Краткие сведения из теории

СТРУКТУРЫ НА МНОЖЕСТВАХ

Рассмотрим два множества Краткие сведения из теории - student2.ru и Краткие сведения из теории - student2.ru . Пусть Краткие сведения из теории - student2.ru элементы множества Краткие сведения из теории - student2.ru ; Краткие сведения из теории - student2.ru элементы множества Краткие сведения из теории - student2.ru . Из элементов этих множеств образуем всевозможные пары Краткие сведения из теории - student2.ru ; такие пары элементов называются упорядоченными парами. Первый элемент упорядоченной пары называется первой компонентой, второй элемент – второй компонентой.

Декартовым произведением Краткие сведения из теории - student2.ru множеств Краткие сведения из теории - student2.ru и Краткие сведения из теории - student2.ru называется множество всех упорядоченных пар, у которых первая компонента принадлежит множеству Краткие сведения из теории - student2.ru , вторая компонента – множеству Краткие сведения из теории - student2.ru .

Другими словами, Краткие сведения из теории - student2.ru .

Бинарное отношение. Пусть Краткие сведения из теории - student2.ru два множества. Бинарным отношением & называется некоторое подмножество декартова произведения Краткие сведения из теории - student2.ru . Бинарноеотношение – это отношение, устанавливающее связь между парами элементов двух разных множеств или одного и того же множества.Бинарное отношение в дальнейшем будем обозначать символом &. Бинарное отношение & можно задавать либо путем его описания, либо указанием множества всех пар элементов, находящихся в отношении &. В общем виде бинарное отношение & можно задать так:

& Краткие сведения из теории - student2.ru .

Например, если множества Краткие сведения из теории - student2.ru {мышь, курица, заяц}, Краткие сведения из теории - student2.ru {кошка, собака, лисица, волк}, то бинарное отношение & – «быть съеденным» задается так: &={(мышь, кошка), (мышь, лисица), (курица, собака), (курица, лисица), (курица, волк), (заяц, собака), (заяц, лисица), (заяц, волк)}.

Например, если числовое множество Краткие сведения из теории - student2.ru , то бинарное отношение & – «быть делителем», построенное на множестве Краткие сведения из теории - student2.ru , выглядит так: & Краткие сведения из теории - student2.ru

Функция.Пусть Краткие сведения из теории - student2.ru множество действительных чисел. Функцией Краткие сведения из теории - student2.ru называется закон, по которому каждому числу Краткие сведения из теории - student2.ru ставится в соответствие единственное действительное число Краткие сведения из теории - student2.ru . При этом в записи: Краткие сведения из теории - student2.ru символ Краткие сведения из теории - student2.ru называется аргументом, символ Краткие сведения из теории - student2.ru – значением функции, символ Краткие сведения из теории - student2.ru именем функции. Множество Краткие сведения из теории - student2.ru называется областью определения функции и обозначается Краткие сведения из теории - student2.ru . Множество всех значений Краткие сведения из теории - student2.ru называется областью значений функции и обозначается Краткие сведения из теории - student2.ru . Важным понятием для функции является ее график. Графиком функции Краткие сведения из теории - student2.ru называется точек на плоскости вида Краткие сведения из теории - student2.ru , где Краткие сведения из теории - student2.ru . Существует четыре способа задания функции:

· аналитический; функция задается одной или несколькими способами;

· графический; функция задается своим графиком;

· табличный; функция задается таблицей значений аргумента Краткие сведения из теории - student2.ru и функции Краткие сведения из теории - student2.ru ;

· компьютерный; составляется компьютерная программа, предусматривающая вывод функции либо одним из трех указанных выше способов, либо передающая функцию на другую компьютерную программу.

Какой способ задания является предпочтительным? На этот вопрос нельзя дать однозначный ответ, так как каждый способ имеет свои преимущества и недостатки.

Бинарное отношение и функция. Пусть функция Краткие сведения из теории - student2.ru имеет область определения Краткие сведения из теории - student2.ru и область значений Краткие сведения из теории - student2.ru . Согласно определению функции для каждого значения аргумента Краткие сведения из теории - student2.ru мы находим единственное значение функции Краткие сведения из теории - student2.ru . Другими словами, получаем упорядоченную пару Краткие сведения из теории - student2.ru , принадлежащую декартову произведению Краткие сведения из теории - student2.ru . Это означает, что любая функция Краткие сведения из теории - student2.ru порождает некоторое бинарное отношение &.

