Область существования функции
Задача2.19
Найти область существования функции 
.
Решение.
Заданная функция – целая рациональная функция. Ее областью существования являются бесконечный интервал 
, или в другой записи 
.
Задача2.20
Найти область существования функций:
1) 
;
2) 
;
3) 
.
Решение.
1) Функция 
—дробная рациональная функция. Она существует при всех значениях независимой переменной 
, кроме тех, которые обращают в нуль ее знаменатель, т.е. в данном случае кроме 
. Область существования этой функции состоит из двух бесконечных интервалов 
и 
, или в другой записи 
и 
.
2) Функция 
также определена при всех значениях 
, кроме того его значения, при котором 
, т.е. кроме 
. Область существования состоит из двух бесконечных интервалов 
; 
, или в другой записи 
; 
.
3) Решив уравнение 
, найдем, что 
. Область существования функции 
состоит из двух бесконечных интервалов 
; 
, или в другой записи 
и 
.
Задача2.21
(для самостоятельного решения). Определить область существования функций:
1) 
;
2) 
.
Ответ.
1) 
; 
, или 
и 
.
2) 
; 
, или 
и 
.
Задача2.22
Найти область существования функции 
.
Решение.
Заданная функция – дробная рациональная функция. Она определена при всех действительных значениях 
, кроме тех, при которых знаменатель дроби 
равен нулю, т.е. кроме значений 
и 
(эти значения найдены из уравнения 
). Область существования заданной функции состоит из трех интервалов: 
; 
; 
, или в другой записи: 
; 
; 
.
Задача2.23
(для самостоятельного решения). Определить область существования функций:
1) 
;
2) 
.
Ответ.
1) Область существования состоит из трех интервалов: 
; 
; 
.
2) Область существования состоит из трех интервалов: 
; 
; 
.
Задача2.24
Найти область существования функции 
.
Решение.
Приравняв нулю знаменатель дроби 
и решив квадратное уравнение 
, убедимся что его корни – комплексные числа: 
. Ни при одном действительном значении 
многочлен в ноль не обращается. Поэтому заданная функция определена при всех действительных значениях 
. Ее областью существования является бесконечный интервал 
.
Задача2.25
(для самостоятельного решения). Найти область существования функций:
1) 
;
2) 
.
Ответ.
1) Бесконечный интервал 
.
2) Бесконечный интервал 
.
Задача2.26
(для самостоятельного решения). Найти область существования функций:
1) 
;
Ответ.
1) Функция существует в двух бесконечных интервалах: 
и 
, т.е. При любом значении 
, кроме 
.
2) Знаменатель дроби 
имеет один действительных корень 
. Функция существует в двух бесконечных интервалах: 
и 
, т.е. при любом значении 
, кроме 
.
Задаче2.27
(для самостоятельного решения). Найти область существования функций:
(знаменатель дроби 
имеет действительный корень 
);
.
Решение.
1) Для того чтобы функция 
принимала только действительные значения, величина 
, стоящая под корнем, не должна принимать отрицательных значений, т.е. должно быть 
, откуда 
. Областью существования функции является совокупность действительных значений 
, меньших или равных 2, т.е. полуотрезок 
.
2) Чтобы определить область существования функции, составим неравенство 
, из которого получаем, что 
.
Задача2.28
(для самостоятельного решения). Найти область существования функций:
1) 
и 2) 
.
Ответ.
1) Полуотрезок 
.
2) Полуотрезок 
.
Задача2.29
Найти область существования функций
1) 
;
2) 
;
3) 
.
Решение.
1) Выражение 
принимает действительное значение, когда 
, т.е. когда 
. Но при 
имеем 
, знаменатель дроби обращается в ноль, дробь теряет числовой смысл, а поэтому значение 
не может входить в область существования функции. Значит, функция существует при значениях 
, область существования представляет собой бесконечный интервал 
.
2) Областью существования функции является бесконечный интервал 
.
3) Область существования состоит из двух бесконечных интервалов 
и 
. Это же заключение можно записать с помощью неравенств: 
и 
.
