Раздел 3. квантовая природа излучения.

Задача №1

Оценить наименьшие ошибки, с которыми можно определить скорости электрона, протона и шарика массой 1 мг, если координаты частиц и центра шарика установлены с неопределённостью 1 мкм.

Решение.

Рассмотрим соотношения неопределённостей Гейзенберга

Dx×Dp_x ³ ħ/2; где Dp_x – импульс частицы или шарика, который определяется следующим образом

Dp_x = m×DV_x , где m – масса частицы или шарика, DV_x – скорость частицы или шарика. Следовательно

Dx*mDV_x ³ ħ/2, отсюда DV_x ³ ħ/2mDx.

Оценим наименьшие ошибки, с которыми можно определить скорость частиц и шарика

DV_x1 ³ 1,05×10^-34/2×10^-12 = 0,525×10^-22 (м/c) – для шарика;

DVx,е ³ 1,05×10^-34/2×10^-6×9,11×10^-31 = 58 (м/c) – для электрона;

DVx,р ³ 1,05×10^-34/2×10^-6×1,67×10^-27 = 3,2×10^-2 (м/с) – для протона.

Задача №2

Исходя из представления, что свет состоит из фотонов, каждый из которых обладает импульсом hν/c, определить давление Р световой волны на плоское зеркало, предполагая, что коэффициент отражения зеркала равен r, а угол падения равен φ. Определить также тангенциальную силу Т, действующую на единицу поверхности зеркала со стороны падающего излучения.

Решение

Предположим, что поверхность, на которую падает световая волна, идеально матовая (удовлетворяет закону Ламберта). Тогда расчет дает

Р = и (1+r)cos²φ,

где и – плотность энергии падающей волны;

Т =1/2 и (1- r) sin 2 φ.

Если N – число фотонов падающей волны в единице объема, то импульс фотонов, упавших в 1 с на зеркало, равен (Nhν/cScosφ), где S - площадь зеркала. Так как Nhν = и, то этот импульс равен р₁ = иScosφ·i – где i единичный вектор, проведенный в направлении падающего луча. Импульс отраженных в 1 с фотонов р₂ = ru Scosφ·i′, где i′,- единичный вектор в направлении отраженного луча. Таким образом, изменение импульса световой волны в 1 с вследствие отражения от зеркала равно

p₂ – р₁ = - иS(i - ri′)cos φ.

В силу закона сохранения импульса системы, изменение импульса зеркала будет таким же по величине, но противоположным по направлению. Поэтому сила F, действующая на зеркало со стороны излучения, равна

F = р₁ – р = иS(i - ri′)cos φ,

а сила f , действующая на единицу площади зеркала,

f = и( i - ri′) cos φ.

Проектируя это выражение на нормаль к зеркалу и на плоскость зеркала, получим следующие результаты

, .

Если отражающая поверхность идеально матовая, то она отражает падающее на нее световое излучение целиком, причем после отражения получатся лучи всевозможных направлений, и все эти направления равновероятны. Вероятность того, что направление распространения отразившегося фотона составляет с нормалью к зеркалу угол лежащий между θ и θ + dθ, равна

(1/2 π)dΩ = sin θdθ,

так как соответствующий элемент телесного угла

dΩ = 2 π sin θ d θ.

Результирующий импульс всех отразившихся фотонов будет перпендикулярен к плоскости зеркала. Среднее значение проекции импульса одного отраженного фотона на нормаль к зеркалу равно (интегрируем от 0 до p)

ò cos θ sin θ d θ = ½ × hv/c

Следовательно, для результирующего импульса всех отразившихся фотонов мы получим

р₂ = NcScosφ ½ × hv/cn = ½ иScosφn,,

где n – единичный вектор нормали к поверхности зеркала. Сила же ƒ, действующая на единицу площади зеркала, будет равна

ƒ = (p₁ - p₂)/S = u (i – (1/2)n) cosj

Проектируя это выражение на нормаль n и плоскость зеркала, получим искомый результат.

Задача №3

С чем связана независимость изменения длины волны фотона при комптоновском рассеянии от вида вещества облучаемого тела?

Каково происхождение несмещенной компоненты в рассеянном излучении?

Чем объясняется уширение обеих компонент в рассеянном излучении?

Почему увеличивается интенсивность смещенной компоненты в рассеянном излучении с увеличением угла рассеяния, а также с уменьшением атомного номера элемента?

Решение.

Рассеяние происходит на свободных электронах, т.е. таких, энергия связи которых с ядром много меньше энергии, передаваемой им при столкновениях с первичными фотонами.

Несмещенная компонента возникает из-за рассеяния на сильно связанных электронах, а также на атомных ядрах.

Уширение обеих компонент рассеянного излучения получается потому, что рассеяние происходит на движущихся частицах (электронах и атомных ядрах).

