Вычисление определителей второго порядка.

Сложение матриц

Складывать можно только матрицы одинакового размера.

Сложение матриц Вычисление определителей второго порядка. - student2.ru есть операция нахождения матрицы Вычисление определителей второго порядка. - student2.ru , все элементы которой равны попарной сумме всех соответствующих элементов матриц Вычисление определителей второго порядка. - student2.ru и Вычисление определителей второго порядка. - student2.ru , то есть каждый элемент матрицы Вычисление определителей второго порядка. - student2.ru равен

Вычисление определителей второго порядка. - student2.ru

Свойства сложения матриц:

1. 1.коммутативность: A+B = B+A;

2. 2.ассоциативность: (A+B)+C =A+(B+C);

3. 3.сложение с нулевой матрицей: A + Θ = A;

4. 4.существование противоположной матрицы: A + (-A) = Θ;

Умножение матриц

Умножение матриц (обозначение: Вычисление определителей второго порядка. - student2.ru , реже со знаком умножения Вычисление определителей второго порядка. - student2.ru ) — есть операция вычисления матрицы Вычисление определителей второго порядка. - student2.ru , каждый элемент которой равен сумме произведений элементов в соответствующей строке первого множителя и столбце второго.

Вычисление определителей второго порядка. - student2.ru

Количество столбцов в матрице Вычисление определителей второго порядка. - student2.ru должно совпадать с количеством строк в матрице Вычисление определителей второго порядка. - student2.ru , иными словами, матрица Вычисление определителей второго порядка. - student2.ru обязана быть согласованной с матрицей Вычисление определителей второго порядка. - student2.ru . Если матрица Вычисление определителей второго порядка. - student2.ru имеет размерность Вычисление определителей второго порядка. - student2.ru , Вычисление определителей второго порядка. - student2.ruВычисление определителей второго порядка. - student2.ru , то размерность их произведения Вычисление определителей второго порядка. - student2.ru есть Вычисление определителей второго порядка. - student2.ru .

Свойства умножения матриц:

a. 1.ассоциативность (AB)C = A(BC);

b. 2.некоммутативность (в общем случае): AB Вычисление определителей второго порядка. - student2.ru BA;

c. 3.произведение коммутативно в случае умножения с единичной матрицей: AI = IA;

d. 4.дистрибутивность: (A+B)C = AC + BC, A(B+C) = AB + AC;

e. 5.ассоциативность и коммутативность относительно умножения на число: (λA)B = λ(AB) = A(λB);

Линейные комбинации

В векторном пространстве линейной комбинацией векторов Вычисление определителей второго порядка. - student2.ru называется вектор

Вычисление определителей второго порядка. - student2.ru

где Вычисление определителей второго порядка. - student2.ru — коэффициенты разложения:

  1. если все коэффициенты равны нулю, то такая комбинация называется тривиальной,
  2. если же хотя бы один коэффициент отличен от нуля, то такая комбинация называется нетривиальной.

Это позволяет описать произведение Вычисление определителей второго порядка. - student2.ru матриц Вычисление определителей второго порядка. - student2.ru и Вычисление определителей второго порядка. - student2.ru терминах линейных комбинаций:

  1. столбцы матрицы Вычисление определителей второго порядка. - student2.ru — это линейные комбинации столбцов матрицы Вычисление определителей второго порядка. - student2.ru с коэффициентами, взятыми из матрицы Вычисление определителей второго порядка. - student2.ru ;
  2. строки матрицы Вычисление определителей второго порядка. - student2.ru — это линейные комбинации строк матрицы Вычисление определителей второго порядка. - student2.ru с коэффициентами, взятыми из матрицы Вычисление определителей второго порядка. - student2.ru .

Вычисление определителей второго порядка.

Определитель второго порядка (матрицы размера 2 на 2) вычисляется по правилу:
Вычисление определителей второго порядка. - student2.ru

Запомнить просто: произведение элементов, стоящих на главной диагонали, минус произведение элементов, стоящих на побочной.

Вычисление определителей третьего порядка.

Определитель третьего порядка вычисляется по правилу:

Вычисление определителей второго порядка. - student2.ru + Вычисление определителей второго порядка. - student2.ru + Вычисление определителей второго порядка. - student2.ru - Вычисление определителей второго порядка. - student2.ru - Вычисление определителей второго порядка. - student2.ru - Вычисление определителей второго порядка. - student2.ru

Основные свойства определителей:

1. Опр-ль не изменится при замене всех его строк столбцами с теми же номерами.

2. Опр-ль изменит знак на противоположный, если переставить местами любые 2 строки( 2 столбца) определителя.

3. Общий множитель элементов какой-либо строки(столбца) можно вынести за знак определителя.

