Перейдем в другую систему отсчета

Почему при решении предыдущих задач ничего не говорилось о системе отсчета? Выходит, можно обойтись без этого понятия? Нет. Когда речь идет о перемещении, скорости, ускорении обязательно имеется в виду какая-то система отсчета. Правда, она часто не называется, если является привычной, для всех очевидной. Когда водителя автомобиля штрафуют за превышение скорости, всем ясно, что имеется в виду скорость относительно дороги, а не относительно встречной машины.

При решении некоторых физических задач необходимо явно указывать систему отсчета, а иногда и переходить от одной системы отсчета к другой.

Задача 10. 1*.Оцените, на сколько дальше спортсмен бросит гранату, если будет бросать ее с разбега.?

Что дано? Что нужно найти? Как кратко записать условие? Не простые вопросы в данном случае. Жизнь не добрая учительница, которая четко дает ясные задания. Часто приходится самостоятельно формулировать и уточнять саму задачу.

Еще раз прочитайте условие. Обратите внимание на слово «оцените». Это означает, что нужно решить задачу в грубом приближении, учтя лишь самое существенное, проводя вычисления с точностью до одной-двух значащих цифр. Представьте себе, что описываемая в задаче ситуация относится лично к вам. Какие характеризующие вас данные могут понадобиться при решении задачи?

Прежде всего, видимо, придется использовать некоторые ваши спортивные достижения.

Как далеко вы можете бросить гранату с места? Если очень постараться, то метров на 40 – 50. Примем, что дальность бросания без разбега
S₀ = 50 м.

Ясно, что чем быстрее будет разбег, тем более дальним бросок. Как быстро вы бегаете на короткие дистанции? Видимо, стометровку сможете пробежать за 11 – 12 секунд. Поэтому примем скорость разбега равной
u = 100 / 12 » 8 (м /с).

От чего еще может зависеть дальность броска? Наверно как-то влияет и рост спортсмена, и направление ветра. Однако при оценках можно пренебречь этими факторами и рассматривать движение частицы с постоянным ускорением, равным ускорению свободного падения , между точками, лежащими на горизонтальной поверхности земли. Частица брошена под некоторым углом a к горизонту так, что дальность полета S оказалась максимальной.

Как видим, этап Условие общего плана решения в некоторых случаях предполагает уточнение и дополнение самой задачи.

Теперь можно и кратко записать условие.

На рисунке 10 показаны: траектория полета, скорость разбега , начальная скорость гранаты и угол a, определяющий ее направление, перемещение , модуль которого представляет собой дальность броска, ускорение свободного падения . Подразумевается, что все эти величины заданы в системе отсчета «Земля».

Анализ содержания задачи предполагает, в частности, выяснение качественно причины описываемого явления. Почему же разбег увеличивает дальность броска? Говорят, что за счет разбега увеличивается начальная скорость гранаты. Почему? Какой физический закон ответственен за это? Поскольку речь идет о добавке к скорости, вероятно, тут дело не обходится без закона сложения скоростей. Конечно. А еще какие законы придется применять? Так как речь идет о движении частицы с постоянным ускорением ( ), здесь применимы соотношения (4.6) – (4.8).

Как при помощи указанных законов получить необходимую систему Уравнений? Нельзя ли и здесь воспользоваться принципом «разделяй и властвуй»? Естественно. Ведь нужно сравнивать результаты двух подзадач: бросок с места и бросок с разбега. Во втором случае можно выделить еще одну подзадачу – о нахождении скорости движения гранаты относительно земли. = _ГЗ.

Будем реализовывать намеченный план получения необходимых уравнений.

Для первой подзадачи, применяя формулу (4.6), нетрудно получить (проделайте самостоятельно) соотношение, связывающее дальность полета S₀ с начальной скоростью v₀, направленной под углом a к горизонту:

S₀ = sin 2a . (10.1)

Максимальное S₀ при данном v₀ получается при a₀ = 45⁰. Оно равно

S₀ = v₀² / g . (10.2)

Переходим ко второй подзадаче. По аналогии с первой запишем кинематическое уравнение (4.6) для перемещения в проекции на оси x и y (рис. 10):

S = v_X t , (10.3)

0 = v_Y t – g t² / 2. (10.4)

Какой смысл имеют входящие в эти уравнения величины v_X и v_Y? Это проекции на оси x и y начальной скорости движения гранаты относительно земли. Нельзя ли v_X и v_Y связать с величиной v₀, фигурирующей в формулах (10.1) и (10.2)? Под v₀ можно понимать модуль скорости гранаты относительно спортсмена. (v_ГС = v₀). Только сила и сноровка спортсмена определяют эту величину. Так что она не меняется при переходе ко второй подзадаче. Как же, зная эту величину, найти v_X и v_Y? Для этого нужно применить закон сложения скоростей (3.4):

= _ГЗ = _ГС + _СЗ = _ГС + . (10.6)

Это равенство иллюстрируется векторным треугольником на рисунке 10.