А верно ли обратное утверждение? Можно ли утверждать, что любое бинарное отношение порождает функцию? В общем случае это не так. Например, бинарное отношение & Краткие сведения из теории - student2.ru не порождает функцию, потому что одному и тому же значению аргумента Краткие сведения из теории - student2.ru соответствует два значения функции Краткие сведения из теории - student2.ru и Краткие сведения из теории - student2.ru ; этого по определению функции быть не должно. Поэтому, чтобы бинарное отношение & порождало бы некоторую функцию, нужно, чтобы первые компоненты & были различны между собой.

Производная. Пусть функция Краткие сведения из теории - student2.ru определена на множестве Краткие сведения из теории - student2.ru , точки Краткие сведения из теории - student2.ru . Приращением аргумента Краткие сведения из теории - student2.ru называется разность Краткие сведения из теории - student2.ru . Ясно, что Краткие сведения из теории - student2.ru . Приращением функции Краткие сведения из теории - student2.ru называется разность Краткие сведения из теории - student2.ru . Пусть область определения Краткие сведения из теории - student2.ru является интервалом, и точка Краткие сведения из теории - student2.ru . Составим отношение приращения функции к приращению аргумента Краткие сведения из теории - student2.ru . Это отношение для конкретной функции Краткие сведения из теории - student2.ru и конкретной точки Краткие сведения из теории - student2.ru не является постоянным; оно зависит от величины приращения Краткие сведения из теории - student2.ru . Будем уменьшать приращения аргумента Краткие сведения из теории - student2.ru , приближая его к нулю. (Это коротко пишут так: Краткие сведения из теории - student2.ru .) Может случиться, что при Краткие сведения из теории - student2.ru отношение приращений Краткие сведения из теории - student2.ru приближается к какой-то величине Краткие сведения из теории - student2.ru . В этом случае говорят, что в точке Краткие сведения из теории - student2.ru функция имеет производную Краткие сведения из теории - student2.ru , и пишут: Краткие сведения из теории - student2.ru . Та функция, которая в точке Краткие сведения из теории - student2.ru имеет производную, называется дифференцируемой в точке Краткие сведения из теории - student2.ru . Операция взятия производной называется дифференцированием функции. Доказывается, что производная функции обладает следующими свойствами:

· Краткие сведения из теории - student2.ru , т. е. производная константы равна нулю;

· Краткие сведения из теории - student2.ru , т. е. производная суммы функций равна сумме их производных;

· Краткие сведения из теории - student2.ru , т. е. производная разности функций равна разности их производных;

· Краткие сведения из теории - student2.ru , т. е. постоянный множитель можно выносить за знак производной;

· Краткие сведения из теории - student2.ru (правило дифференцирования произведения);

· Краткие сведения из теории - student2.ru , если только Краткие сведения из теории - student2.ru (правило дифференцирования частного).

В школе были доказаны следующие формулы:

· Краткие сведения из теории - student2.ru ; в частности: Краткие сведения из теории - student2.ru , Краткие сведения из теории - student2.ru , Краткие сведения из теории - student2.ru , и так далее…;

· Краткие сведения из теории - student2.ru ;

· Краткие сведения из теории - student2.ru ;

· Краткие сведения из теории - student2.ru ;

· Краткие сведения из теории - student2.ru ;

· Краткие сведения из теории - student2.ru ;

· Краткие сведения из теории - student2.ru ;

· Краткие сведения из теории - student2.ru ;

· Краткие сведения из теории - student2.ru ;

· Краткие сведения из теории - student2.ru ;

· Краткие сведения из теории - student2.ru ;

· Краткие сведения из теории - student2.ru ;

· Краткие сведения из теории - student2.ru .

Правило дифференцирования сложной функции. Производная сложной функции равна производной функции по промежуточному аргументу, умноженной на производную промежуточного аргумента по окончательному аргументу, т. е. Краткие сведения из теории - student2.ru .

Замечание. Чтобы найти производную сложной функции, нужно:

· разбить исходную функцию на элементарные;

· найти производную от каждой элементарной функции;

· перемножить все производные.

