Геометрическая интерпретация. Левая часть – площадь криволинейной трапеции aABb

В формуле (2):

Левая часть – площадь криволинейной трапеции aABb

Правая часть – площадь прямоугольника с основанием b-a и высотой f(c)

Таким образом, формула (2) геометрически означает, что можно всегда подобрать на дуге AB такую точку С с абсциссой с, заключенной между a и b, что площадь соответствующего прямоугольника aDEb с высотой сС будет в точности равна площади криволинейной трапеции aABb.

Число - называется средним значением функции f(x) на отрезке [a,b].

Из (2) имеем (3)

Следствие

Пусть и . Так как , при a<b из (2) имеем (4)

Интегрирование по частям в определенном интеграле

Пусть u(x) и v(x) непрерывные дифференцируемые функции на отрезке [a,b]. Имеем d[u(x)v(x)]=v(x)du(x)+u(x)dv(x). Интегрируя, это равенство в пределах от a до b и учитывая, что du(x)=u’(x)dx и dv(x)=v’(x)dx находим

Отсюда получаем формулу интегрирования по частям в определенном интеграле

(1)

Для краткости употребляется выражение

Пример

Замена переменной в определенном интеграле

Пусть дан определенный интеграл

(1), где f(x) непрерывна на отрезке [a,b].

Ввели новую переменную t, связанную с х соотношением (2)

непрерывная дифференцируемая функция на отрезке

Если при этом

1) При изменении t от до переменная х меняется от a до b, то есть (3)

2) Сложная функция определена и непрерывна на отрезке

Тогда справедлива формула (4)

Доказательство

Рассмотрим сложную функцию , где F(x) – первообразная для f(x), то есть F’(x)=f(x)

Применяя правило дифференцирования сложной функции, получим

Следовательно функция - первообразная для функции .

Отсюда, на основании формулы Ньютона-Лейбница, учитывая равенство (3), получаем

Замечание

При вычислении определенного интеграла с помощью замены переменной нет необходимости возвращаться к прежней переменной, достаточно ввести новые пределы интегрирования по формулам (3).

Пример

Приложения определенного интеграла

Определенный интеграл можно применять в следующих задачах:

- вычисление площадей, ограниченных некоторыми линиями;

- вычисление длин дуг линий;

- вычисление объемов тел по известным площадям поперечных сечений;

- вычисление объемов тел вращения;

- вычисление поверхностей тел вращения;

- вычисление координат центра тяжести плоской фигуры;

- вычисление моментов инерции линии, круга, цилиндра и т.д.

Площадь в прямоугольных координатах

Задача 1 Найти площадь S криволинейной трапеции aABb, ограниченной данной непрерывной линией y=f(x), отрезком [a,b] ооси ОХ и двумя вертикалями x=a и x=b, если

Решение

На основании геометрического смысла определенного интеграла имеем

(1), где y=f(x) – данная функция

Рассмотрим другой способ обоснования формулы (1).

Будем рассматривать площадь S как переменную величину, образованную перемещением текщей ординаты xM=y из начального положения aA в конечное положение bB. Давая текущей абсциссе x приращение , получим приращение площади , представляющее собой площадь вертикальной полосы xMM’x’, заключенной между ординатами в точках x и .

Дифференциал площади dS есть главная линейная часть приращения при и очевидно равен площади прямоугольника с основанием dx и высотой y. Поэтому

dS=ydx (2)

Интегрируя равенство (2) в пределах от x=a до x=b получаем формулу (1)

В этом случае показано применение метода дифференциала , сущность которого заключается в том, что сначала из элементарных соображений составляется дифференциал искомой величины, а затем после интегрирования в соответствующих пределах находится значение самой искомой величины.

Задача 2

Найти площадь обрасти, ограниченной двумя непрерывными линиями и двумя вертикалями x=a и x=b.

Решение.

Будем предполагать, что - неотрицательные функции на отрезке [a,b].

Искомую площадь S можно рассматривать, как разность площадей двух криволинейных трапеций, ограниченных данными линиями. Поэтому

(3)

Примеры

1. Вычислить площадь, ограниченную линиями

-2

Решение

Отрезок интегрирования [-2,0], тогда

1. Вычислить площадь, ограниченную линиями

Решение

Отрезок интегрирования [0,2], тогда

3. Вычислить площадь, ограниченную графиком функции y=sinx на отрезке и ОХ.

Решение

Отрезок интегрирования разбиваем на два отрезка и , где

=2+2+4

4. Вычислить площадь, ограниченную параболой и прямой x+y=3.

-2

Решение

Отрезок интегрирования , так как точки пересечения линий , определяются при решении системы уравнений . На основании формулы (3) находим

5. Найти площадь области, ограниченной эллипсом . В виду симметрии можно ограничиться вычислением ¼ площади.

Решение

Отрезок интегрирования ,

Тогда

6. Найти площадь, ограниченную первой аркой циклоиды

Решение

Отрезок интегрирования ,

.