С увеличением угла рассеяния увеличивается энергия, передаваемая первичным фотоном электрону. В результате этого условие, при котором электрон может считаться свободным, становится менее жестким. Это ведет к увеличению числа свободных электронов, а, следовательно, и к увеличению интенсивности рассеяния. Аналогично влияет и увеличение атомного номера элемента.

Задача №4

Определить красную границу фотоэффекта для серебра и максимальную скорость фотоэлектронов, вырываемых с его поверхности электромагнитным излучением с длиной волны 250 нм.

Решение

Порция (квант) электромагнитного излучения несёт энергию, которая по формуле Планка равна: E = hν = hc/λ ;

где h - постоянная Планка, n - частота излучения, С - скорость света, l - длина волны излучения.

Получив квант энергии, электрон может совершить работу выхода из кристаллической решётки металла только в том случае, если hc/λ >А_вых

Найдём наибольшую длину волны l_max электромагнитного излучения, квант которого будет иметь энергию равную работе выхода λ_кр = hc/А_вых.

l_max или λ_кр = = 292. 10^–9 м

Здесь мы перевели работу выхода для серебра из электрон-вольт (4,25 эВ) в джоули

1эВ = 1,6 10^-19 Дж.

При всех длинах волн меньше l_кр = l_max падающее на металл излучение будет производить фотоэффект.

Для нахождения максимальной скорости фотоэлектронов воспользуемся законами сохранения и превращения энергии при фотоэффекте (уравнение Эйнштейна) hc/λ = А_вых + Wk, _max,

где Wk, _max - кинетическая максимальная энергия вырванных излучением фотоэлектронов. Учитывая, что Wk, _max = m_ev² _max/2,

где m_e - масса электрона, v_max - максимальна скорость электрона, тогда

m_ev² _max/2 = hc/λ - А_вых. v_max = 1/2 ( (2/m_e)(( hc/λ) - А_вых))

= == = м/ c.

Задача №;5

Построить ход лучей через оптическую систему в параксиальном приближении по схеме 9 (раздел 2, тема 4, задача 4)

Решение

Пусть - луч, падающий на систему линз. Первая линза отрицательная, вторая – положительная.

Через оптический центр первой линзы проводим побочную оптическую ось параллельную , а через ее передний фокус - фокальную плоскость . Точка пересечения оси и этой плоскости дает побочный фокус . После преломления в рассеивающей линзе луч распространяется так, что его продолжение проходит через фокус .

После прохождения первой линзы имеем луч , который падает на положительную (собирающую) линзу. После преломления, в этой линзе луч проходит через задний, побочный фокус.

Имеем луч . Здесь . - задняя фокальная плоскость.

Задача №;6

Построить изображение источника в составной линзе в параксиальном приближении по схеме 33 (раздел 2, тема 4, задача 4)

Решение

Имеем составную бесконечно тонкую линзу. Требуется построить изображение источника в ней. Такая линза представляет собой совокупность 2-х линз, тела которых имеют показатели преломления и , где . Из рис. следует, что эта линза двояковыпукла, т. е. , ( - радиус кривизны). Будем считать, что такая линза погружена в среду с показателем преломления .

Пусть .

Тогда на основании формулы линзы:

где и подставляются соответственно.

Из условия заключаем, что в обоих случаях и, следовательно, . Обе линзы положительны поскольку , то фокусное расстояние второй линзы (с показателем преломления ) меньше. В этой ситуации возможны 3 варианта:

а) источник расположен за 2-ым фокусом;

б) источник расположен между фокусами;

в) источник расположен между линзой и ближним фокусом.

Для построения изображения источника берем произвольный луч и находим точку его пересечения, после преломления в линзе, с главной оптической осью (действительное изображение), или точку пересечения его продолжения с главной оптической осью (мнимое изображение).

Изображение в первой линзе S₁ , во второй - S₂.

Изображение и оба действительные.

Изображение действительное, - мнимое.

Изображения и - чисто мнимые.

Раздел 11. ОСНОВЫ МОЛЕКУЛЯРНОЙ ФИЗИКИ И ТЕРМОДИНАМИКИ.

Задача 1

Найти среднее расстояние между атомами Na и Сl в молекуле NaCl, считая, что кристалл NaCl имеет кубическую структуру.