Задача2.30
(для самостоятельного решения). Определить область существования функций:
1) 
;
2) 
;
3) 
.
Ответ.
1) Два бесконечных интервала 
; 
.
2) Бесконечный интервал 
.
3) Бесконечный интервал 
.
ТРЕТЬЕ ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ
Содержание. Продолжение упражнений в определении области существования функции.
Задача 3.1
Найти область существования функций:
1) 
;
2) 
Решение.
1) Для того чтобы функция 
принимала только действительные значения, надо, чтобы 
, т.е. 
. Это неравенство выполняется тогда, когда 
и 
, и, таким образом, область существования функции состоит из двух полуотрезков: 
и 
, или в другой записи 
и 
.
2) Должно выполнятся неравенство 
, т.е. 
. Отсюда следует, что 
и 
.
Областью существования функции является отрезок 
.
Это можно записать иначе: 
.
Задача 3.2
(для самостоятельного решения). Найти область существования функций:
1) 
;
2) 
;
3) 
;
4) 
.
Ответ.
1) Отрезок 
, иначе 
.
2) Два полуотрезка 
и 
, иначе 
и 
.
3) Интервал 
, или 
(значения 
отбрасываются, так как при 
знаменатель дроби обращается в ноль и дробь теряет числовой смысл).
4) Два интервала 
и 
, или 
и 
(значения 
отбрасываются, так как при 
знаменатель дроби обращается в ноль и тем самым дробь теряет числовой смысл).
Задача 3.3
(для самостоятельного решения). Определить область существования функции 
.
Указание. Должно выполнятся неравенство 
.Для определения тех значений 
,при которых это имеет место следует решить системы неравенств:
1) 
2) 
Из решения этих неравенств следует, сто областью существования является полуотрезок 
и интервал 
. Это можно записать иначе: 
и 
. Значение 
рассматриваться не может, так как тогда 
и дробь 
теряет числовой смысл.
Задача 3.4
(для самостоятельного решения). Найти область существования функции 
.
Указание. Рассмотрим неравенство 
.
Ответ.
и 
.
Задача 3.5
Найти область существования функции 
.
Решение.
Учитывая, что если основание логарифмов положительно, то ни ноль ни отрицательное числа логарифмов не имеют, область существования данной функции найдем из требования, чтобы 
, откуда следует, что должно быть 
. Функция существует для значений 
, т.е. на бесконечном интервале 
.
Задача 3.6
(ля самостоятельного решения). Найти область существования функций.
1) 
;
2) 
.
Ответ.
1) 
;
2) 
и 
.
Указание. В случае 2) рассмотреть неравенство 
.
Задача 3.7
(для самостоятельного решения). Найти область существования функции 
.
Ответ.
и 
, т.е. Функция определена при любом значении 
, кроме 
.
Задача 3.8
Найти область существования функции 
.
Решение.
Функция 
определена при любом значении аргумента 
. Значит, выражение 
, стоящее под знаком синуса, может принимать любое значение, откуда следует, что 
может принимать любое значение. Областью существования функции является бесконечный интервал 
. Это заключение можно написать и иначе: 
.
Задача 3.9
(для самостоятельного решения). Найти область существования функции 
.
Ответ.
Все действительные числа кроме 
и 
.
Задача 3.10
Найти область существования функции 
.
Решение.
Функция 
определена при всех действительных значениях 
, кроме 
. Где 
—любое целое число. Значит, в нашем случае величина 
, стоящая после знака тангенса, не должна быть равна , т.е. 
, а 
. Таким образом, область существования функции 
состоит из всех действительных чисел, кроме значений 
, где 
—любое целое число.
Задача 3.11
(для самостоятельного решения). Найти область существования функций: 1) 
; 2) 
; 3) 
и 
.
Ответ.
1) Множество всех действительных чисел, кроме значений 
.
2) Множество всех действительных чисел, кроме значений 
.
3) Множество всех действительных чисел, кроме 
.
4) Множество всех действительных чисел, кроме 
.
