Описание установки и вывод расчетной формулы. Для выполнения работы используются математический маятник с двумя точками подвеса, штатив, секундомер

Для выполнения работы используются математический маятник с двумя точками подвеса, штатив, секундомер, линейка.

Расчет ускорения свободного падения g можно произвести по формуле (1) для периода колебаний математического маятника, если удастся измерить с нужной точностью расстояние от оси качания до центра масс шарика. Линейкой это выполнить не всегда возможно, особенно если колеблющееся тело неправильной геометрической формы. Для повышения точности опыта можно взять один и тот же маятник при двух длинах нитей l₁ и l₂, тогда расстояние до центра масс в первом случае l₁/ = l₁ + l₀, а во втором l₂/ = l₂ + l₀ (рисунок 1) (l₀ – расстояние от места прикрепления нити до центра масс тела).

а б

Рисунок 1 Математический маятник: а – длинный маятник;

б – короткий маятник

По двум периодам колебаний для длин маятника:

,

можно рассчитать g:

. (2),

В формуле (2) отсутствует трудно определяемое расстояние l₀, в то время как расстояние l = l₁ – l₂ = AB (рисунок 1) можно легко измерить линейкой. Итак, рабочая формула данной лабораторной работы имеет вид:

. (3)

Так как опыты проводятся несколько раз, то за периоды колебаний следует брать средние арифметические, т.е. ``T<sub>1</sub> и ``T₂.

Порядок выполнения и требования

К оформлению результатов

3.1 Перед занятием необходимо законспектировать следующий теоретический материал:

- для неинженерных специальностей: /1/ С.88-91, 96-99;

- для инженерных специальностей: /2/ С.255-261; /3/ С.181-185, 190-197.

Занести в конспект методику выполнения работы, необходимые таблицы и формулы (разделы 2, 3).

3.2 Определить t₁ – время z = 10 колебаний для длинного маятника с длиной подвеса l₁ (колебания малой амплитуды j » 4¸5°).

Рассчитать период колебаний . Записать результаты в таблицу 2.

3.3 Повторить этот опыт n = 7 раз.

Таблица 1 Табличные и однократно измеренные величины

Обозначения физических величин
p ± Dp	`l ± Dl, м
3,14 ± 0,005

Таблица 2 Экспериментальные и расчетные величины

Обозначения физических величин
№	Длинный маятник	Короткий маятник	`g	Dg
п/п	t1	T1i	DT1i	(DT1i)2	t2	T2i	DT2i	(DT2i)2
. . .								. . .
средние значения	–				–				–	–

3.4 Определить время t₂ z = 10 для короткого маятника с длиной подвеса l₂. Переход к меньшей длине осуществляется переносом петли на нити на верхний штырек штатива.

Рассчитать период колебаний . Опыт повторить также n = 7 раз и записать результаты в таблицу 2.

3.5 Рассчитать средние значения периодов:

; .

3.6 Найти ускорение свободного падения по формуле:

, (4)

где l = AB (рисунок 1) измеряется один раз линейкой. Результат записать в таблицу 1.

3.7 Рассчитать все величины, указанные в таблице:

абсолютные погрешности периодов для всех n = 7 опытов:

DT_1i = |``T<sub>1</sub> – T<sub>1i</sub> |; DT<sub>2i</sub> = |``T₂ – T_2i |.

Найти квадраты этих погрешностей (DT_1i)² и (DT_2i)²;

Найти суммы квадратов: и ;

3.8 Рассчитать среднеквадратические отклонения:

; . (5)

По таблице коэффициентов Стьюдента из Приложения А найти t_p,n для n=7 и выбранной доверительной вероятности, например р=0,95.

Определить доверительные интервалы для двух периодов:

; . (6)

3.9 Сравнить найденные доверительные интервалы (окончательные абсолютные погрешности) DT₁ и DT₂ с инструментальной погрешностью DT_инс, связанной с погрешностью секундомера, и ту из них, которая больше, взять для расчета погрешности Δg по формуле (7).

Имея в виду, что , относительная погрешность будет . А так как Δz=0, то

DT_инс = .