Решение

Находим по таблицам молярные массы натрия и хлора и по ним определяем молярную массу поваренной соли. Имеем

М (Na) = 22,9 г/моль, М (Cl) = 35,4 г/моль, М (NaCl) = 58,3 г/моль. Учитывая, что в 1 см³ NaCl содержится масса численно равная плотности кристалла r, можем составить пропорцию: r граммов соли содержат X молекул; 58,3 (г)содержат число Авогадро N_A молекул. Отсюда - число молекул поваренной соли в единице объема (в 1 см³). Теперь можно дать верхнюю оценку объема приходящегося на одну молекулу: V_max = 1/Х. Максимальное расстояние между молекулами в кубическом кристалле равно корню кубическому из этой величины:

Оценим, на сколько изменяется расстояние при нагреве кристалла. Удлинение кристалла длины L₀ при нагреве на ΔΤ К составляет

ΔL = α L₀ ΔΤ,

где α – температурный коэффициент (линейного) расширения, L₀ – начальная длина тела. Увеличение расстояния между ионами натрия и хлора

Δd = d = α ΔΤ d = α ΔΤ

Для поваренной соли α = 33,9 .10^-6 К^-1, ΔΤ = 100 К. Тогда получим Δd = 1,3. 10^{-12 м.}

Задача № 2

Одноатомному идеальному газу в количестве одного моля передано одинаковое количество теплоты при изотермическом и изобарическом процессах. Определить отношение работ выполненных газом при изотермическом и изобарическом изменении состояния газа.

Решение.

Количество теплоты Q_T переданное в изотермическом процессе равно совершаемой в этом процессе работе А_Т. В изобарическом процессе Q_P = C_VΔT + pΔV, где C_V = 1,5 R – молярная теплоемкость одноатомного газа при постоянном объеме. Из уравнения состояния идеального газа для одного моля имеем pΔV = RΔT = А_Р - работу в изобарическом процессе. Однако тогда Q_P = 2,5 RΔT. Поскольку Q_T = Q_P, то А_Р = 0,4 Q_P = 0,4 А_Т. Отсюда А_Т/ А_Р = 2,5

Преобразовать цикл, заданный в координатах V и Т, к координатам P,V и Р,Т. Рабочее тело – идеальный газ. Указать минимальные (min) и максимальные (max) значения термодинамических параметров на цикле. Указать процессы цикла, в которых теплота поступает в систему и в которых отдается холодильнику. Определить работу за цикл (в координатах Р,V). Определить количество теплоты, поступающей к идеальному газу и найти КПД цикла. Указать процессы или участки процессов с положительной и отрицательной теплоемкостью.

Рис. 1

Решение.

При анализе цикла, прежде всего, проводим в заданных координатах характерные кривые (изохоры, изотермы, изобары). На графике V(Т) это прямые (изобары), проходящие через начало координат. Они изображены пунктиром. Чем больше угол наклона такой прямой к оси Т, тем меньшему давлению она соответствует.

1.Пусть процесс (1-2) это процесс вида V = αT². (1)

Перейдем к координатам Р(Т).Для этого используем уравнение состояния идеального газа:

РV = RТ; (2),

= m/M - количество вещества.

Из этого уравнения найдем объем V и подставим в выражение (1)

V = vRT/P; vRT/P = αT² или РТ = vR/α = const (3)

График процесса – гипербола в координатах Р,Т. Перейдем к координатам Р(V). Из выражения (2) найдем температуру Т и подставим в выражение (1)

Т= PV/vR; v = a(P²V²/v²R²; или Р²V = const =c;

Р = c/(V)^-1/2; (4)

2.Процесс (2-3) будем считать изобарным, поскольку прямая (2-3) на графике V(T) проходит через начало координат.

А именно, из выражения (2)

V = (vR/P)T; и tgα = vR/P = const. (5)

Cледовательно, Р = const.

В координатах Р(Т) это отрезок прямой параллельный оси Т. В координатах Р(V) он также изобразится отрезком прямой, параллельной оси V.

3. Процесс (3-4) – изотермический.

В координатах Р(Т) он изображается отрезком прямой параллельной оси Р.

В координатах Р(V), как следует из выражения (2), это - гипербола: РV = const = c₃. (6)

4. Процесс (4-1) изохорический. В координатах Р(Т) он изобразится отрезком прямой, проходящей через начало координат.

Из выражения (2): Р = (vR/V)T; tgα₂ = vR/V = const (7)

В координатах Р(V) этот отрезок изобразится отрезком прямой, параллельной оси Р.

Проведем на рис. 1 изобару (пунктир). Согласно (5) давление в точке 4 самое большое, давление в процессе 2 – 3 самое малое, а в точке 1- некоторое среднее между этими значениями.

Используя полученные результаты, построим цикл в координатах Р(Т) (рис. 2) и в координатах Р(V) (рис. 3).

Рис.2 Рис.3

Поскольку на рис. 1 заданы все параметры в точках 1; 2; 3; 4, то и на рис. 2 и рис. 3 их также можно считать заданными, поскольку они однозначно определяются из уравнения состояния (2).

Определим изменение внутренней энергии в процессах по формуле:

ΔU = νC_V T (8)

C_V – теплоемкость, молярная, при постоянном объеме.

В процессе 1-2

Т₂ > T₁ U = νC_V (Т₂ -Т₁);

В процессе 2-3:

Т₃ > T₂; U = νC_V (Т₃ -Т₂);

В процессе 3-4:

Т = 0, U = 0.

