Описание установки и вывод расчетной формулы. Для выполнения работы используются пружинный маятник, закрепленный на штативе, набор грузиков, секундомер

Для выполнения работы используются пружинный маятник, закрепленный на штативе, набор грузиков, секундомер, мерная линейка.

Описание установки и вывод расчетной формулы. Для выполнения работы используются пружинный маятник, закрепленный на штативе, набор грузиков, секундомер - student2.ru

а б в

Рисунок 1 Положения пружинного маятника: а – без грузика; б – с грузиком в отсутствии колебаний; в – при смещении x грузика от положения равновесия в процессе колебаний

Зависимость периода колебаний T от параметров пружинного маятника: Описание установки и вывод расчетной формулы. Для выполнения работы используются пружинный маятник, закрепленный на штативе, набор грузиков, секундомер - student2.ru .

Отсюда жесткость пружины выразится как:

Описание установки и вывод расчетной формулы. Для выполнения работы используются пружинный маятник, закрепленный на штативе, набор грузиков, секундомер - student2.ru . (4)

В реальных колебательных системах всегда часть энергии расходуется на работу по преодолению сил трения (например, силы сопротивления воздуха, сил внутреннего трения и т.д.). При этом амплитуда колебаний A уменьшается со временем до нуля. Такие колебания называются затухающими.

При рассмотрении колебания в среде (в том числе и в воздухе), обладающей вязкостью, необходимо учесть силу сопротивления среды, значение которой прямо пропорционально скорости:

Описание установки и вывод расчетной формулы. Для выполнения работы используются пружинный маятник, закрепленный на штативе, набор грузиков, секундомер - student2.ru , (5)

где r называется коэффициентом сопротивления среды;

Описание установки и вывод расчетной формулы. Для выполнения работы используются пружинный маятник, закрепленный на штативе, набор грузиков, секундомер - student2.ru – скорость колеблющегося тела.

В этом случае второй закон Ньютона принимает вид:

Описание установки и вывод расчетной формулы. Для выполнения работы используются пружинный маятник, закрепленный на штативе, набор грузиков, секундомер - student2.ru . (6)

Перепишем (6), обозначив r / m = 2b и k / m = w02:

Описание установки и вывод расчетной формулы. Для выполнения работы используются пружинный маятник, закрепленный на штативе, набор грузиков, секундомер - student2.ru , (7)

где b называется коэффициентом затухания.

Формула (7) является дифференциальным уравнением затухающих колебаний. При его решении можно рассмотреть 2 случая.

1) Случай малых затуханий b << w0.

Потери энергии в системе малы. Решение имеет вид

x = A0×exp (–b × t) × cos(w×t + j), (8)

где Описание установки и вывод расчетной формулы. Для выполнения работы используются пружинный маятник, закрепленный на штативе, набор грузиков, секундомер - student2.ru . Тогда период колебаний

Описание установки и вывод расчетной формулы. Для выполнения работы используются пружинный маятник, закрепленный на штативе, набор грузиков, секундомер - student2.ru (9)

увеличивается по сравнению с периодом незатухающих колебаний. Из выражения (8) следует, что амплитуда колебаний определяется следующим образом:

A(t) = A0×exp (–b × t), (10)

т.е. со временем она убывает. Величина t = 1 / b называется временем релаксации – это время, в течение которого амплитуда колебаний уменьшается в e » 2,72 раз.

Изменение амплитуды колебаний во времени при не очень больших затуханиях показано на рисунке 2а, где пунктирные линии изображают функцию (10).

Описание установки и вывод расчетной формулы. Для выполнения работы используются пружинный маятник, закрепленный на штативе, набор грузиков, секундомер - student2.ru

а б

Рисунок 2 Зависимость смещения от времени: а – случай

малых затуханий b << w0 ; б – апериодический режим b > w0

Из закона убывания амплитуд (10) следует, что отношение любых двух амплитуд, отстоящих друг от друга на один период, есть величина постоянная: A(t)/A(t+T) = const = d.

Величину d называют декрементом затухания. Часто пользуются также понятием логарифмический декремент затухания l = ln d, который, как можно показать подстановкой d в (10) равен b × T. Отсюда b = l/T.

2) Случай b > w0.

Потери энергии в системе велики. В этом случае в уравнении (7) третий член перестает играть существенную роль, и решение описывает апериодический режим движения (рисунок 2б).

Сопротивление среды, при котором колебания прекращаются, называется критическим. Оно находится из условия Описание установки и вывод расчетной формулы. Для выполнения работы используются пружинный маятник, закрепленный на штативе, набор грузиков, секундомер - student2.ru , или b = w0: Описание установки и вывод расчетной формулы. Для выполнения работы используются пружинный маятник, закрепленный на штативе, набор грузиков, секундомер - student2.ru .

Наши рекомендации