На произвольных площадках

ПРОВЕРКА ПРОЧНОСТИ (ЗАДАЧА № 7)

Условие задачи

на произвольных площадках - student2.ru Рис. 2.3. Условие задачи № 7

Элемент, выделенный из тела, находится в плоском напряженном состоянии (рис. 2.3). По граням элемента заданы нормальные и касательные напряжения, значения которых приведены на рисунке.

Материал элемента – сталь с такими характеристиками: предел текучести на произвольных площадках - student2.ru МПа; модуль Юнга на произвольных площадках - student2.ru МПа; коэффициент Пуассона на произвольных площадках - student2.ru ; модуль сдвига на произвольных площадках - student2.ru МПа; нормируемый коэффициент запаса прочности на произвольных площадках - student2.ru .

Требуется:

1) найти нормальное, касательное и полное напряжения на наклонной площадке, заданной углом на произвольных площадках - student2.ru 105° (см. рис. 2.3);

2) определить величины главных напряжений и положение главных площадок;

3) найти наибольшее касательное напряжение и положение площадки, по которой оно действует;

4) оценить прочность материала в точке и показать вероятное направление плоскости сдвига или отрыва (опасной площадки);

5) найти линейные и угловые деформации в системе координат на произвольных площадках - student2.ru и линейные деформации вдоль главных направлений; вычислить относительную объемную деформацию.

Примечание. Пп. 1–3 следует выполнить двумя способами: аналитическим и графическим.

на произвольных площадках - student2.ru Рис. 2.4. Уточнение условия задачи

Решение

Изобразим элемент в виде плоского рисунка (рис. 2.4), на котором укажем систему координат. Покажем наклонную площадку и внешнюю нормаль к ней, отметив штриховкой внутреннюю сторону площадки. Система координат позволяет обозначить напряжения: на произвольных площадках - student2.ru МПа, на произвольных площадках - student2.ru МПа, на произвольных площадках - student2.ru МПа.

Аналитический способ исследования напряженного состояния

Определение напряжений на наклонной площадке. Напряжения на наклонной площадке (рис. 2.4), находим по формулам (2.2а) и (2.2б). В этих формулах положение площадки задает угол на произвольных площадках - student2.ru между осью на произвольных площадках - student2.ru и нормалью на произвольных площадках - student2.ru к площадке. Направление отсчета от оси x выбираем произвольно, учитывая, что значение угла зависит от выбранного направления. (Угол на произвольных площадках - student2.ru нельзя путать с углом на произвольных площадках - student2.ru , указанным на рис. 2.3.)

Можно отсчитывать угол на произвольных площадках - student2.ru не от оси на произвольных площадках - student2.ru , а от оси z, но тогда в формулах (2.2а) и (2.2б) напряжения на произвольных площадках - student2.ru , на произвольных площадках - student2.ru надо поменять местами и напряжение на произвольных площадках - student2.ru заменить напряжением на произвольных площадках - student2.ru . Надо выбирать более удобный способ отсчета угла на произвольных площадках - student2.ru .

Используем угол на произвольных площадках - student2.ru между на произвольных площадках - student2.ru и осью на произвольных площадках - student2.ru , отсчитывая его от оси на произвольных площадках - student2.ru к нормали на произвольных площадках - student2.ru : на произвольных площадках - student2.ru ( см. рис. 2.4). Значение угла положительное, так как угол отсчитывается против часовой стрелки. Согласно (2.2а) и (2.2б)

на произвольных площадках - student2.ru на произвольных площадках - student2.ru

на произвольных площадках - student2.ru ,

на произвольных площадках - student2.ru

Нормальное напряжение на произвольных площадках - student2.ru отрицательно, значит, оно направлено к площадке (сжимающее). Касательное напряжение на произвольных площадках - student2.ru положительно, это значит, что оно обходит площадку по часовой стрелке.

Выполним то же самое вычисление по-другому. Используем теперь угол на произвольных площадках - student2.ru между нормалью на произвольных площадках - student2.ru и осью на произвольных площадках - student2.ru , отсчитывая его от z к на произвольных площадках - student2.ru : на произвольных площадках - student2.ru . Формулы (2.2а) и (2.2б) записываем в измененном виде:

на произвольных площадках - student2.ru

на произвольных площадках - student2.ru

на произвольных площадках - student2.ru Рис. 2.5. Напряжения на наклонной площадке

Модуль вектора напряжения (или просто полное напряжение)

на произвольных площадках - student2.ru Вычисленные напряжения показаны на рис. 2.5.

Определение главных напряжений и главных направлений.Согласно (2.5) главные напряжения

на произвольных площадках - student2.ru

на произвольных площадках - student2.ru .

После вычисления главные напряжения нумеруем согласно убыванию. Чтобы не путать напряжения до и после нумерации, специально используем разные обозначения. Пронумерованные главные напряжения таковы:

на произвольных площадках - student2.ru , на произвольных площадках - student2.ru , на произвольных площадках - student2.ru .