(всюду 
—любое целое число)
Задача 3.12
Найти область существования функции 
.
Решение.
Областью существования функции 
является отрезок 
. Поэтому область существования данной функции указывается неравенствами 
. 
, откуда уже следует, что функция существует для значений 
.
Задача 3.13
(для самостоятельного решения). Найти область существования функций:
1) 
;
2) 
.
Ответ.
1) 
.
2) 
.
Задача 3.14
(для самостоятельного решения). Найти область существования функций:
1) 
;
2) 
.
Ответ.
1) 
.
2) 
.
Задача 3.15
(для самостоятельного решения). Найти область существования функции 
.
Ответ.
Данное аналитическое выражение не определяет никакой функции, так как ни при одном значении 
не имеют место неравенства 
.
Указание. К решению задач 3.16—3.23.
Если требуется область существования алгебраической суммы некоторых функций, то надо поступить так:
1) Определить область существования каждой из слагаемых функций;
2) Определить часть, общую для всех найденных областей. Эта общая часть и будет искомой.
Если такой общей части у областей , найденных в п.1), не окажется, то заданное аналитическое выражение, представляющее алгебраическую сумму нескольких функций, не определяет никакой функции в области действительных чисел.
Это указание распространяется также на производные нескольких функций и на частное двух функций, причем при определении области существования частного двух функций должны быть исключены точки, в которых знаменатель дроби обращается в нуль.
Задача 3.16
Найти область существования функции 
.
Решение.
Областью существования функции 
является совокупность всех значений 
, удовлетворяющих неравенству 
, т.е. интервал 
.
Областью существования степенной функции 
является интервал 
.
Общей частью этих двух интервалов является интервал 
. Таким образом, данная функция существует для значений 
.
Задача 3.17
Найти область существования функции 
.
Решение.
Функция 
существует для значений 
. Функция 
существует для значений 
.
Общей частью найденных двух областей является отрезок 
, а поэтому данная функция существует для значений 
.
Задача 3.18
(для самостоятельного решения). Найти область существования функции 
.
Ответ.
, т.е. отрезок 
.
Задача 3.19
(для самостоятельного решения). Найти область существования функции 
Ответ.
, т.е. 
.
Задача 3.20
(для самостоятельного решения). Найти область существования функции 
.
Ответ.
Функция существует для значений 
и 
,т.е. в интервалах 
и 
.
Задача 3.21
(для самостоятельного решения). Найти область существования функции 
.
Ответ.
Функция существует при всех значениях 
, кроме значений 
, где 
—любое целое число.
Задача 3.22
Найти область существования функции 
.
Решение.
Функция 
существует в бесконечном интервале 
.
Функция 
существует в интервалах 
и 
. Но следует иметь ввиду, что функция 
стоит в знаменателе дроби, а поэтому из этих двух интервалов надо исключить точки, в которых эта функция, обращается в нуль, т.е.точки, для которых 
, или 
, а 
. Таким образом, функцию следует рассматривать в интервалах:
1) 
;
2) 
;
3) 
;
4) 
.
Общей частью, принадлежащей бесконечному интервалу 
, в котором определена функция 
, и только что найденными интервалами являются именно эти интервалы, а поэтому данная функция существует в интервалах:
1) ;
2) ;
3) ;
4) .
Задача 3.23
(для самостоятельного решения). Найти область существования функции 
.
Ответ.
Два бесконечных интервала: 
и 
.
ЧЕТВЕРТОЕ ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ
Содержание. Построение графиков функции.
Это практическое занятие посвящается упражнениям на построение графиков функций, заданных аналитически.
В инженерной практике с построением графиков функций приходится встречаться очень часто. При изучении таких предметов, как сопротивление материалов, теория упругости, гидравлика, электротехника, радиотехника, к построению графиков функций приходится прибегать буквально на каждом шагу.
Поэтому студенту следует с исключительной серьезностью отнестись к этому практическому занятию.
К построению графиков более сложных функций мы еще возвращаемся на практическом занятии №35 и используем для этого уже аппарат дифференциального исчисления.