Первообразная. В предыдущем параграфе мы по заданной функции Краткие сведения из теории - student2.ru искали производную Краткие сведения из теории - student2.ru . Теперь попытаемся проделать обратную операцию. По заданной функции Краткие сведения из теории - student2.ru найдем функцию Краткие сведения из теории - student2.ru такую, что ее производная будет равна Краткие сведения из теории - student2.ru , т. е. Краткие сведения из теории - student2.ru . Такая операция называется интегрированием функции Краткие сведения из теории - student2.ru , а сама функция Краткие сведения из теории - student2.ru называется первообраз-ной для функции Краткие сведения из теории - student2.ru . Например, для функции Краткие сведения из теории - student2.ru первообразная равна Краткие сведения из теории - student2.ru , так как Краткие сведения из теории - student2.ru . Для функции Краткие сведения из теории - student2.ru первообразная равна Краткие сведения из теории - student2.ru , так как Краткие сведения из теории - student2.ru . И так далее… Следует помнить первообразные для некоторых часто встречающихся функций.

Таблица первообразных.

Функция Первообразная   Функция Первообразная
1. Краткие сведения из теории - student2.ru Краткие сведения из теории - student2.ru   7. Краткие сведения из теории - student2.ru Краткие сведения из теории - student2.ru
Краткие сведения из теории - student2.ru Краткие сведения из теории - student2.ru Краткие сведения из теории - student2.ru   8. Краткие сведения из теории - student2.ru   Краткие сведения из теории - student2.ru
3. Краткие сведения из теории - student2.ru Краткие сведения из теории - student2.ru   9. Краткие сведения из теории - student2.ru   Краткие сведения из теории - student2.ru
4. Краткие сведения из теории - student2.ru Краткие сведения из теории - student2.ru   10. Краткие сведения из теории - student2.ru   Краткие сведения из теории - student2.ru
5. Краткие сведения из теории - student2.ru Краткие сведения из теории - student2.ru   11. Краткие сведения из теории - student2.ru   Краткие сведения из теории - student2.ru
6. Краткие сведения из теории - student2.ru Краткие сведения из теории - student2.ru      

Замечание. Вообще говоря, для функции Краткие сведения из теории - student2.ru первообразную можно найти с точностью до постоянного слагаемого, потому что Краткие сведения из теории - student2.ru Краткие сведения из теории - student2.ru . В таблице для каждой функции указана одна из первообразных.

Интеграл. Интеграл (точнее, определенный интеграл) находит широкое применение в науке и технике. Для вычисления определенного интеграла используется формула

Краткие сведения из теории - student2.ru . (1)

Формула (1) называется формулой Ньютона – Лейбница. В этой формуле Краткие сведения из теории - student2.ru какая-либо первообразная подынтегральной функции Краткие сведения из теории - student2.ru . Формула Ньютона – Лейбница читается так: «Определенный интеграл равен разности значений первообразной подынтегральной функции в верхнем и нижнем пределах». Определенный интеграл обладает такими свойствами:

· Краткие сведения из теории - student2.ru , т. е. числовой множитель можно выносить за знак интеграла;

· Краткие сведения из теории - student2.ru , т. е. интеграл от суммы функций равен сумме их интегралов;

· Краткие сведения из теории - student2.ru , т. е. интеграл от разности функций равен разности их интегралов;

· Краткие сведения из теории - student2.ru .

Геометрический смысл интеграла. Пусть подынтегральная функция Краткие сведения из теории - student2.ru неотрицательна на Краткие сведения из теории - student2.ru . Криволинейной трапецией (см. рис. 1) называется фигура, ограниченная сверху графиком функции Краткие сведения из теории - student2.ru , снизу – осью абсцисс, слева и справа – вертикальными прямыми Краткие сведения из теории - student2.ru и Краткие сведения из теории - student2.ru . Доказывается, что площадь криволинейной трапеции находится по формуле

Краткие сведения из теории - student2.ru (2)

Таким образом, определенный интеграл от неотрицательной функции равен площади криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком этой функции. В этом и состоит геометрический смысл определенного интеграла.

С помощью определенного интеграла можно находить площади фигур. Итак, пусть фигура Краткие сведения из теории - student2.ru такова, что ее границу можно разбить на две части: верхнюю и нижнюю (см. рис. 2). Пусть Краткие сведения из теории - student2.ru уравнение нижней границы,

Краткие сведения из теории - student2.ru уравнение верней границы. Пусть Краткие сведения из теории - student2.ru проекция фигуры Краткие сведения из теории - student2.ru на ось абсцисс. Тогда площадь фигуры Краткие сведения из теории - student2.ru находится по формуле

Краткие сведения из теории - student2.ru . (3)

 
  Краткие сведения из теории - student2.ru

Контрольные вопросы и упражнения

1. Дайте определение декартова произведения множеств.

2. Зная, что Краткие сведения из теории - student2.ru , найдите Краткие сведения из теории - student2.ru .

3. Дайте определение бинарного отношения.

