют.

Квантили, наиболее часто встречающиеся в практических задачах, имеют свои названия:

медиана - квантиль уровня 0.5;

нижняя квартиль - квантиль уровня 0.25;

верхняя квартиль - квантиль уровня 0.75;

децили - квантили уровней 0.1, 0.2, …, 0.9;

процентили - квантили уровней 0.01, 0.02, …, 0.99.

Вероятность попадания в интервал

Вероятность того, что значение случайной величины F_x (x) попадает в интервал (a, b), равнаяP(a < x < b) = F_x (b) -F_x (a), вычисляется по формулам:

- для непрерывной случайной величины и

- для дискретной случайной величины.

Если a= - , то ,

если b= , то .