Модуль вектора _ГС известен (v_ГС = v₀), а направление (угол b) – нет. Как выразить входящие в (10.3) и (10.4) проекции вектора ? Для это нужно спроецировать равенство (10.6) на оси x и y:

v_X = v₀ cos b + u , (10.7)

v_Y = v₀ sin b . (10.8)

Получилась система уравнений (10.3), (10.4), (10.7), (10.8), из которой нужно найти величину S. Решите эту систему самостоятельно. Получится

S = u sin b + sin (2b), или, после подстановки (10.2), –

S = S₀ ( sin (2b) + sin b ) . (10.9)

Для обеспечения максимальной величины S следовало бы еще определенным образом подобрать угол b. Проще всего такой отбор провести с помощью ЭВМ. Однако для оценок можно считать, что спортсмен по привычке бросает гранату под одним и тем же углом, не зависимо от скорости разбега, то есть . b » p / 4. Тогда формула (10.9) упрощается:

S – S₀ » sin (p/4) = u . (10.10)

Проверьте наименование полученного ответа и подсчитайте численное значение. Должно получиться S – S₀ » 2×10¹ м, то есть разбег может увеличить результат приблизительно в 1,5 раза. В справедливости такого заключения вы можете убедиться на собственном спортивном опыте. Дерзайте!

Компьютерный анализ более точной формулы (10.9) показывает, что функция S(b) принимает максимальное значение, равное 69 м при b = 50⁰. Это существенно не отличается от найденного по упрощенной формуле (10.10) оценочного результата.

В копилку опыта

· Условие физической задачи, возможно, нуждается в уточнении, дополнении, упрощении.

· От привычной системы отсчета («Земля») иногда целесообразно перейти к иной («Бегущий спортсмен»).

· Закон сложения скоростей полезно представлять в форме векторного треугольника.

· В некоторых задачах целесообразно записывать закон сложения скоростей в проекциях.

· Оценочный характер задачи позволяет упрощать полученные уравнения. В данном случае уравнение (10.9) сводится к (10.10) посредством приближенного равенства b » a₀ = p / 4.

Задача 10. 2*.Из двух точек, находящихся на горизонтальной поверхности на расстоянии 10 м друг от друга, одновременно бросили два тела со скоростями ₁ и ₂, направленными под углами a₁ = 30⁰ и a₂ = 60⁰ к горизонту, соответственно. Скорости ₁ и ₂ таковы, что тела при падении меняются местами. Определить скорость одного тела относительно другого в тот момент, когда оба тела находятся на одной вертикали.

Анализируя содержание задачи, можно обнаружить знакомую подзадачу о движении частицы с постоянным ускорением свободного падения , брошенной под углом к горизонту. Из решенияч этой подзадачи следует, что рассматриваемые здесь тела движутся по параболическим траекториям, изображенным на рисунке 11, и справедливо (получите самостоятельно) записанное ниже соотношение, определяющее дальность полета S₁ первого тела, брошенного с начальной скоростью v₁ под углом a₁ к горизонту:

S₁ = . (10.11)

Аналогичное соотношение имеет место и для второго тела:

S₂ = . (10.12)

По условию задачи S₁ = S₂ = S.

Эти уравнения характеризуют описываемую в задаче физическую ситуацию, но в них не входит искомая величина v₁₂. Какой закон нужно применить для нахождения скорости ₁₂ движения первого тела относительно второго? Чтобы связать ₁₂ с ₁ и ₂, нужно применить закон сложения скоростей (3.4):

₁₂ = _1З + _З2 = _1З – _2З . (10.13)

Здесь _1З = ₁(t) – скорость первого тела относительно земли, а _2З = ₂(t) – скорость второго тела относительно земли, отличающаяся только знаком от скорости земли относительно второго тела ( _З2). Соотношение (10.13) справедливо для произвольного момента времени t. На рисунке 11 изображен векторный треугольник, определяющий скорость ₁₂ в начальный момент времени.