В процессе 4 - 1:

Т₄ > T₁ , U = νC_V (Т₄ - Т₁)

U взято по абсолютной величине;

С_V- молярная теплоемкость идеального газа при постоянном объеме.

Определим работу в процессах, имея ввиду, что она есть площадь под кривыми процессов в координатах Р(V):

В процессе 1-2:

А = P(V)dV = c₁/(V)^-1/2 dV = 2(VC)^-1/2I_V =

= 2C((V₂)^-1/2-(V₁)^-1/2)

В процессе 2-3:

А = Р₂(V₃ – V₂);

В процессе 3-4:

А = C₃/V = C₃lnV₄V₃;

В процессе 4-1:

А = 0; т.к. dV = 0.

Работа за цикл – площадь внутри контура 1;2;3;4 на графике Р(V):

A = A_{4 3} - A_{3 2} - A_{1 2} = C₃ ln V₃ /V₄ =

= P₂ (V₃ - V₁) - 2C ((V₂)^-1/2 – (V₁)^-1/2).

Это положительная площадь. Но так как цикл обходится против часовой стрелки, то на самом деле мы имеем отрицательную работу в цикле холодильной машины.

Рассмотрим количество теплоты, поступающее в каждом процессе, исходя из 2-го начала термодинамики:

Q = U + A;

Q_{1 2} = νC_v(T₂ - T₁) + 2C((V₂)^-1/2 – (V₁)^-1/2) >0;

Q_{2 3} = ν C_v (T₃ - T₂) + P₂ (V₃ – V₂) > 0;

Q_{3 4} = C₃ lnV₄/ V₃ <0; Q_{4 1} = ν C_v (T₁ - T₄) < 0:

Теплота поступает в систему в процессах (1-2) и (2-3) и отдается во внешнюю среду в процессах (3-4) и (4-1).

Коэффициент преобразования ε для холодильной машины:

ε = Q_подвед/A_затр > 1;

Q_подвед – подведенное количество теплоты,

А_затр – затраченная механическая работа.

ε = (Q₁₂ + Q₂₃)/A = ν C_V(T₃ – T₁)

ε =

Теплоемкость С =

В процессах 1-2: С =

В процессе 2-3 : С =

В процессе 3-4 С = .

В процессе 4-1 С =

Задача №5

а) Преобразовать данный цикл, построенный в заданной системе термодинамических координат, к координатам Р,V , Р,Т или V,Т . Если не получается строгое преобразование, то следует сделать приближенное преобразование (с помощью уравнения состояния идеального газа). Считать кривые отрезки заданного цикла параболами, окружностями, гиперболами или политропами.

б) Указать минимальное и максимальное значение всех параметров на цикле.

в) Указать процессы в цикле, в которых теплота поступает к системе (рабочему телу) и в которых отдается холодильнику.

г) Определить работу в цикле (работа цикла равняется площади цикла в координатах Р,V).

д) Определить поступающее количество Q теплоты и найти КПД цикла.

е) Указать процессы или участки процессов с положительной и отрицательной теплоемкостью.

Решение

При анализе цикла, прежде всего, проводим в заданных координатах характерные кривые (изохоры, изотермы, изобары).

Рассмотрим процесс 2 3. В нем Р = P_o - αV ; (1)

α – некоторый постоянный коэффициент, введенный для согласования размерностей.

Из уравнения состояния идеального газа имеем V = νRT/P, (ν = m/M – количество вещества), или

Р = νRT/V ; (2)

Выражаем функцию Т(V), подставим (2) в (1):

νRT/V = P_o – αV или

T = 1/νR (-αV²+Р₀ V) (3)

Найдем функцию Р(Т) для процесса 2 3:

Р(Т) = P_o – α νRT/P,

ανRT = =- P² + P_o P , T = (1/ α νR) (-P² + P_oP).

Рассмотрим теплоемкость. В политропных процессах С = dQ/dT > 0 положительна при γ > n > 1 (γ – показатель адиабаты, n – показатель политропы). Если энергия подводится (dQ > 0) к газу, а внутренняя энергия и температура газа уменьшаются, то dU < 0 и dT < 0. В этом случае теплоёмкость газа С = dQ/dT < 0 – отрицательна.

Рис.2

Рис.3

Определение КПД цикла.

Для процесса 1 2 (изохорического) теплота Q₁₂ = C_vν(T₂ - T₁) поступает в систему

A₁₂ = 0 , ∆U₁₂ = C_v ν(T₂ - T₁); Q = ∆U

Для процесса 2 3 Q₂₃ = C_v ν(T₃ - T₂) > 0 поступает в систему

A₂₃ = ((p₂ + p₁)/2) (V₃ - V₁), ∆U₂₃ = C_v ν(T₃ - T₂).