4. Укажите способы задания бинарного отношения.

5. Чем является бинарное отношение:
а) функцией; б) подмножеством; в) графиком; г) парой элементов.
Укажите верный ответ.

6. Совпадает ли бинарное отношение между элементами двух множеств с декартовым произведением этих множеств?

7. Даны два множества Краткие сведения из теории - student2.ru . Постройте бинарные отношения: а) Краткие сведения из теории - student2.ru ; б) Краткие сведения из теории - student2.ru ; в) Краткие сведения из теории - student2.ru ; г) Краткие сведения из теории - student2.ru ; д) Краткие сведения из теории - student2.ru .

8. Дайте определение функции, области определения и области значений функции.

9. Дайте определение графика функции.

10.

 
  Краткие сведения из теории - student2.ru

На рисунках (см рис.3а – рис. 3д) изображены линии или совокупности линий и точек. Какие из них являются графиком функции, какие – нет? Почему?

11. Всякая ли функция является бинарным отношением? Всякое ли бинарное отношение является функцией?

12. Будет ли бинарное отношение &= Краткие сведения из теории - student2.ru порождать функцию Краткие сведения из теории - student2.ru ? В случае положительного ответа укажите Краткие сведения из теории - student2.ru и Краткие сведения из теории - student2.ru .

13. Будет ли бинарное отношение &= Краткие сведения из теории - student2.ru порождать функцию Краткие сведения из теории - student2.ru ? В случае положительного ответа укажите Краткие сведения из теории - student2.ru и Краткие сведения из теории - student2.ru .

14. Постройте график функции Краткие сведения из теории - student2.ru .

15. Постройте график функции Краткие сведения из теории - student2.ru на естественной области определе-ния. Укажите Краткие сведения из теории - student2.ru и Краткие сведения из теории - student2.ru .

16. Постройте график функции Краткие сведения из теории - student2.ru
Укажите Краткие сведения из теории - student2.ru и Краткие сведения из теории - student2.ru .

17. Постройте график функции Краткие сведения из теории - student2.ru
Укажите Краткие сведения из теории - student2.ru и Краткие сведения из теории - student2.ru .

18. Укажите естественную область определения функции Краткие сведения из теории - student2.ru . (По определению Краткие сведения из теории - student2.ru .) Постройте график функции Краткие сведения из теории - student2.ru и укажите Краткие сведения из теории - student2.ru .

19. Постройте график функции Краткие сведения из теории - student2.ru . (По определению Краткие сведения из теории - student2.ru целая часть Краткие сведения из теории - student2.ru .)

20. Дайте определение производной.

21. Перечислите свойства производной.

22. Выпишите таблицу производных.

23. Найдите Краткие сведения из теории - student2.ru , если Краткие сведения из теории - student2.ru .

24. Найдите Краткие сведения из теории - student2.ru , если Краткие сведения из теории - student2.ru .

25. Найдите Краткие сведения из теории - student2.ru , если Краткие сведения из теории - student2.ru .

26. Найдите Краткие сведения из теории - student2.ru , если Краткие сведения из теории - student2.ru .

27. Найдите Краткие сведения из теории - student2.ru , если Краткие сведения из теории - student2.ru .

28. Найдите Краткие сведения из теории - student2.ru , если Краткие сведения из теории - student2.ru .

29. Найдите Краткие сведения из теории - student2.ru , если Краткие сведения из теории - student2.ru .

30. Найдите Краткие сведения из теории - student2.ru , если Краткие сведения из теории - student2.ru .

31. Найдите Краткие сведения из теории - student2.ru , если Краткие сведения из теории - student2.ru .

32. Найдите Краткие сведения из теории - student2.ru , если Краткие сведения из теории - student2.ru .

33. Найдите Краткие сведения из теории - student2.ru , если Краткие сведения из теории - student2.ru .

34. Дайте определение первообразной.

35. Выпишите таблицу первообразных.

36. Постройте интегральную сумму.

37. Запишите формулу Ньютона – Лейбница.

38. Найдите Краткие сведения из теории - student2.ru .

39. Найдите Краткие сведения из теории - student2.ru .

40. Какая фигура называется криволинейной трапецией?

41. Как найти площадь криволинейной трапеции?

42. Как найти площадь плоской фигуры?

43. Найдите площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции Краткие сведения из теории - student2.ru .

44. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями Краткие сведения из теории - student2.ru и Краткие сведения из теории - student2.ru .

