VI. Однородные уравнения высших порядков

21. Перечислите возможные виды однородностей уравнений высших порядков.

(Однородность относительно функцией , однородность относительно всех переменных и дифференциалов: в обобщенном смысле.)

22. Как проверяется однородность относительно функцией .

( .)

23. Какая замена понижает порядок уравнения с такой однородностью.

(Такое уравнение допускает понижение порядка, если ввести новую функцию и(х), а .)

24. Запишите, применяя правило дифференцирования сложной функции, как выразятся производные у по х первого, второго и третьего порядка через новую функцию и.

(Выражая производные через новую функцию

каждая производная определяется через выражение, имеющее производную на порядок ниже.)

25. Как используется однородность уравнения.

(Подставляя в уравнение найденные производные, получим, что все слагаемые умножаются на одну и ту же степень показательной функции (в силу однородности уравнения). Разделив на этот множитель, получим уравнение (п - 1)-го порядка на функцию и(х).)

26. Как проверяется однородность относительно всех переменных и дифференциалов: в обобщенном смысле.

(Уравнение является однородным относительно своих переменных в обобщенном смысле, если оно не меняется при замене:

, , , ,…, ,

где т – некоторая постоянная.)

27. Как определяется т. Всегда ли это возможно.

(Число т определяется специальным образом, так, чтобы все одночлены равенства, полученного после замены указанной выше, имели равные показатели степеней параметра .

Такое значение т не всегда возможно найти, т.к. на одно число m составляется несколько равенств – их число зависит от количества слагаемых в уравнении. Составленная система переопределена, и ее решение не всегда существует.)

28. Какая замена используется для преобразования уравнения.

(После того как найдено т, необходимо выполнить замену переменных , где - новая независимая переменная, - новая неизвестная функция.)

29. Запишите, применяя правило дифференцирования, как выразятся дифференциалы через новую переменную и функцию .

( )

30. Как влияет однородность уравнения на вид равенства, полученного после сделанной подстановки.

(После сокращения на показательную функцию, полученное уравнение не будет содержать переменной в явном виде и, следовательно, оно сводится к типу III.)

Практические задания

Пример 1. Заменить в формуле , п - кратное интегрирование однократным по параметру.

Решение: Пусть необходимо решить задачу Коши с начальными данными: .

Начнем с двукратного интегрирования, т.е. с определения , для большей ясности переобозначим переменные в этих интегралах так

Рис. 1

.

Теперь, рассматривая правую часть как двойной интеграл в плоскости ХОУ (рис. 1) поменяем порядок интегрирования. Сначала интегрирование выполняется вдоль направления OХ от прямой x=z до прямой х, а второй интеграл вдоль направления ОZ от прямой до z=x

.

Далее понизив порядок уравнения до n-3, получим

.

Интеграция выполняется на том же треугольнике плоскости XOZ, поэтому, изменив порядок интегрирования и пределы, находим

.

Методом математической индукции можно доказать, что решение уравнения находится по формуле Коши: .)

Пример 2. Решить уравнение .

Решение:Общее решение можно записать в виде:

.

Выполнив интегрирование, найдем:

.

После подстановки верхнего и нижнего пределов и приведения подобных, имеем

,

где - играют роль постоянных интегрирования.

Пример 3. Проинтегрировать уравнение .

Решение:Уравнение не разрешимо относительно , поэтому представим данное уравнение в параметрическом виде

Используя , , понизим порядок производной трижды, интегрируя получим

Общее решение будет записано в параметрическом виде

Пример 4. Свести уравнение к уравнению первого порядка и проинтегрировать.

Решение: Уравнение не содержит функции , поэтому можно выполнить замену , тогда , и исходное уравнение примет вид . Разделяя переменные, получим

,

или .

Возвращаясь к функции у получаем уравнение второго порядка типа I

.

Выполняя понижение порядка дважды, найдем решение уравнения

,

.

Пример 5. Найти общее решение уравнения .

Решение: Уравнение не содержит переменной х в явном виде.

Введем новую функцию р(у) = у', тогда по формулам выполним замену второй производной , и исходное уравнение примет вид:

.