(для секундомера Dt_инс = c / 2 , c – цена деления).

3.10 Вывести формулу относительной погрешности по следующей методике:

а) вначале логарифмируем исходную формулу (4)

ln g = ln 4 + 2ln p + ln l – ln(T₁–T₂) – ln (T₁+T₂),

б) далее производим дифференцирование:

,

в) в полученном выражении заменяем знаки дифференциалов d на знаки конечных приращений Δ: d ® Δ; заменяем (–) ® (+), и по правилам статистики берем сумму квадратов слагаемых. Окончательный вид формулы относительной погрешности:

. (7)

В этом выражении Dl – погрешность, равная инструментальной погрешности линейки, Dp – половина единицы последнего разряда числа p (если p=3,14, то Dp=0,005).

3.11 Рассчитать абсолютную погрешность (доверительный интервал)

Dg =`g × e_g

и округлить по правилам округления до первой значащей цифры, а g округлить в соответствии с Δg и окончательно записать в выводах в виде:

g = `(g ± Dg) м/с².

Контрольные вопросы

4.1 Что называется математическим маятником?

4.2 Зависит ли амплитуда колебаний от массы и длины маятника?

4.3 Зависит ли период математического маятника от массы и длины маятника?

4.4 Записать выражение для потенциальной и кинетической энергии математического маятника.

4.5 Чем отличается математический маятник от физического?

4.6 Сколько нужно сделать опытов, чтобы доверительный интервал стал равным инструментальной погрешности секундомера?

4.7 Будет ли частота колебаний математического маятника зависеть от местонахождения его на поверхности Земли (на полюсе или на экваторе)?

4.8 Что лучше предпринять, чтобы повысить в 2 раза точность определения g:
а) увеличить длину нити в 2 раза при количестве колебаний z=10;
б) при той же длине нити увеличить количество колебаний в 2 раза, т.е. z=20 ?

Лабораторная работа № 5

Изучение свободных колебаний пружинного маятника

Цель и задачи работы: Ознакомление с видами механических колебаний. Получение представления о параметрах, характеризующих колебательное движение. Изучение зависимости периода колебаний пружинного маятника от массы грузика. Определение коэффициента жесткости пружины, коэффициента сопротивления воздуха.

Общие сведения

Рассмотрим пружинный маятник - систему, состоящую из грузика массы m, подвешенного на невесомой упругой пружине (рисунок 1).

Будем характеризовать смещение грузика из положения равновесия координатой x, причем ось направим по вертикали вниз. Если подвесить на пружине (рисунок 1а) груз весом P = m × g, то нижний конец её сместится на величину x_ст, называемую статическим смещением (рисунок 1б). В этом положении статического равновесия сила тяжести будет уравновешиваться упругой силой по закону Гука F₀ = –k×x_ст. Здесь k – коэффициент пропорциональности, называемый жесткостью пружины.

Если сообщить грузику смещение A и предоставить систему самой себе, то под действием упругой силы грузик будет двигаться к положению равновесия. При этом потенциальная энергия системы убывает, одновременно скорость грузика, и, следовательно, кинетическая энергия системы увеличивается. Пройдя положение статического равновесия, движение грузика начинает замедляться. При этом потенциальная энергия системы увеличивается за счет кинетической энергии. Движение прекращается в тот момент времени, когда кинетическая энергия полностью превратится в потенциальную, т.е. когда смещение грузика станет равным –А. Если в системе отсутствует сопротивление среды, то полная энергия системы будет оставаться постоянной и грузик будет колебаться в пределах от x = А до x = –А неограниченно долго. Уравнение второго закона Ньютона для этого случая записывается в виде:

, (1)

здесь ускорение .

Введем обозначение:

, (2)

с учетом этого приведем (1) к виду:

. (3)

Уравнение (3) является дифференциальным уравнением свободных гармонических колебаний. Решение уравнения (3) имеет вид:

x = A × cos (w₀×t + j).

Таким образом, под действием возвращающей силы вида F = –k×x грузик совершает гармонические колебания.