Найдем положение главных площадок. Сказанное о способах вычисления напряжений по наклонной площадке относится и к способам вычисления положения главных площадок. Здесь мы вычислим углы на произвольных площадках - student2.ru , на произвольных площадках - student2.ru , определяющие положения главных площадок, одним способом: будем отсчитывать эти углы от направления оси на произвольных площадках - student2.ru . Углы являются решениями уравнения (2.7):

на произвольных площадках - student2.ru ,

то есть

на произвольных площадках - student2.ru Рис. 2.6. Положение главных площадок

на произвольных площадках - student2.ru на произвольных площадках - student2.ru

на произвольных площадках - student2.ru Рис. 2.7. Площадка с максимальным касательным напряжением  

Получены два значения угла, которые отвечают площадкам с напряжениями на произвольных площадках - student2.ru , на произвольных площадках - student2.ru (рис. 2.6). Выясним, какому из этих напряжений соответствует угол на произвольных площадках - student2.ru . Для этого определим по формуле (2.8) знак второй производной на произвольных площадках - student2.ru при на произвольных площадках - student2.ru :

на произвольных площадках - student2.ru .

Знак отрицательный, следовательно, по этой площадке действует бóльшее из найденных главных напряжений – напряжение на произвольных площадках - student2.ru . Теперь можно в соответствии с нумерацией главных напряжений пронумеровать и углы: на произвольных площадках - student2.ru , на произвольных площадках - student2.ru .

Определение максимального касательного напряжения. Касательное напряжение, максимальное среди касательных напряжений на площадках, перпендикулярных плоскости на произвольных площадках - student2.ru (рис. 2.7), определяется формулой (2.10):

на произвольных площадках - student2.ru МПа.

В рассматриваемом примере главные напряжения на произвольных площадках - student2.ru , на произвольных площадках - student2.ru , поэтому касательное напряжение на произвольных площадках - student2.ru является максимальным среди касательных напряжений для всей совокупности площадок, проходящих через заданную точку: на произвольных площадках - student2.ru . Нормальное напряжение на той же площадке дается формулой (2.11):

на произвольных площадках - student2.ru МПа.

Графический способ исследования напряженного состояния

Способ состоит в построении круга напряжений Мора, позволяет проверить аналитическое решение.

Круг напряжений Мора является средством вычисления, поэтому его необходимо строить в крупном масштабе на миллиметровке, используя заточенный карандаш. Чем точнее выполнены построения, тем точнее будет получен результат

Строим круг напряжений (рис. 2.8). Изображаем систему координат на произвольных площадках - student2.ru , используя одинаковый масштаб по вертикальной и горизонтальной осям. Отмечаем на координатной плоскости на произвольных площадках - student2.ru две точки X, на произвольных площадках - student2.ru , соответствующие заданным площадкам с нормалями на произвольных площадках - student2.ru . Координатами точек на произвольных площадках - student2.ru , на произвольных площадках - student2.ru являются нормальные и касательные напряжения на заданных площадках. Соединяем точки отрезком, который представляет собой диаметр круга Мора. Точка О пересечения диаметра с осью на произвольных площадках - student2.ru – центр круга. Проводим окружность.

Точкам I, III пересечения круга с горизонтальной осью соответствуют главные площадки 1, 3. Горизонтальные координаты этих точек (измеренные в масштабе) являются главными напряжениями: на произвольных площадках - student2.ru МПа, на произвольных площадках - student2.ru МПа.

на произвольных площадках - student2.ru Рис. 2.8. Круг Мора, изображающий заданное плоское напряженное состояние

Отмеченные на рисунке углы дают удвоенные значения углов на произвольных площадках - student2.ru , на произвольных площадках - student2.ru , которые определяют положения главных площадок. Из рисунка видна связь главных напряжений на произвольных площадках - student2.ru , на произвольных площадках - student2.ru и углов на произвольных площадках - student2.ru , на произвольных площадках - student2.ru . Графически найденные значения: на произвольных площадках - student2.ru , на произвольных площадках - student2.ru

Площадке, по которой действует максимальное касательное напряжение, соответствует точка на произвольных площадках - student2.ru круга. Координаты точки на произвольных площадках - student2.ru дают значения на произвольных площадках - student2.ru МПа, на произвольных площадках - student2.ru МПа.

Найдем напряжения на наклонной площадке. Отметим на круге точку на произвольных площадках - student2.ru , соответствующую этой площадке, отложив от радиуса OX (соответствующего оси x) против часовой стрелки угол на произвольных площадках - student2.ru , либо от радиуса ОZ (соответствующего оси z) в том же направлении угол 2×15°. Координаты точки на произвольных площадках - student2.ru дают напряжения на наклонной площадке: на произвольных площадках - student2.ru , на произвольных площадках - student2.ru .

на произвольных площадках - student2.ru Рис. 2.9. Круги Мора, изображающие объемное напряженное состояние

Графическим изображением пространственного напряженного состояния служат три круга напряжений. Точки каждого круга изображают площадки, которые перпендикулярны одной из главных площадок. Точки затемненной области изображают всевозможные наклонные площадки. Изображение напряженного состояния в виде трех кругов Мора используется в качестве иллюстрации, а не в качестве способа вычисления, поэтому в расчетной работе данный рисунок можно выполнить в меньшем масштабе и не обязательно на миллиметровке. Круги напряжений для рассматриваемого напряженного состояния показаны на рис. 2.9. Круг напряжений на рис. 2.8 соответствует площадкам, перпендикулярным плоскости чертежа (перпендикулярным второй главной площадке). Из рис. 2.9 видно, что максимальное касательное напряжение на произвольных площадках - student2.ru определяется по бóльшему кругу.

Проверка прочности.Главные напряжения на произвольных площадках - student2.ru , на произвольных площадках - student2.ru , на произвольных площадках - student2.ru вычислены выше.

Начать решение вопроса нужно с выбора соответствующей материалу теории прочности. По условию задачи материал – сталь (пластичный материал), поэтому используем третью и четвертую теории прочности.

Согласно третьей теории прочности эквивалентное напряжение

на произвольных площадках - student2.ru .

Сравнение на произвольных площадках - student2.ru с пределом текучести на произвольных площадках - student2.ru показывает, что материал работает упруго. Действительно,

на произвольных площадках - student2.ru .

Но условие прочности не выполнено:

на произвольных площадках - student2.ru .

Это означает, что не обеспечен нормативный коэффициент запаса прочности. Конструкцию, имеющую точку с такими напряжениями, эксплуатировать запрещается. Действительный (фактический) коэффициент запаса

на произвольных площадках - student2.ru

меньше нормативного на произвольных площадках - student2.ru .

Согласно четвертой теории прочности

на произвольных площадках - student2.ru

на произвольных площадках - student2.ru МПа.

Условие прочности не выполнено и согласно четвертой теории. Однако фактический коэффициент запаса оказывается другим:

на произвольных площадках - student2.ru .

Положения опасных площадок согласно третьей и четвертой теориям приведены на рис. 2.10, 2.11. По площадке, выделенной жирным контуром, на рис. 2.10 действует максимальное касательное напряжение. Эта площадка перпендикулярна к площадке 2 и наклонена под углом в 45° к площадкам 1 и 3. Выделенная площадка рис. 2.11 соответствует четвертой теории прочности. Она равно наклонена ко всем трем главным площадкам.

Специально обратим внимание на способ изображения опасных площадок: эти площадки показаны с привязкой к исходному элементу. Так необходимо сделать и при оформлении задачи.

на произвольных площадках - student2.ru Рис. 2.10. Опасная площадка по третьей теории прочности  

на произвольных площадках - student2.ru Рис. 2.11. Опасная площадка по четвертой теории прочности

Поскольку привязка исходного элемента к конструкции, из которой он вырезан, известна, примененный способ изображения площадок равносилен указанию опасных площадок непосредственно на конструкции.

Определение деформаций в точке.Деформации являются упругими и можно применять обобщенный закон Гука, так как вычисленные выше эквивалентные напряжения меньше предела текучести: на произвольных площадках - student2.ru .

Когда на произвольных площадках - student2.ru превышает на произвольных площадках - student2.ru , закон Гука определяет упругую (обратимую) часть полной деформации. В таком случае в задаче нужно вычислить лишь эту составляющую, отметив примечанием в тексте.

Линейные деформации в направлении осей на произвольных площадках - student2.ru таковы:

на произвольных площадках - student2.ru ,

на произвольных площадках - student2.ru ,

на произвольных площадках - student2.ru .

Угловая деформация

на произвольных площадках - student2.ru .

Знак минус говорит об уменьшении угла на произвольных площадках - student2.ru . Отсутствие касательных напряжений на произвольных площадках - student2.ru означает отсутствие соответствующих угловых деформаций: на произвольных площадках - student2.ru .

Линейные деформации вдоль главных направлений 1, 2, 3

на произвольных площадках - student2.ru

на произвольных площадках - student2.ru Рис. 2.12. Деформация элемента по направлениям х, z

на произвольных площадках - student2.ru   Рис. 2.13. Деформации элемента по главным направлениям 1, 3

на произвольных площадках - student2.ru на произвольных площадках - student2.ru Относительная объемная деформация

на произвольных площадках - student2.ru .

Рис. 2.12, 2.13 иллюстрируют результаты вычислений. На этих рисунках на произвольных площадках - student2.ru , на произвольных площадках - student2.ru и на произвольных площадках - student2.ru , на произвольных площадках - student2.ru – размеры ребер элементов с гранями, перпендикулярными до деформации тела исходным и главным осям соответственно. В результате деформации элементы перемещаются как жесткое целое и деформируются. На рисунках сплошной и пунктирной линиями изображены элементы после и до деформации соответственно. Перемещение элементов как жесткого целого не изображено.

Примечание. Рисунки, показывающие деформации элемента, выполняются в масштабе. Так как абсолютные деформации существенно меньше, чем длины граней, то для наглядности рисунков масштабы длин и удлинений выбираются разными.

Наши рекомендации