Очевидно, что является решением, тогда (так как р(у) = у') и уравнению удовлетворяет тривиальное решение Теперь положим Разделяя переменные и интегрируя каждую часть, имеем

.

Возвращаясь к принятым обозначениям, получим

,

что позволяет найти общее решение уравнения в неявном виде

.

Пример 6. Решить уравнение , .

Решение: Выполнив замену , получим уравнение первого порядка , которое можно проинтегрировать , после замены: , , имеем .

Тогда получим , следовательно в результате находим искомую функцию .

Пример 7. Проинтегрировать уравнение , .

Решение: Выполним процедуру пункта V а): , , что приводит к уравнению , , выделим полные производные и проведем понижение порядка или . После разделения переменных выполним интегрирование

, .

Вернемся к первоначальной функции

.

Сведем уравнение к параметрической системе

Из второго равенства найдем : и подставим в первое соотношение

, ,

повторим процедуру еще раз

, , .

Ответ:

Пример 8. Определить тип уравнения и решить.

Решение: Уравнение представляет собой однородное уравнение по у, у', у'' и поэтому относится к случаю VI. Подстановка и сокращение левой и правой части уравнения на дает равенств

, (1)

представляющее частный случай уравнения Риккати

. (2)

Такое уравнение можно привести к линейному уравнению, если известно его какое-либо частное решение. Пусть у₁ - некоторое решение, тогда

.

Введем новую искомую функцию z(х), такую, что

. (3)

Подставляя в (2) и принимая во внимание, что у₁ - решение уравнения, получим для функции z(х) линейное уравнение

.

В исследуемом равенстве (1) таким частным решением может служить функция и₁ = 1/х (это легко проверить непосредственной подстановкой в равенство (1)). Используя вид подстановки (3) находим уравнение для z(х)

.

Интегрирование позволяет найти общий интеграл уравнения

или

.

Пример 9. Найти общее решение уравнения

.

Решение: Проверим однородность уравнения относительно всех переменных и дифференциалов, для этого распишем производные через дифференциалы

,

и выполним подстановку

,

.

Оказывается, каждый член имеет третий порядок относительно параметра t, следовательно, уравнение однородно относительно всех переменных и дифференциалов. Выполним замену переменных по формулам , , :

,

после сокращения на , раскрытия скобок и приведения подобных

.

Получаем уравнение второго порядка, не содержащее независимой переменной и функции и, а, следовательно, можно разделить переменные и выполнить интегрирование

, ,

разложим методом неопределенных коэффициентов подынтегральную функцию на сумму двух слагаемых

выполним интегрирование

Выразим и': и выполним интегрирование, используя параметрическую замену

Выполнив дифференцирование второго равенства системы, найдем

и подставим в первое равенство системы

или после интегрирования

в результате получим параметрическую запись функции

Вернемся к переменным , , и получим решение исходного уравнения записанное в параметрическом виде

Пример 10. Решить уравнение

Решение: Проверим, является ли дифференциальное уравнение однородным в обобщенном смысле

,

т.е. должны выполняться равенства

,

это возможно если т = 2. Следовательно, в уравнении следует сделать замену , :

.

После сокращения на и элементарных преобразований, запишем

(4)

в этом уравнении отсутствует независимая переменная , поэтому используя пункт III, проведем замену: - новая независимая переменная, - новая неизвестная функция, , в результате уравнение (4) понижается на порядок

или .

Имеем следующие решения:

1. , тогда , возвращаясь к старым переменным , тогда окончательно имеем решение

2. после разделения переменных и интегрирования получим или . Производя еще раз разделение переменных и интегрирование

,

Переход к переменным у и х дает следующее решение

Пример 11. Проинтегрировать уравнение, выделив полные производные

.

Решение: Легко заметить, что если разделить все члены на выражение , то каждое слагаемое будет представлять полную производную

или .

В результате интегрирования получим уравнение первого порядка

или .

Разрешая полученное равенство относительно производной, имеем

, .

Полученное уравнение допускает разделение переменных и интегрирование

, .