Задание на работу

Задача 1. Порождает ли бинарное отношение & функцию Краткие сведения из теории - student2.ru ? В случае положительного ответа найдите область определения Краткие сведения из теории - student2.ru и область значений Краткие сведения из теории - student2.ru , а также постройте график функции.

Варианты

Вариант 1.

а) &= Краткие сведения из теории - student2.ru ;

б) &= Краткие сведения из теории - student2.ru ;

в) &= Краткие сведения из теории - student2.ru .

Вариант 2.

а) &= Краткие сведения из теории - student2.ru ;
б) &= Краткие сведения из теории - student2.ru ;
в) &= Краткие сведения из теории - student2.ru .

Вариант 3.

а) &= Краткие сведения из теории - student2.ru ;

б) &= Краткие сведения из теории - student2.ru ;

в) &= Краткие сведения из теории - student2.ru .

Вариант 4.

а) &= Краткие сведения из теории - student2.ru ;
б) &= Краткие сведения из теории - student2.ru ;
в) &= Краткие сведения из теории - student2.ru .

Вариант 5.

а) &= Краткие сведения из теории - student2.ru ;

б) &= Краткие сведения из теории - student2.ru ;

в) &= Краткие сведения из теории - student2.ru .

Вариант 6.

а) &= Краткие сведения из теории - student2.ru ;
б) &= Краткие сведения из теории - student2.ru ;
в) &= Краткие сведения из теории - student2.ru .

Вариант 7.

а) &= Краткие сведения из теории - student2.ru ;
б) &= Краткие сведения из теории - student2.ru ;
в) &= Краткие сведения из теории - student2.ru .

Вариант 8.

а) &= Краткие сведения из теории - student2.ru ;
б) &= Краткие сведения из теории - student2.ru ;
в) &= Краткие сведения из теории - student2.ru .

Вариант 9.

а) &= Краткие сведения из теории - student2.ru ;

б) &= Краткие сведения из теории - student2.ru ;

в) &= Краткие сведения из теории - student2.ru .

Вариант 10.

а) &= Краткие сведения из теории - student2.ru ;
б) &= Краткие сведения из теории - student2.ru ;
в) &= Краткие сведения из теории - student2.ru .

Вариант 11.

а) &= Краткие сведения из теории - student2.ru ;

б) &= Краткие сведения из теории - student2.ru ;

в) &= Краткие сведения из теории - student2.ru .

Вариант 12.

а) &= Краткие сведения из теории - student2.ru ;
б) &= Краткие сведения из теории - student2.ru ;
в) &= Краткие сведения из теории - student2.ru .

Вариант 13.

а) &= Краткие сведения из теории - student2.ru ;

б) &= Краткие сведения из теории - student2.ru ;

в) &= Краткие сведения из теории - student2.ru .

Вариант 14.

а) &= Краткие сведения из теории - student2.ru ;
б) &= Краткие сведения из теории - student2.ru ;
в) &= Краткие сведения из теории - student2.ru .

Вариант 15.

а) &= Краткие сведения из теории - student2.ru ;
б) &= Краткие сведения из теории - student2.ru ;
в) &= Краткие сведения из теории - student2.ru .

Задача 2. Постройте график функции Краткие сведения из теории - student2.ru на естественной области определения.

Варианты

1. Краткие сведения из теории - student2.ru .

2. Краткие сведения из теории - student2.ru .
3. Краткие сведения из теории - student2.ru .
4. Краткие сведения из теории - student2.ru .
5. Краткие сведения из теории - student2.ru .

6. Краткие сведения из теории - student2.ru

7. Краткие сведения из теории - student2.ru
8. Краткие сведения из теории - student2.ru

9. Краткие сведения из теории - student2.ru

10. Краткие сведения из теории - student2.ru

11. Краткие сведения из теории - student2.ru

12. Краткие сведения из теории - student2.ru

13. Краткие сведения из теории - student2.ru

14. Краткие сведения из теории - student2.ru

15. Краткие сведения из теории - student2.ru

Задача 3. Зная Краткие сведения из теории - student2.ru и Краткие сведения из теории - student2.ru , найдите Краткие сведения из теории - student2.ru .

Варианты

1. Краткие сведения из теории - student2.ru

2. Краткие сведения из теории - student2.ru

3. Краткие сведения из теории - student2.ru
4. Краткие сведения из теории - student2.ru
5. Краткие сведения из теории - student2.ru
6. Краткие сведения из теории - student2.ru
7. Краткие сведения из теории - student2.ru
8. Краткие сведения из теории - student2.ru
9. Краткие сведения из теории - student2.ru
10. Краткие сведения из теории - student2.ru

11. Краткие сведения из теории - student2.ru

12. Краткие сведения из теории - student2.ru

13. Краткие сведения из теории - student2.ru
14. Краткие сведения из теории - student2.ru
15. Краткие сведения из теории - student2.ru

Задача 4. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями Краткие сведения из теории - student2.ru и Краткие сведения из теории - student2.ru .