Как изменяется вектор ₁₂ с течением времени? Какая величина характеризует изменение скорости? Изменение скорости ₁₂ определяется ускорением ₁₂ первого тела относительно второго. Из какого закона можно найти это ускорение? Ускорение ₁₂ можно связать с ускорениями каждого из тел с помощью закона сложения ускорений:

₁₂ = _1З + _З2 = _1З – _2З = – = 0.

Благодаря тому, что оба тела движутся относительно земли с одинаковыми ускорениями ( ), друг относительно друга они движутся равномерно и прямолинейно. Так что искомая в задаче скорость равна скорости ₁₂ в начальный момент времени, которая определяется изображенным на рисунке 11 векторным треугольником.

При заданных в задаче углах a₁ и a₂ треугольник оказывается прямоугольным (докажите это самостоятельно). Поэтому v₁₂ находится по теореме Пифагора с учетом соотношений (10.11) и (10.12):

V₁₂ = = = »15 м/с.

В копилку опыта

· Переход в другую систему отсчета иногда упрощает задачу. В данном случае движение первого тела относительно второго оказалось равномерным и прямолинейным.

· Характер движения в новой системе отсчета выясняется посредством закона сложения ускорений.

· Для нахождение величин, фигурирующих в законе сложения скоростей, часто удобнее оказывается геометрический метод, а не метод записи векторных уравнений в проекциях на координатные оси.

Задача 10. 3*.Скорость воды в реке равна u, а скорость пловца – v. Под каким углом к скорости должен плыть пловец, переплывающий реку, чтобы его снос по течению оказался минимальным?

На рисунке 12 изображены скорости и , а также перемещение _ПБ пловца относительно берега. Этому перемещению соответствует снос S.

Анализ содержания задачи приводит к заключению, что следует применить закон сложения скоростей (3.5) для нахождения скорости пловца относительно берега ( _ПБ) и обеспечить наименьшее значение угла b, образованного этой скоростью и перпендикуляром к берегу.

Применим закон (3.5):

_ПБ = _ПВ + _ВБ = + = + . (10.14)

Опыт решения предыдущих задач подсказывает, что нужно строить векторный треугольник, соответствующий равенству (10.14). Начнем с заданного вектора (рис. 13). Второе слагаемое известно лишь по модулю. Поэтому ясно, что конец вектора должен находиться где-то на окружности, изображенной на рисунке 13. В зависимости от угла a это могут быть точки A₁, A₂, A₃, и т. д. Вектор _ПБ и, следовательно, угла b (рис.13) определяются положением конца вектора .

Где же должен находиться конец вектора , для того, чтобы угол b оказался минимальным? Из рисунка 13 видно, что для этого направленный отрезок должен оканчиваться в точке A, так чтобы угол b оказался равным нулю. Какой вид тогда принимает треугольник скоростей? Он оказывается прямоугольным. Какие элементы этого треугольника известны? Его катет равен u, а гипотенуза – v. Какое отношение к нему имеет искомый угол a? Он является внешним углом этого треугольника. Как же его можно найти? Как сумму внутренних углов, не смежных с ним:

a = p / 2 + g, где sin(g) = u /v.

Итак, a = p / 2+ arcsin (u / v). (10.15)

Анализ результата.

Ответ (10.15) имеет смысл только при условии u < v. При u = v угол a = p, чего не может быть для пловца, переплывающего реку. Соотношение u < v случайно оказалось в основе построений, выполненных на рисунке 13. Нужно проанализировать альтернативный вариант.

Проделаем построения, аналогичные прежним, но предполагая, что
u > v (рис. 14).

Где теперь должен находиться конец вектора , для того, чтобы угол b оказался минимальным? Как меняется этот угол при переходе от точки A₁ к точкам A₂, A₃? Как найти точку A, соответствующую наименьшему углу b? Для ответа на последний вопрос следует провести касательную к окружности из начала вектора . Какой вид принимает треугольник скоростей, соответствующий минимальному углу b? Он оказывается прямоугольным, причем u – его гипотенуза, v – катет, а a – внешний угол. Как же найти этот угол? Поступаем аналогично тому, как это делалось в рассмотренном ранее варианте. Получаем

a = p / 2+ arcsin (v / u).

Общий ответ можно записать так:

a =

p / 2+ arcsin (u / v), если u < v.

p / 2+ arcsin (v / u), если u > v.

В копилку опыта

· Снова при применении закона сложения скоростей полезным оказался геометрический метод. Помогли дополнительные построения: проведение окружности, касательной к ней.

· Анализ результата в данной задаче выявил область применимости полученного ответа и привел к новой задаче: исследовать явление при иных соотношениях между заданными величинами. Формулировка новой задачи на основе анализа результата – типичный путь развития научных исследований.