Для процесса 3 1 (изобарического)

Q₃₁ = C_p ν(T₁ - T₃) < 0 , теплота отдаётся холодильнику

∆U₃₁ = C_v ν(T₁ - T₃) < 0, A₃₁ = Р₁ (V₃ - V₁) < 0 .

Работа за цикл

А = A₁₂ + A₂₃ - A₃₁ = 1/2 (P₂ - P₁) (V₃ - V₁) .

Количество теплоты, поступившей к рабочему телу

Q = Q₁₂ + Q₂₃ - Q_31.

КПД: h = A/Q.

Задача №6

Определить теплоёмкость идеального газа в политропных процессах.

Решение

Определим работу и теплоемкость в политропическом процессе.

; ;

Применим второе начало термодинамики

,

где С_п – теплоемкость в политропном процессе. Отсюда

,

или в конечных приращениях

, , .

;

Используя уравнение состояния идеального газа, найдем разность температур

;

Тогда

;

Осталось вычислить работу идеального газа в политропном процессе

;

Тогда

;

или

;

;

Поскольку

; то ;

то

;

Упростим полученное выражение, заменив универсальную газовую постоянную из уравнения Майера

;

Выясним, при каких условиях политропная теплоемкость может быть отрицательной. Возможны два варианта:

а) б)

n < γ n > γ

n > 1, n < 1,

но γ > 1.

Таким образом, теплоемкость отрицательна при

Рассмотрим пример. Зададим процесс P(V) в виде окружности.

(P - P_o)2 +β²(V-V_o)² = R₀² , т.е. P = P_o+ √R₀²- β² (V-V_o)².

При увеличении объема работа в этом процессе может быть отрицательна и это может повлечь за собой отрицательную теплоемкость идеального газа в этом процессе.

(P_o+√R₀ ²-β²(V-V_o)² )dV = P_o(V₂ - V₁)+

+ (1/β) √R²-U² dU = P_o(V₂ - V₁)+

½(U√ R₀ ²-U² + R₀ ² arcsin(U/R₀)).

Здесь введена новая переменная U = β(V-V_o). Интегрирование по U ведется в пределах от β(V₁ - Vo) до β(V₂ -V_o).

Задача №7

На подоконнике возле раскрытого окна стоит открытый стакан воды. Сколько времени он простоит, пока вода не испарится полностью? Сколько молекул воды будет испаряться с одного квадратного сантиметра водной поверхности в секунду? Существует ли связь между временем испарения и среднегодовым количеством осадков, выпадающих на Землю?

Решение.

Рассмотрим сначала, как будет происходить испарение, если стакан закрыть крышкой и откачать из-под нее весь воздух. Пока водяного пара под крышкой мало, вода будет интенсивно испаряться, но вскоре наступит динамическое равновесие: число вылетающих из воды молекул станет равным числу возвращающихся в воду. Это состояние насыщенного пара. Если убрать крышку, вода начнет испаряться непрерывно, причем число вылетающих молекул останется прежним, ведь процесс испарения зависит только от движения молекул в воде, число же возвращающихся в воду молекул зависит от количества водяных паров в воздухе над стаканом.

Оценим количество вылетающих из воды молекул в единицу времени при равновесии или равное ему число конденсирующихся молекул пара.

Пусть в единице объема воздуха над крышкой содержится n молекул водяного пара. Число n зависит только от температуры воздуха, оно измерено экспериментально и его зависимость от температуры табулирована. За промежуток времени t поверхности воды достигнут только те молекулы пара, которые находились в начальный момент времени не дальше, чем V_вt , где V_в – вертикальная скорость молекулы. Такие молекулы находятся над стаканом в объеме SV_вt, где S – площадь поперечного сечения стакана. Следовательно, в единицу времени конденсируется 1/2·nSV молекул пара, где V – средняя скорость молекул.

Число конденсирующихся молекул при открытой крышке зависит от того, сколько молекул пара содержится в единице объема воздуха над поверхностью жидкости.

Нормальной считается относительная влажность 60 - 80%. Положим, что влажность составляет 50%, т.е. в единице объема воздуха содержится n/2 молекул водяного пара. В этом случае, как следует из предыдущего, в воду из пара должно конденсироваться 1/4·nSV молекул.

Однако так было бы лишь при условии, что над водой находятся только водяные пары, а не смесь воздуха с паром. При наличии воздуха молекулы из воды отлетают без столкновений только на длину свободного пробега λ ( λ 3·10^-5см).

Далее они движутся от поверхности жидкости с очень малой скоростью (по сравнению с тепловой). Поэтому число конденсирующихся молекул определяется не плотностью пара на большом расстоянии от воды, а плотностью пара на расстоянии длины свободного пробега. Считая, что плотность пара в перпендикулярном к поверхности воды направлении меняется линейно, а на расстоянии примерно 1 см она равна уже n/2, находим, что плотность водяных паров на расстоянии λ примерно равна

n/2 + n/2(1- λ) = n (1- λ/2).

