Числовая последовательность и ее предел
Кафедра высшей и прикладной математики
Одобрено
учебно-методическим советом
экономического факультета
М.В. Зайцев, Т.А. Лавриненко
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА
Сборник задач
Часть I
Москва 2003
Зайцев Михаил Владимирович,
Лавриненко Татьяна Алексеевна
Пособие написано в соответствии с программой по высшей математике для студентов экономических специальностей и содержит задачи и упражнения по курсу высшей математики, изучаемому студентами РГТЭУ в первом семестре. В пособии рассматриваются следующие темы: предел и непрерывность функции, дифференциальное исчисление функций одной и нескольких переменных, интегральное исчисление функций одной переменной, дифференциальное уравнения, ряды.
Задачник может быть использован как для проведения практических занятий, так и для самостоятельной работы студентов. Все задачи снабжены ответами.
СОДЕРЖАНИЕ
Раздел 1. Дифференциальное исчисление.
Тема 1. Предел и непрерывность функции.
1.1.Понятие функции. Способы задания функций. Элементарные функции.
1.2.Числовая последовательность и ее предел.
1.3.Предел функции. Бесконечно малые и бесконечно большие функции.
1.4.Непрерывность функции. Точки разрыва.
Тема 2. Дифференциальное исчисление функций одной переменной.
2.1.Понятие производной. Вычисление производных.
2.2.Понятие дифференциала. Производные и дифференциалы высших порядков.
2.3.Основные теоремы дифференциального исчисления. Правило Лопиталя.
2.4.Исследование функций и построение графиков.
2.5.Применение дифференциального исчисления в экономических вопросах.
Тема 3. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных.
3.1.Частные производные 1-го и 2-го порядка. Дифференциал функции.
3.2.Производная по направлению и градиент функции.
3.3.Экстремум функции двух переменных.
Раздел II. Интегральное исчисление. Дифференциальные уравнения. Ряды.
Тема 4. Интегралы.
4.1.Понятие неопределенного интеграла. Вычисление неопределенных интегралов.
4.2.Понятие определенного интеграла. Вычисление определенных интегралов.
4.3.Геометрические приложения определенного интеграла.
4.4.Несобственные интегралы.
Тема 5. Дифференциальные уравнения.
5.1.Понятие о дифференциальных уравнениях. Уравнение 1-го порядка с разделяющимися переменными.
5.2.Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка.
5.3.Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами.
Тема 6. Ряды.
6.1. Понятие числового ряда. Необходимое условие сходимости ряда. Ряды с неотрицательными членами. Признаки сходимости.
6.2. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость ряда.
6.3.Степенные ряды. Разложение функций в степенной ряд.
Ответы
Раздел 1. Дифференциальное исчисление
Тема 1. Предел и непрерывность функций
Понятие функции
1.1. Найти области определения и построить графики функций:
1.2. Найти области определения функций
1.3. По заданным функциям 
построить сложную функцию 
Числовая последовательность и ее предел
1.4. Написать пять первых членов последовательности:
1.5. Написать формулу общего члена последовательности:
Используя определения предела последовательности, доказать равенства:
Предел функции.
Используя определения предела функции, доказать равенства
Найти пределы:
Используя первый замечательный предел, вычислить:
Используя второй замечательный предел, вычислить:
Смешанные задачи на вычисление пределов. Найти пределы.
Найти левый и правый пределы:
