Линейные неоднородные дифференциальные уравнения

с произвольными коэффициентами.

Рассмотрим уравнение вида Линейные неоднородные дифференциальные уравнения - student2.ru

С учетом обозначения Линейные неоднородные дифференциальные уравнения - student2.ru можно записать:

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения - student2.ru

При этом будем полагать, что коэффициенты и правая часть этого уравнения непрерывны на некотором интервале ( конечном или бесконечном).

Теорема. Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения Линейные неоднородные дифференциальные уравнения - student2.ru в некоторой области есть сумма любого его решения и общего решения соответствующего линейного однородного дифференциального уравнения.

Доказательство. Пусть Y – некоторое решение неоднородного уравнения.

Тогда при подстановке этого решения в исходное уравнение получаем тождество:

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения - student2.ru

Пусть Линейные неоднородные дифференциальные уравнения - student2.ru - фундаментальная система решений линейного однородного уравнения Линейные неоднородные дифференциальные уравнения - student2.ru . Тогда общее решение однородного уравнения можно записать в виде:

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения - student2.ru

Далее покажем, что сумма Линейные неоднородные дифференциальные уравнения - student2.ru является общим решением неоднородного уравнения.

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения - student2.ru Линейные неоднородные дифференциальные уравнения - student2.ru

Вообще говоря, решение Y может быть получено из общего решения, т.к. является частным решением.

Таким образом, в соответствии с доказанной теоремой, для решения линейного неоднородного дифференциального уравнения необходимо найти общее решение соответствующего однородного уравнения и каким- то образом отыскать одно частное решение неоднородного уравнения. Обычно оно находится подбором.

На практике удобно применять метод вариации произвольных постоянных.

Для этого сначала находят общее решение соответствующего однородного уравнения в виде:

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения - student2.ru

Затем, полагая коэффициенты Ci функциями от х, ищется решение неоднородного уравнения:

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения - student2.ru

Можно доказать, что для нахождения функций Ci(x) надо решить систему уравнений:

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения - student2.ru

Наши рекомендации