Основные формулы дифференцирования

Уфа 2010

УДК 51

ББК 22.14

М 54

Рекомендовано к изданию методической комиссией факультета механизации сельского хозяйства (протокол № 2 от 24 февраля 2010 года)

Составители: доцент Костенко Н.А., доцент Авзалова З.Т.

Рецензент: доцент кафедры бухгалтерского учета и аудита Насырова А.Д.

Ответственный за выпуск: зав каф. математики доцент Лукманов Р.Л.

Производная функции

Производной функции у= f(х) по аргументу х называется предел к которому стремится отношение приращения функции Δу к приращению аргумента Δх, когда приращение аргумента Δх стремится к нулю.

Для обозначения производной функции у= f(х) употребляются следую-щие символы: y′ или f′(x) – обозначения Лангранжа, - обозначения Лейбница.

Таким образом, по самому определению имеем

(1)

Если предел (1) существует в каждой точке некоторого промежутка, то производная является функцией от x на этом промежутке. Для данного же фиксированного значения аргумента х производная есть определенное число. Для обозначения производной в данной точке х=а употребляют запись y′(a) или f′(a). Операция отыскивания производной f′(x) называется дифферен-цированием функции.

Если функция s=f(t) выражает собой закон движения материальной точки, где s – путь, пройденной точкой, а t – время, то v=s′=f′(x) есть скорость движения. В этом состоит механический смысл производной.

Если кривая задана уравнением y=f′(x), то значение производной при данном фиксированном значении аргумента x₀, то есть в точке М₀(x₀,y₀), равно тангенсу угла наклона касательной, произведенной к кривой в точке М₀(x₀,y₀).

Таким образом

y′(x₀)=tgφ=k_kac

где φ- угол наклона касательной, а k – ее угловой коэффициент.

Основные формулы дифференцирования

Нахождение производной по определению (этот способ называется непосредственным дифференцированием) является громоздким и затруднительным. На практике им пользуются при выводе основных формул и правил дифференцирования элементарных функций.

Во всех последующих формулах С – постоянная величина, а u и v некоторые функции от аргумента x, имеющие производные u′ и v′.

Сформулируем основные правила дифференцирования:

1. (C)′=0 (C - const)

2. (x)′=1

3. y=u±v, то y′=u′±v′

4. y= , то y′=

5. y=uv, то y′=u′v+uv′

6. Производной сложной функции y=f(u), где u=(x) по аргументу х равна произведению производной данной функции у по промежуточному аргументу u на производную промежуточного аргумента u по независимой переменной х, т.е. если соответствующих друг другу значений x и u существуют производные.

и , то или y′_x=y_u′∙ u_x′

Производные основных элементарных функций находятся по следующим формулам, каждая из которых может быть выведена исходя из определения производной и указанных выше теорем.

Таблица производных

( )′=α∙u^α-1∙u′ (1)

( ) ′= - ∙u′ (1а)

( ) ′= ∙u′ (1б)

( ) ′= ∙lna∙u′ (2)

( ) ′= ∙u′ (2a)

(ln u)′= ∙u′ (3)

( )= ∙u′ (3a)

(sin u)′=cos u∙u′ (4)

(cos u)′=-sin u∙u′ (5)

(tg u)′ = ∙u′ (6)

(ctg u)′= - ∙u′ (7)

(arcsin u)′= ∙u′ (8)

(arccos u)′= - ∙u′ (9)

(arctg u)′= ∙u′ (10)

(arcctg u)′= - ∙u′ (11)