Глава 5:Колебания и волны

Гармонические колебания.

Колебания – периодически повторяющийся процесс.

Необходимое условие возникновения колебаний – наличие возвращающей силы, то есть силы, которая стремится вернуть систему в положение равновесия.

Наиболее наглядный пример: колебания груза на пружинке. Для простоты рассмотрим колебания в горизонтальном направлении, предположив, что сила трения между грузом и поверхностью по которой он скользит, пренебрежимо мала ( рис. 26).

Если мы сместим груз из положения равновесия вправо, возникнет сила упругости, направленная влево, которая стремится вернуть груз в положение равновесия. Под действием этой силы груз будет двигаться с ускорением, увеличивая скорость. И в точку, соответствующую положению равновесия, он вернется, имея некоторую скорость. Из-за этого он будет продолжать двигаться по инерции, смещаясь влево от положения равновесия. Его движение будет тормозиться силой упругости сжимаемой пружины. В какой-то момент груз остановится, и весь процесс повторится в обратном направлении.

Если мы обозначим смещение из положения равновесия x и учтем, что сила упругость равна , то в соответствии со вторым законом Ньютона можем составить дифференциальное уравнение:

, или

Решением этого уравнения является гармоническая функция, являющаяся уравнением колебаний:

,

где , а А и α - постоянные, появляющиеся при решении дифференциального уравнения второго порядка. Эти постоянные имеют вполне определенный физический смысл (см. ниже).

Колебания, описываемые гармонической функцией (синусоидальной или косинусоидальной), называются гармоническими колебаниями. Колебания будут иметь гармонический характер, если возвращающая сила пропорциональна смещению из положения равновесия.

рис.26 Колебания груза на пружине

Параметры колебаний.

В уравнении колебаний x обозначает смещение из положения равновесия. Максимальное значение (А) эта величина примет при . Максимальное смещение из положения равновесия А называется амплитудой.

Аргумент гармонической функции называется фазой колебания.

В начальный момент времени (при t=0) фаза равняется α. Поэтому эта величина называется начальной фазой колебаний.

Скорость изменения фазы колебаний ω называется циклической частотой колебаний. Единица ее измерения с^-1. К этой величине часто применяют термин частота, но надо иметь в виду, что, строго говоря, частота (ν) это другая величина, которая равна количеству колебаний в единицу времени. Измеряется частота (ν) в Герцах (Гц). Один Герц это одно колебание в секунду Поскольку за одно колебание фаза изменяется на 2π, то эти две частоты связаны между собой соотношением:

.

Величина обратная частоте

Называется периодом колебаний. Она показывает, за какое время происходит одно колебание или, за какое время фаза изменяется на 2π. Соответственно с циклической частотой период связан соотношением:

.

Энергия колебаний.

Используя уравнение колебаний можно определить, по какому закону изменяются скорость колеблющегося тела и его ускорение:

,

.

Таким образом амплитуды (максимальные значения) скорости υ₀ и ускорения a₀ соответственно равны:

и .

Изменению скорости соответствует изменение кинетической энергии:

.

В то же время деформация пружины создает запас потенциальной энергии:

.

Зависимости от времени потенциальной и кинетической энергии сдвинуты по фазе на π/2. Это означает, что происходит периодичное преобразование кинетической энергии в потенциальную и обратно. Причем, учитывая, что период изменения функций и в два раза меньше, чем тех же функций в первой степени, изменение как кинетической, так и потенциальной энергий происходит с частотой в два раза большей частоты колебаний.

Что касается суммарной энергии , то ее величина оказывается равной

И с учетом того, что :

.

Несмотря на то, что потенциальная и кинетическая энергии непрерывно меняются, суммарная энергия колеблющейся системы остается постоянной, что согласуется с законом сохранения энергии. В любой момент времени полная энергия равна:

.

Этот вывод справедлив, если на колеблющуюся систему не действуют неконсервативные силы.

Сложение колебаний.

Наиболее часто встречающиеся случаи сложения колебаний и их результаты:

1. При сложении колебаний с одинаковыми частотами (ω) но с разными амплитудами (А₁ и А₂) и разными начальными фазами (α₁ и α₂) колебания будут совершаться с частотой ω, а их амплитуда А будет равна:

2.Сложение колебаний с кратными частотами подчиняетсятеореме Фурье, согласно которой любую периодическую функцию можно разложить в ряд гармонических функций с кратными аргументами. В применении к колебаниям это означает, что любой (не синусоидальный) периодический процесс может быть представлен как сумма синусоидальных колебаний с кратными частотами. Эти колебания называются гармониками (первая, вторая и т.д. гармоники в соответствии с кратностью частоты).

3. Сложение колебаний с близкими частотами ω иω+Δω дает результат, который называется биения:

.

Физический смысл этого результата заключается в том, что мы получаем колебания, имеющие частоту ω (второй сомножитель в формуле), но при этом амплитуда колебаний периодически изменяется по закону

с частотой (первый сомножитель в формуле). Термин близкие частоты подразумевает, что Δω<<ω.

4. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний.

Рассмотрим колебательные движения одного и того же тела во взаимно перпендикулярных направлениях. Если колебания происходят по гармоническому закону, то одна из координат изменяется как

,

а вторая:

.

Эти два уравнения можно рассматривать как систему уравнений, позволяющих определить траекторию движения тела. В частности, если колебания вдоль взаимно перпендикулярных направлений происходят с одинаковой частотой, то получается такое уравнение, связывающее x и y:

.

Как видно результат зависит от разности фаз взаимно перпендикулярных колебаний. Если α ₂– α₁=2nπ или α ₂– α₁=(2n+1)π (n-целое число), то для уравнения траектории получаем линейную зависимость:

.

Если же , то получим уравнение эллипса:

,

а при условии: А=В круговую траекторию:

.

Во всех выше перечисленных случаях подразумевались механические колебания, где периодически изменяющейся величиной является координата. Но эти выводы могут быть применены к колебаниям любой другой физической величины.