Таким образом, с поверхности воды в единицу времени испаряется около n λSV/4 молекул воды.

В стакане воды содержится n_вSh молекул воды, где n_в = 3·10²²см^-3 – число молекул воды в 1 см³, h – высота стакана.

Примем h = 10 см. При t = 25^оС, V = 6000cм/с; n = 10¹⁸см^-3 вся вода испарится за время

τ =

С площадки в 1 см² каждую секунду испаряется nλV/4 2·10¹⁸ молекул.

В среднем за год с водной поверхности Земли должно испариться количество воды, равное среднегодовому количеству осадков. Оценку nλSV/4 следует считать завышенной, т.к. при решении мы выбрали условия, в которых преобладает процесс испарения.

Отметим, что испарение с поверхности океанов реально составляет 4,53.10¹⁷ кг/год при массе атмосферы 5,3. 10¹⁸ кг.

1.84. Почему плохо слышно против ветра?

Решение:

Данная задача имеет давнюю историю и долгое время правильное объяснение явления оставалось неизвестным. Сразу же стоит заметить, что скорость даже сильного ветра (скажем, 20 ) намного меньше скорости распространения звука – 330 , и тот факт, что по ветру звук распространяется чуть быстрее, чем против ветра, сам по себе существенной роли не играет.

Правильный ответ был получен в 1857 году английским физиком и математиком Дж. Стоксом. Суть дела состоит в том, что скорость ветра меняется с высотой: она меньше у поверхности земли и растет по мере удаления от земли. (Это связано с трением слоев воздуха о землю и внутренним трением в воздухе.) Посмотрим теперь, как это обстоятельство повлияет на распространение фронта плоской вертикальной звуковой волны, движущейся против ветра – см. рис. 149,α.

Верхняя часть волны, наиболее удаленная от поверхности земли, распространяется медленнее, чем нижняя, где скорость ветра меньше. В результате фронт волны перестает быть вертикальным, и верхняя часть фронта наклоняется назад.

Направление распространения звуковой волны всегда перпендикулярно ее фронту, и это означает, что звуковые волны, которые распространялись бы вдоль поверхности земли, при наличии ветра отклоняются вверх – см. рис.,α.

Если в отсутствие ветра земной поверхности на линии АВ достигнут звуковые волны, испущенные внутри угла α, то при ветре этот угол уменьшается (α´) – см. рис. б. В результате на единицу площади земли в направлении против ветра будет приходиться меньше звуковой энергии, что и означает ослабление силы звука. В то же время в направлении по ветру, как видно из рис., наоборот, сила звука возрастает.

Убедительное подтверждение объяснения Стокса получило в опытах другого известного английского физика О. Рейнольдса. Рейнольдс в качестве источника звука использовал электрический звонок, который можно было поднимать и опускать. Он обнаружил, что звонок был слышен против ветра на гораздо большем расстоянии, если его поднимали высоко над землей.

Довольно много внимания влиянию ветра на распространение звука уделил и блестящий лектор и популяризатор науки – Джон Тиндаль. В его опытах использовался колокол, когда поднимался на специальную лестницу. Эксперименты Тиндаля прямо показали, что звуковые волны под действием ветра, действительно, отклонялись вверх.

№151

Нить с привязанными к её концам грузами массами m₁ = 50г и m₂ = 60г перекинута через блок диаметром D = 4см. Определить момент инерции I блока, если под действием силы тяжести грузов он получил угловое ускорение = 1,5рад/с². Трением и проскальзыванием нити по блоку пренебречь.

№251

Объём аргона, находящегося при давлении 80кПа, увеличивается от 1 литра до 2 литров. Найти изменение внутренней энергии газа в двух случаях: при изобарном и при адиабатическом расширении газа.

III – ий закон Ньютона

(4) ® в (3)

(1) и (2) сложим:

отсюда a и подставляем в (3^’)

; ;

Надо найти в изобарном и адиабатическом процессе.

1) Изобарический процесс

вычтем:

2) Адиабатический процесс

;

;

;

Задача

Найти отношение радиусов кривизны траекторий a-частиц и b-лучей в однородном магнитном поле с индукцией В. Источник излучения . Считать энергию a-частиц равной 4,8 МэВ и b-лучей – 0,35 МэВ. Период полураспада изотопа 1622 года., скорость a-частиц 0,05 с₀ , 1 г радия выделяет 550 Дж/час.. активность одного грамма изотопа 3,7.10¹⁰ Бк ( - 1,23.10⁴ Бк)

Если частицы не релятивистские, то

m_p,t – масса притона и электрона соответственно.

Однако электрон в данном случае частица релятивистская, в то время как a - частица классическая.

