Задачи студенческой математической олимпиады Санкт-Петербурга

Санкт-Петербург

В 2000-2012 гг. студенческая олимпиада г. Санкт-Петербурга по математике проводилась Санкт-Петербургским национальным исследовательским университетом информационных технологий, механики и оптики (до 2011 года носившем название Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики, СПбГУ ИТМО). В 2012 году каждый вуз мог выставить на олимпиаду одну или две команды по 7 человек (в командный зачет входили пять лучших участников команды) и студентов в личный зачет. В личном зачете участвовали все заявленные студенты. Результат вуза в командном зачете определялся по результату лучшей из его команд (если их две).

Олимпиада проводилась в воскресенье 28 октября 2012 года. На решение задач отводилось 4 часа. Пользоваться справочной литературой не разрешалось. Студентам всех групп было предложено 12 задач.

Председателем жюри был профессор СПбГУ Н.А. Широков. В оргкомитет олимпиады входили: ректор НИУ ИТМО чл.-корр. РАН Васильев В.Н., проф., д.ф.-м.н Попов И.Ю., доц., к.ф.-м.н. Фролов В.М., доц., к.т.н. Блинова И.В.

Составители: проф., д.ф.-м.н. Н.А. Широков, проф., д.ф.-м.н. Попов И.Ю., доц.: к.ф.-м.н. Фролов В.М., к.ф.-м.н. Рыжков А.Е., к.ф.-м.н. Трифанова Е.С., к.т.н. Блинова И.В., ст. преп. Родина Т.В., асс.: Трифанов А.И., Петтай П.П.

Задачи студенческой математической олимпиады Санкт-Петербурга

1.Решить уравнение , . (3 балла)

2. ­ вершины правильного 2012-угольника со стороной 1 на плоскости . . Центр многоугольника ­ в начале координат. . Найти . (3 балла)

3. На плоскости расположены две параболы так, что оси их взаимно перпендикулярны, а сами параболы пересекаются в четырех точках. Докажите, что эти четыре точки лежат на одной окружности. (3 балла)

4. На доске записано выражение . Двое по очереди вписывают вместо многоточий вещественные числа. Цель первого ­ получить уравнение, имеющее ровно один вещественный корень. Может ли второй ему помешать? (3 балла)

5. Найти наибольшее значение при . (6 баллов)

6. ­ антисимметричная матрица, у которой на побочных диагоналях ниже главной стоят , а остальные элементы ниже главной диагонали равны . Найти ранг матрицы .

(6 баллов)

7.Найти , если . (6 баллов)

8.Найти все функции , определенные при всех положительных , принимающие положительные значения и удовлетворяющие при любых положительных и равенству . (6 баллов)

9. Доказать, что для любого решения уравнения существует . (9 баллов)

10.Вычислить . (9 баллов)

11. Пусть ­ортонормированная на система непрерывных функций. Доказать, что хотя бы для одной из функций ( ) справедливо . (9 баллов)

12. Пусть - множество эрмитовых неотрицательных операторов в со следом 1. - выпуклое множество (т.е. если то ). Точка называется крайней точкой выпуклого множества, если из представления (*) следует, что или . Покажите, что крайние точки множества - это одномерные проекторы и только они ( - проектор, если ). (9 баллов)

Количество участников, решивших задачи(определено по формуле: полная сумма набранных всеми участниками баллов за задачу, деленная на стоимость задачи).

№ задачи

Кол-во решивших

Решения задач

1. Пусть . По условию существует и равен 2. В силу непрерывности показательной функции . Следовательно , откуда . Проверкой убеждаемся, что это число удовлетворяет уравнению. Необходимость последнего шага связана с неэквивалентностью переходов. Заметим, что уравнение в соответствии с описанной процедурой дает , однако, функция принимает заданное значение, вообще говоря, в двух точках (кроме одного значения ), в частности, в нашей задаче (при ) это , предел же, естественно, единствен. В нашем случае (при ) легко видеть, что , поэтому мы получаем решение именно уравнения с . Внимание жюри на этот аспект обратил студент Ю.Александров (ИТМО)

2. , .

3. Выберем оси так, что параболы: , . Точки пересечения ­ решения системы. , тогда , т.е. эти точки ­ на окружности.

