Область существования и область значения функции

Определение.Областью существования (или областью определения) функции y=f(x) называется совокупность всех действительных значений аргумента х, для которых функция у определена, то есть существует и выражается действительным числом.

Совокупность всех значений, которые принимает при этом сама функция у, называется областью значений (или областью изменения) этой функции.

Упражнения. Найти область определения функции:

1) у= ;

2) ;

3) у=lg(x − 5x+6).

Четность и нечетность.

Определение.Функция у=f(x) называется четной, если для любых значений х из области определения выполняется равенство: f(−x) = f(x).

График четной функции симметричен относительно оси ординат (рис. 9).

Определение.Функция у=f(x) называется нечетной, если для любых значений х из области определения выполняется равенство: f(−x)=−f(x).

График нечетной функции симметричен относительно начала координат (рис. 10).

Если ни одно из вышеуказанных условий не выполняется (т.е f(−x)¹−f(x) и f(−x)¹f(x)), то функция y = f(x) называется функцией общего вида.

Например, функция у=х⁶ является четной т.к f(−x)=(−x)⁶=x⁶=f(x), т.е. выполняется условие четности функции: f(−x)=−f(x).

Функция у=х − нечетная; у=х +х −5 – произвольного вида (показать это самостоятельно).

2.4. Периодичность.

Определение.Функция у=f(x) называется периодической с периодом Т¹0, если для любых х из области определения справедливо равенство:

f(x+T)= f(x).

Замечание. Если число Т есть период функции у=f(x), заданной на всей числовой прямой, то число nT, где n Î Z, также является периодом функции. В этом случае наименьший положительный период, если он существует, называется основным периодом функции. Говоря о периоде функции, обычно имеют в виду наименьший положительный период.

Например, функция у=sin x имеет период Т=2π, т.к. "хÎDf sin (x+2π )=sin x.

Монотонность.

Определение.Функция у=f(x) называется возрастающей на некотором интервале, если на этом интервале большему значению аргумента соответствует большее значение функции, т.е. при х₁<x₂ имеет место неравенство: f(x₁)<f(x₂), т.е.

("x , x ÎDf) [x >x f(x )>f(x )]

Определение.Функция у=f(x) называется убывающей на некотором интервале, если на этом интервале большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции, т.е. при х <x имеет место неравенство: f(x )>f(x ),т.е.

("x , x ÎDf) [x >x f(x )<f(x )]

Функции возрастающие и убывающие называются монотонными функциями.

Функция y=f(x) называется кусочно-монотонной на некотором интервале, если его можно разбить на конечное число интервалов так, что на каждом из них функция изменяется монотонно, т.е. функция или возрастает, или убывает.

Примеры:

1) Функция y=kx+b является монотонно возрастающей при k>0 и монотонно убывающей при k<0.

2) Функция y=a является монотонно возрастающей, когда а>1 и монотонно убывающей, когда а<1.

3) Функция y=x монотонно убывает на промежутке (− ; 0) и монотонно возрастает на промежутке (0; + ).

Ограниченность.

Определение.Функция y=f(x) называется ограниченной на некотором промежутке Х, если существует такое положительное число М>0, что

|f(x)| £ М для любого хÎХ,

Краткая запись: ($М >0) ("хÎХ) [|f(x)| M] .

Или

($а, bÎR) ("хÎХ) [а£f(x)£ b]

В противном случае функция называется неограниченной.

Если функция ограничена на некотором промежутке, то график ее в пределах этого интервала расположен в полосе, ограниченной прямыми у=а и у=b (рис. 13).

Пример.Функция у= sin x ограничена на всей числовой оси, т.к.

("хÎR) [|sin x|£1 ].