Для релятивистской частицы. каковой является электрон с энергией 0,35 МэВ, найдем скорость по заданной энергии и убедимся в ее релятивизме.

(m – m₀)c² = E; .

Отсюда

v_е = 0,8 с

Найдем радиус кривизны траектории

. Используем релятивистскую связь энергии и импульса: E_e ² =(m _0е c ²)² + (pc)².

Отсюда найдем импульс электрона и радиус кривизны его траектории

p = m_e v = : .

Задачи на число Авогадро

Задача 1. Различными экспериментальными методами найдено среднее значение для радиуса атома алюминия: r = 1,43 A. Плотность металлического алюминия ρ = 2,7 г/см³, атомная масса А = 27,0. Найдите число Авогадро N_А.

Решение.

Атомный объем (объем одного моля) алюминия V = A/ρ. На один атом алюминия в кристаллической решетке приходится объем V₀:

.

Допустим, что атом алюминия имеет форму шара, тогда его объем V₀ = 4/3 p r³. Приравнивая правые части выражений, получим:

,

откуда

.

Судя по результату, такой метод расчета N_А позволяет лишь грубо оценить порядок величины. Для получения более точных данных надо знать строение элементарной ячейки кристаллической решетки и ее размеры. Эти данные приведены в следующей задаче.

Задача 2. С помощью рентгеноструктурного анализа установлено, что a - модификация железа имеет объемно-центрированную кубическую решетку, показанную на рисунке. Её постоянная, то есть расстояние между ближайшими узлами решетки, d = 2,86 . Плотность a-железа 7,9 г/см³. Атомная масса железа 55,8. Найдите значение числа Авогадро.

Решение.

Сначала определим, сколько атомов железа принадлежит одной элементарной ячейке a - железа. Из рисунка видно, что элементарная ячейка a - железа содержит в центре ячейки один атом, который принадлежит бесспорно только ей одной, а также восемь атомов железа в узлах кристаллической решетки. Но каждый из этих восьми атомов принадлежит еще восьми соседним элементарным ячейкам. Поэтому общее число атомов, принадлежащих только одной элементарной ячейке a - железа, будет равно: 1 (атом в центре ячейки) + 8 · 1/8 (атомы в узлах ячейки) = 2. Итак, в среднем на одну элементарную ячейку a - железа приходится не девять, а всего два атома железа. Как и в случае с алюминием, один атом железа в кристаллической решетке занимает объем A / ρN_А. С другой стороны, объем элементарной ячейки равен d³, следовательно, на атом железа приходится объем d³ / 2. Приравняв величины, получаем

.

Самый точный результат был получен таким методом в 1954 г. с помощью высококачественного кристалла алмаза:

N_А = 6,0236 · 10²³.

Задача 3. Рентгеноструктурные исследования борогидрида натрия NaBH₄ , проведенные в 1947 г., показали, что это вещество имеет гранецентрированную кубическую решетку, также изображенную на рисунке. Атомы водорода не вызывают деформации кристаллической решетки NaBH₄ и на рисунке не показаны. Ребро элементарной ячейки d = 6,15 . Плотность кристаллического NaBH₄ 1,08 г/см³. Определите N_А.

Решение

Так как в условиях указано, что атомы водорода не влияют на свойства кристаллической решетки борогидрида натрия, будем принимать во внимание только атомы натрия и бора. Подсчитаем, сколько их – по отдельности – полностью принадлежит одной элементарной ячейке.

Число атомов натрия: 8 · 1/8 (в узлах решетки) + 6 · ½ (в центре граней) = 1 + 3 = 4.

Число атомов бора: 12 · ¼ (в центрах ребер) + 1 (в центре ячейки) = 3 + 1 = 4.

Итак, одной элементарной ячейке полностью принадлежат по четыре атома бора и натрия. Рассуждая, как в предыдущей задаче, получаем

.

Задача 4. Экспериментально установлено, что при t = 100 ⁰C среднее расстояние между молекулами насыщающего водяного пара 1 = 4 · 10^{-7 см. В этих условиях давление насыщающих паров воды Р = 1 атм. Как на основании этих данных найти} N_А?

Решение

Один моль газа занимает объем

;

значит, на одну молекулу в газе приходится объём

а среднее расстояние между молекулами

.

Отсюда следует, что

Столь низкое значение для числа Авогадро получилось из-за того, что расстояние между отдельными молекулами усреднено. Да и неявное допущение, что пары воды подчиняются законам идеальных газов. не совсем правомочно. Поэтому такой метод далеко не точен.

Задача 5. Измерено, что за секунду 1 г радия испускает 3.7 · 10¹⁰ a - частиц. В откачанный до глубокого вакуума сосуд объемом V = 30 мл поместили навеску радия m = 0,5 г и держали там в течении одного года. К концу этого срока в сосуде установилось давление Р = 7, 95· 10^-4 атм (при t = 27⁰C ). Найдите значение числа Авогадро; изменением массы радия в течение года можно пренебречь.