4. Нет. Первым ходом надо задать коэффициент при , равным нулю. После этого второй задает либо свободный член, либо коэффициент при . Рассмотрим оба случая. В первом случае первому будет достаточно обнулить коэффициент при . Получится уравнение , имеющее ровно один корень. Во втором случае первому надо будет выбирать коэффициент у функции . Если , то и монотонно возрастает. Следовательно, корень ровно один при любом . Если второй задал отрицательное , то функция имеет локальный минимум ( ) в точке и возрастает при и при . Поэтому первый должен взять для того, чтобы уравнение имело ровно один корень.

Второе решение. Выбираем коэффициент перед , равным 1. Если второй выбирает один из двух коэффициентов, равным , то оставшийся коэффициент первый выбирает тоже . Тогда наш многочлен имеем вид , который, очевидно, имеет ровно один вещественный корень.

5. Для , имеем , .

Тогда ,

,

на (0,1), поэтому . Следовательно, . Но при это значение достигается. Ответ .

6. По индукции. Для непосредственно находим. , .

Пусть и . Преобразуем матрицу , прибавив ко всем ее строкам, начиная с третьей, первую и вторую строки, умноженные на -1, если требуется (чтобы получить нули в первых столбцах). Тогда приведется к виду:

Тогда .

7.

8. удовлетворяет условию. Ищем другие решения. Пусть при некотором . Тогда из следует что

(1)

Тогда из следует, что

(2)

Из (1) имеем , т.е. , а затем из (2)

и .

Т.е. для любых справедливо:

(3)

Пусть для некоторого , например, ( аналогично). Тогда существует такое, что .

И из (2) и (3) получаем ­ противоречие. Значит, . Ясно, что такая функция удовлетворяет функциональному уравнению.

Ответ: и .

9. .

Если , то решение ограничено и (если , а не ограничено, то при некоторых значениях получим противоречие ­ квадрат меньше нуля. Если , то интеграл берется).

Пусть . Тогда решение не ограничено. Пусть для определенности , тогда

, .

Тогда при

Значит, и .

10. В первых скобках ­ ряд для функции .

.

Так как ( интегрирований по частям или просто по свойству -функции), то

.

11. Возьмем характеристические функции .

По неравенству Бесселя

Поэтому найдется , для которого .

12.Рассмотрим спектральное разложение эрмитова оператора :

(1)

где собственные значения, соответствующие собственным векторам оператора . Если - крайняя точка , то сумма содержит только одно ненулевое слагаемое, следовательно, - есть одномерный проектор (на собственный вектор).

Обратно, пусть есть одномерный проектор и Возведем это выражение в квадрат и рассмотрим разность и (которая равна нулю, ибо - проектор). После перегруппировки слагаемых получим:

Сумма трех положительных операторов ( положителен, ибо все собственные значения от нуля до единицы, см. (1)) равна нулю, следовательно, каждое слагаемое должно равняться нулю. Но это означает, что , то есть - крайняя точка .

В олимпиаде приняли участие команды следующих вузов:

§ Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики – ИТМО (2 команды),

§ Санкт-Петербургский государственный политехнический университет –ГПУ (2 команды),

§ Санкт-Петербургский государственный университет, физический факультет – СПбГУ(Ф),

§ Санкт-Петербургский государственный университет, экономический факультет – СПбГУ(Э),

§ Балтийский государственный технический университет «ВоенМех» им. Д.Ф. Устинова – БГТУ (2 команды),

§ Военно-космическая академия им. А.Ф.Можайского – ВКА,

§ Санкт-Петербургский государственный университет кино и телевидения – КиТ,

§ Военный институт (инженерно-технический) – ВИИТ,

§ Санкт-Петербургский государственный университет телекоммуникаций им. проф. М.А.Бонч-Бруевича - ГУТ

§ Санкт-Петербургский государственный технологический институт (технический университет) – ТИ,

§ Государственная морская академия им. адм. С.О.Макарова – ГМА (2 команды),

§ Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет – ГАСУ (2 команды),

§ Санкт-Петербургский государственный университет экономики и финансов – ГУЭФ,

§ Новгородский государственный университет им. Ярослава Мудрого – НовГУ,

§ Санкт-Петербургский государственный университет водных коммуникаций – ГУВК (2 команды).