4. Опр-ль равен нулю, если содержит нулевую строку(столбец), две одинаковые или противоположные строки(столбца).

5. Опр-ль не изменится, если к какой-либо строке(столбцу)прибавить другую строку(столбец) умноженное на любое число.

6. Опр-ль треугольного вида равен произведению диагональных элементов.

7.Метод Крамера для решения СЛАУ и условия их применимости

ТЕОРЕМА КРАМЕРА. Если определитель Вычисление определителей второго порядка. - student2.ru системы Вычисление определителей второго порядка. - student2.ru линейных алгебраических уравнений с Вычисление определителей второго порядка. - student2.ru неизвестными отличен от нуля Вычисление определителей второго порядка. - student2.ru то эта система имеет единственное решение, которое находится по формулам Крамера:

Вычисление определителей второго порядка. - student2.ru

Вычисление определителей второго порядка. - student2.ru - определители, образованные с Вычисление определителей второго порядка. - student2.ru заменой Вычисление определителей второго порядка. - student2.ru -го столбца, столбцом из свободных членов.

Если Вычисление определителей второго порядка. - student2.ru , а хотя бы один из Вычисление определителей второго порядка. - student2.ru отличен от нуля, то СЛАУ решений не имеет. Если же Вычисление определителей второго порядка. - student2.ru , то СЛАУ имеет множество решений. Рассмотрим примеры с применением метода Крамера.

8 Метод Гаусса решения СЛАУ и условия его применимости. Условия несовместности, определённости и неопределённости СЛАУ по методу Гаусса.

метод Гаусса(его еще называют методом гауссовых исключений). Это метод последовательного исключения переменных, когда с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе ступенчатого (или треугольного) вида, из которого последовательно, начиная с последних (по номеру) переменных, находятся все остальные переменные.

Достоинства метода:

a) менее трудоёмкий по сравнению с другими методами;

b) позволяет однозначно установить, совместна система или нет, и если совместна, найти её решение;

c) позволяет найти максимальное число линейно независимых уравнений – ранг матрицы системы.

Существенным недостатком этого метода является невозможность сформулировать условия совместности и определенности системы в зависимости от значений коэффициентов и свободных членов. С другой стороны, даже в случае определенной системы этот метод не позволяет найти общие формулы, выражающие решение системы через ее коэффициенты и свободные члены, которые необходимо иметь при теоретических исследованиях.

9Преобразования СЛАУ, выполняемые методом Гаусса (можно на примере). Нахождение общего решения СЛАУ. Частные решения СЛАУ.

Вычисление определителей второго порядка. - student2.ru

1) из элементов строки 2 вычитаем элементы строки 1, умноженные на 2;
2) из элементов строки 3 вычитаем соответствующие элементы строки 1;
3) из элементов строки 3 вычитаем соответствующие элементы строки 2;
Как видно, система имеет решение, так как ранг основной матрицы равен рангу расширенной матрицы.
Рассмотрим строку 2 последней получившейся расширенной матрицы, которая эквивалентна следующему уравнению:
Вычисление определителей второго порядка. - student2.ru , откуда находим Вычисление определителей второго порядка. - student2.ru .
Рассмотрим строку 1 последней получившейся расширенной матрицы, которая эквивалентна следующему уравнению:

Вычисление определителей второго порядка. - student2.ru , откуда находим Вычисление определителей второго порядка. - student2.ru .
Подставим, ранее найденное, значение переменной Вычисление определителей второго порядка. - student2.ru

Вычисление определителей второго порядка. - student2.ru , или Вычисление определителей второго порядка. - student2.ru .
Итак, общее решение исходной системы уравнений есть

Вычисление определителей второго порядка. - student2.ru где Вычисление определителей второго порядка. - student2.ru и Вычисление определителей второго порядка. - student2.ru - свободные переменные.
Вы можете получить частное решение данной системы, выбрав для свободных переменных произвольные значения.

10Понятие обратной матрицы. Вырожденные и невырожденные матрицы. Теорема о существовании обратной матрицы. Основные способы нахождения обратной матрицы.

Обратная матрица A−1 — матрица, произведение которой на исходную матрицу A равно единичной матрице E:

A·A-1 = A-1·A = E

Квадратная матрица А называется невырожденной, если определитель Δ=detА не равен нулю:Δ=detА≠0. В противном случае (Δ=0) матрица А называется вырожденной.

квадратная матрица называется вырожденной, если строки линейно зависимы. Вырожденной будет, например, матрица, имеющая две одинаковые строки. Примером невырожденной матрицы является единичная матрица.

Матрица А-1 называется обратной матрице А, если выполняется условие A*A-1=A-1*A=E где Е — единичная матрица того же порядка, что и матрица A. Матрица А-1 имеет те же размеры, что и матрица А.

Наши рекомендации