Задача 1. Расчет динамических характеристик линейных САУ

Определить весовую функцию g(t) и переходную функцию h(t) линейной САУ, состоящей из последовательного соединения апериодического и идеального интегрирующего звеньев, по заданным в табл. 1 параметрам ее передаточной функции в соответствии с последними двумя цифрами учебного шифра:

, где р – оператор Лапласа.

Составить таблицу расчетных значений искомых временных характеристик и построить их графики для временного интервала: t = 0 – 5T с шагом дискретизации, равным 0,5Т. Масштаб по оси ординат студентом выбирается самостоятельно, исходя из того, что высота графика должна быть не менее 8-10 см.

Таблица 1

Номер варианта
последняя цифра шифра	К
предпоследняя цифра шифра	Т	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9

Пример. В качестве примера рассмотрим САУ, передаточная функция которой имеет следующий вид:

.

Известно, что изображение весовой функции L[g(t)] любой линейной САУ есть ничто иное, как ее передаточная функция:

L[g(t)] = .

Для отыскания оригинала весовой функции g(t) = L^-1[W(p)] разложим W(p) на элементарные дроби, соответствующие передаточным функциям отдельных звеньев системы САУ, и воспользуемся методом неопределенных коэффициентов для определения неизвестных статических коэффициентов усиления этих звеньев (коэффициенты А и В в знаменателе элементарных дробей):

. (1)

После приведения правой части выражения (1) к общему знаменателю можно приравнять числители левой и правой частей полученного уравнения:

10 = А∙(0,1∙р + 1) + В∙р = р∙(0,1∙А + В) + А (2)

Приравнивая коэффициенты левой и правой частей уравнения (2) при одинаковых степенях р, получим систему двух уравнений из двух неизвестных:

10 = А;

0 = 0,1∙А + В, откуда

А= 10; В = - 0,1∙А = - 1.

Подставляя вычисленные значения коэффициентов А и В в уравнение (1), получим:

. (3)

Переход от изображений элементарных функций f(p) в операторной форме записи к их оригиналам, как функций времени f(t), осуществляется, как правило, с использованием стандартных таблиц изображений, приводимых в справочной литературе. Так, например:

оригинал L^-1[1/р] функции 1/р равен: L^-1[1/р] = 1.

оригинал L^-1[1/(р + 10)] функции 1/(р + 10) равен: L^-1[1/(р + 10)] = е ^-10∙t.

Заменив в правой части уравнения (3) изображения элементарных функций на их оригиналы, получим искомое выражение для весовой функции:

g(t) = 10∙(1 - е ^-10∙t) (4)

Задаваясь различными значениями t, заполним таблицу расчетных значений и построим график g(t).

По известной весовой функции g(t) можно найти переходную функцию h(t), принимая во внимание, что h(t) = .

Изображение L[h(t)] функции h(t) можно получить путем умножения передаточной функции W(p) исходной САУ на передаточную функцию 1/р идеального интегрирующего звена, что соответствует включению последовательно с САУ интегрирующего звена.

L[h(t)] = W(p)∙1/р = . 5)

Разложим правую часть уравнения (5) на элементарные дроби с тем, чтобы получить более простые изображения функций для нахождения их оригиналов.

= . (6)

После приведения правой части выражения (6) к общему знаменателю приравняем числители левой и правой частей полученного уравнения:

10 = А∙р∙(0,1∙р +1) + В∙(0,1∙р + 1) + С∙р². (7)

Приравнивая коэффициенты левой и правой частей уравнения (7) при одинаковых степенях р, получим систему трех уравнений из трех неизвестных:

10 = В;

0 = 0,1∙В + А;

0 = 0,1∙А + С, откуда

В= 10; А = - 0,1∙В = - 1; С = - 0,1∙А = 0,1.

Подставляя вычисленные значения коэффициентов А, В и С в уравнение (6), получим:

. (8)

Воспользовавшись известными таблицами изображений, найдем оригиналы простейших функций:

L^-1[1/р] = 1;

L^-1[1/р²] = t;

L^-1[1/(р + 10)] = е ^-10∙t.

Заменив в правой части уравнения (8) изображения элементарных функций на их оригиналы, получим искомое выражение для переходной функции:

h(t) = 10∙[t – 0,1∙(1 - е ^-10∙t)] (9)

Задаваясь различными значениями t, заполним таблицу расчетных значений и построим график h(t).

Этот результат можно получить путем непосредственного интегрирования весовой функции g(t):

h(t) =