Варианты

1. Краткие сведения из теории - student2.ru

2. Краткие сведения из теории - student2.ru

3. Краткие сведения из теории - student2.ru

4. Краткие сведения из теории - student2.ru
5. Краткие сведения из теории - student2.ru

6. Краткие сведения из теории - student2.ru

7. Краткие сведения из теории - student2.ru

8. Краткие сведения из теории - student2.ru
9. Краткие сведения из теории - student2.ru

10. Краткие сведения из теории - student2.ru

11. Краткие сведения из теории - student2.ru

12. Краткие сведения из теории - student2.ru
13. Краткие сведения из теории - student2.ru

14. Краткие сведения из теории - student2.ru

15. Краткие сведения из теории - student2.ru

Образец выполнения работы

Задача 1. Порождает ли бинарное отношение & функцию Краткие сведения из теории - student2.ru ?

а) &= Краткие сведения из теории - student2.ru ;
б) &= Краткие сведения из теории - student2.ru ;
в) &= Краткие сведения из теории - student2.ru .

В случае положительного ответа найдите область определения Краткие сведения из теории - student2.ru и область значений Краткие сведения из теории - student2.ru , а также постройте график функции.

Решение. a) Бинарное отношение &= Краткие сведения из теории - student2.ru не порождает функцию, потому что первые компоненты упорядоченных пар Краткие сведения из теории - student2.ru равны между собой, что запрещено по определению функции.

б) Бинарное отношение &= Краткие сведения из теории - student2.ru не порождает функцию, потому что первые компоненты упорядоченных пар Краткие сведения из теории - student2.ru равны между собой, что запрещено по определению функции.

Краткие сведения из теории - student2.ru в) Бинарное отношение & Краткие сведения из теории - student2.ru порождает некоторую функцию Краткие сведения из теории - student2.ru , потому что все первые компоненты упорядоченных пар различны между собой. Находим область определения Краткие сведения из теории - student2.ru и область значений Краткие сведения из теории - student2.ru . Строим график функции (см. рис. 4).

Краткие сведения из теории - student2.ru Задача 2. Постройте график функции Краткие сведения из теории - student2.ru на естественной области определения.

Решение. Обычно при задании функции формулой должна указываться область определения функции. Если же область определения не указана (как в нашем примере), считается, что функция задана на естественной области определения, т. е. на том множестве аргументов, где формула имеет смысл. В нашем примере областью определения функции является интервал Краткие сведения из теории - student2.ru , потому что логарифм определяется только для положительных значений аргумента. Итак, Краткие сведения из теории - student2.ru . Для построения графика функции строим таблицу значений функции.

x 0,5 1,5 2,5 3,5 4,5
y -8,4 1,9 1,9 1,5 1,1 0,8 0,5 0,3 0,2

Точки с найденными координатами наносим на координатную плоскость и соединяем линией. График функции изображен на рис. 5.

Задача 3. Найдите Краткие сведения из теории - student2.ru , если Краткие сведения из теории - student2.ru

Решение. Находим производную по правилу дифференцирования сложной функции.

Краткие сведения из теории - student2.ru

Находим Краткие сведения из теории - student2.ru Ответ: 1.

Задача 4. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями Краткие сведения из теории - student2.ru и Краткие сведения из теории - student2.ru .

Краткие сведения из теории - student2.ru Решение.Строим фигуру (см. рис. 6). Находим точки пересечения линий Краткие сведения из теории - student2.ru и Краткие сведения из теории - student2.ru . Приравнивая правые частиуравнений, получаем Краткие сведения из теории - student2.ru

Краткие сведения из теории - student2.ru Краткие сведения из теории - student2.ru Значит, Краткие сведения из теории - student2.ru

Из рис. 4 видим, что Краткие сведения из теории - student2.ru нижняя граница фигуры, Краткие сведения из теории - student2.ru верхняя граница. Находим площадь фигуры по формуле (3).

Краткие сведения из теории - student2.ru

Краткие сведения из теории - student2.ru

Краткие сведения из теории - student2.ru

Ответ: Краткие сведения из теории - student2.ru .

Наши рекомендации