Решение

Прежде всего, зачем так долго (в течение года) ставить эксперимент? Дело в том, что количество радия очень мало, всего 0,5 г, и поэтому при распаде выделяется совсем мало гелия. А чем меньше газа в замкнутом пространстве (ампуле), тем меньше он создаст давление и тем большей будет ошибка при замере. Понятно, что ощутимое количество газа образуется за достаточное время.

Сначала найдем сколько a-частиц (то есть атомов гелия) образовалось за один год:

N = 3,7 · 10¹⁰ · 0,5 · 60 · 60 · 24 · 365 » 5,85 · 10¹⁷.

Запишем уравнение газового состояния: PV = υRT – заметим что число молей гелия υ = N/N_А. Поэтому

В начале ХХ века этот способ определения числа Авогадро был самым точным.

Задача 6

Какую максимальную полезную мощность может развить двигатель самолета, если он расходует в течение часа 3,5 тонн керосина. Температура газов в двигателе 1600 К. отработанные газы имеют температуру 640 К. Удельная теплота сгорания керосина 43 МДж/кг. Считать, что двигатель работает по циклу Карно.

Решение

Теплота, полученная от нагревателя за единицу времени, - Q_н

q₀m = Q_н

где q – удельная теплота сгорания; m – масса керосина сгоревшего за единицу времени.

По определению КПД, в том числе для цикла Карно, имеем

здесь Q_х – теплота, ушедшая с отработанными газами за единицу времени; А – полезная работа за единицу времени; T_н - температура газа в камере сгорания, T_x – температура отходящих газов. Из (1) имеет

Задача 7

С какой скоростью должен лететь вертолет, чтобы за время t = 3 ч. пролететь точно на восток расстояние L = 270 км, если во время полета дует северо-западный ветер со скоростью v = 36 км/ч?

Решение

Пусть V_в – скорость ветра, составляющая угол a = 45° с направлением на восток; V –скорость летательного аппарата (ЛА) относительно земли, направленная на восток, V_к –воздушная скорость самолета (курс полета – определяется углом между направлением на север и направлением продольной оси ЛА) . В задаче требуется найти V_к. Скорость ЛА можно найти по формуле:

Из треугольника скоростей V, V_к,V_в имеем по теореме косинусов

Vк ² = V² + V_в ² - 2 V V_в cos a,

где a = 45⁰ .

Угол j между векторами V_к и V найдем по теореме синусов:

.

Тогда азимутальный угол b найдем из соотношения

Задача 8

. Пассажирский самолет совершает полеты на высоте h₁ = 8300 м. Чтобы не снабжать пассажиров кислородными масками, в кабине при помощи компрессора поддерживается постоянное давление, соответствующее высоте h₂ = 2700 м. Найти разность давлений внутри и снаружи кабины. Температуру наружного воздуха считать равной t₁ = 0⁰ С.

Решение:

Согласно барометрической формуле , где р₀ = 10⁵ Па – давление на уровне моря. Молярная масса воздуха m = 29 * 10^-3 кг/моль. Тогда ; р₁ = 35,3 кПа. Температура воздуха в кабине соответствует давлению на высоте h₂ = 2700 м, т.е. Т₂ = 273 К, тогда ; р₂ = 71,3 кПа. Отсюда Dр = p₂ - р₁; Dр = 36 кПа.

Задача 9

. Найти в предыдущей задаче, во сколько раз плотность р₂ воздуха в кабине больше плотности р₁ воздуха вне ее, если температура наружного воздуха t₁ = -20⁰ С, а температура воздуха t₂ = + 20⁰С.

Решение:

Согласно барометрической формуле . Из уравнения Менделеева – Клапейрона имеем . Тогда отношение плотностей .

Задача 10

Самолет летит со скоростью v = 360 км\ч. Считая, что слой воздуха у крыла самолета, увлекаемый вследствие вязкости, d = 4 см, найти касательную силу , действующую на единицу поверхности крыла. Диаметр молекул воздуха = 0,3 нм. Температура воздуха t = C.

Решение:

По закону Ньютона . Знак минуса означает направление градиента скорости, поэтому нас интересует модуль силы. Сила на единицу площади . В нашем случае и . Коэффициент вязкости (см. задачи 5.139 и 5.147). . Отсюда ; = 44,77 мН/ .

Задача 11

Размах крыльев самолета равен а, а их тень на земле имеет размер а₁. На какой высоте h₁ летит самолет? Для упрощения считать, что солнце находится в зените. Произвести расчет для Boeing Dreamlinear (a = 80 м) и для облака (а = 1 км).

Солнце находится в зените. Размах крыльев самолета равен а, их тело на зените имеет размер а₁. На какой высоте h₁ летит самолет?

;