Изменение порядка интегрирования в двойном интеграле 6 страница

. (3.4)

Функция f(x,y) в этом случае называется интегрируемой вдоль дуги АВ .

( dl – дифференциал дуги ).

Пользуясь введёным определением , мы можем теперь выражение для массы m дуги АВ записать в виде

, (3.5)

где d ( x,y) – плотность распределения массы по дуге АВ .

Криволинейный интеграл I рода обладает следующими простейшими свойствами :

1. ; где С = const

2 2.

3 3. – ( свойство аддитивности ). Если некоторой точкой С дуга АВ разбита на две дуги АС и СВ и функция f(x,y) интегрируема вдоль каждой из дуг АС и СВ , то она интегрируема вдоль самой дуги АВ , причём

(т.е. , если дугу АВ разбить точкой С на две – АС и СВ , то ).

Эти свойства криволинейного интеграла I рода легко доказываются , исходя из определения криволинейного интеграла , как предела интегральных сумм ( подобно тому , как доказываются аналогичные свойства определённых интегралов ).

4.Величина криволинейного интеграла I рода не зависит от направления интегрирования :

Доказано , если при составлении интегральной суммы мы будем производить нумерацию точек деления дуги АВ в направлении от В к А ( т.е. в обратном рассмотренному выше ),то это не изменит интегральной суммы

(величины Dl_k – длины дуг М_к-1М_к обязательно положительные , независимо от того , какую точку дуги Ав мы считаем начальной , а какую – конечной 0 , а значит , и её предела , а потому ò_АВ = ò_ВА .

Замечание .

И так как интеграл не зависит от направления интегрирования ( от направления пути ) , то при вычислении пределы берём как обычно , например по оси Ох слева направо .

ВЫЧИСЛЕНИЕ КРИВОЛИНЕЙНОГО ИНТЕГРАЛА I РОДА

Криволинейный интеграл по длине дуги легко преобразуется к обыкновенному определённому интегралу .

Это и используется для вычисления криволинейных интегралов .

Пусть требуется вычислить .

Рассмотрим следующие 3 случая :

I.Линия АВ задана уравнением у = j (х)

Функция j (х) имеет непрерывную производную j¹ (х)

т.А( х₁;у₁) , т.В ( х₂; у₂ ).

Тогда , заменяя у и dl выражениями через х и dx , придём к обыкновенному определённому интегралу :

(3.6)

где х₁ и х₂ – абсциссы начальной и конечной точек линии АВ .

Пример 3.1.1

Вычислить криволинейный интеграл , где Z - контур прямоугольника с вершинами в точках :

О(0;0) , А(4;0) , В(4;2) , С(0;2) .

1)уравнение (ОА) :

2)уравнение (АВ):

3)уравнение (СВ) : .

4)уравнение ( ОС) :

Таким образом , .

2.Пусть линия АВ задана параметрическими уравнениями :

х = j (t) , y = y (t) (t₁ £ t £ t₂) ;

функции j (t) и y (t) имеют непрерывные производные j¹(t) и y¹(t) .

Для определенности будем считать , что точке А соответствует значение t = t¹₁ , а точке В – значение t = t₂ , причём при изменении t от t₁ и t₂ точка А пробегает дугу АВ в выбранном нами направлении .

Здесь

, (3.7)

где t₁ и t₂ – значения параметра t для начальной и конечной точек А и В линии АВ .

Таким образом , для того чтобы вычислить криволинейный интеграл ò_АВ f(x,y) dl , где линия АВ задана параметрическими уравнениями , достаточно в подынтегральном выражении 1) положить х = j(t) , у = y(t) , и 2) вычислить полученный таким образом определённый интеграл в соответствующих пределах изменения параметра t .

Пример 3.1.2

Вычислить криволинейный интеграл

где а > 0 и АВ – часть астроиды х = cos³t , у = а sin³t, расположенная в первой четверти .

3.Пусть линия АВ задана уравнением r = r(q) ; q₁£ q £ q₂ ; функция r(q) имеет непрерывную производную r¹( q ) .

Тогда

Пример3.1.3

Вычислить

где Z - окружность х² + у² = а² .

I = ? Переходим к полярным координатам : х² + у² = а² Û r² = а² Þ r= а .

Пример 3.1.4

Найти массу дуги кривой у = е^х между точками А и В , для которых 0 £ х £ 2 , если в каждой точке дуги АВ линейная плотность пропорциональна квадрату ординаты .

Решение .

3.2 Криволинейный интеграл II рода ( по координатам )

Пусть вдоль некоторой линии АВ , лежащей в плоскости хОу , определена функция Р(х,у) двух переменных х и у .

Разобьём дугу АВ на n частичных дуг с помощью произвольно выбранных на ней точек М₁, М₂ , . . . ,М_n_-1 , располагающихся в направлении от т.А к т.В .

Положим А º М₀ , В º М_n .

Обозначим через х_к и у_к координаты точек М_к ( к = 0,1,2, . . , n) .

Возьмём на каждой частичной дуге ÈМ_к-1М_к произвольную точку N_k (x_к , h_к) . Вычислим во взятых точках значения Р(x_к , h_к ) функции Р(х,у) .

Составим затем произведения этих значений на величины

Dх_к = х_к – х_к-1 проекций дуг М_к-1М_к на ось Ох и образуем сумму s всех таких произведений :

Величиной проекции направленной дуги М_к-1М_к на ось называют величину проекции на эту ось .

Сумма sназывается интегральной суммой , составленной для функции Р(х,у) на дуге АВ ( или , как говорят , вдоль дуги ) по координате х .

Будем неограниченно увеличивать число n точек деления дуги АВ , однако так , чтобы длины всех частичных дуг стремились к нулю.

Дадим тогда следующее определение .

Определение 3.2.1

Криволинейным интегралом от функции Р(х,у) вдоль линии ( дуги) АВ по координате х называется предел , к которому стремится интегральная сумма s , когда длины всех частичных дуг стремяться к нулю , при условии , что 1) этот предел $ и 2) не зависит ни от способа разбиения дуги АВ на частичные дуги , ни от выбора точек (x_к , h_к) на этих дугах .

Символически криволинейный интеграл обозначается

( дуга АВ при этом называется путём интегрирования ).

Итак , по определению

. (3.8)

Аналогично определяется криволинейный интеграл вдоль линии АВ по координате у :

. (3.9)

где Dу_к = у_к – у_к-1 – проекция дуги М_к-1М_к .

Если криволинейные интегралы (3.1) и (3.2) существуют , то функция Р(х,у) называется интегрируемой вдоль линии АВ по координате соответственно х и у .

Замечание .

Из определения криволинейного интеграла следует , что величина его , вообще говоря , зависит как от вида подынтегральной функции , так и от формы дуги АВ , вдоль которой рассматривается этот интеграл .

В случае , когда 1) вдоль дуги АВ определены две функции P(x,y) и Q(x,y) и 2) существуют интегралы ò_АВ P( x,y ) dх и ò_АВ Q( x,y ) dу , сумму этих интегралов

называют криволинейным интегралом общего вида ( полным криволинейным интегралом ) вдоль дуги АВ и обозначают

Именно с криволинейным интегралом этого вида особенно часто приходится иметь дело в приложениях .

Таким образом , по определению

Замечание .

Определение криволинейного интеграла не исключает случая замкнутой линии ( как и для интеграла I рода ) . Направление на замкнутой кривой должно быть каким – либо способом указано заранее . Замкнутую линию обозначают буквой , например L . Для обозначения криволинейного интеграла по замкнутому контуру употребляют также символом .

Возвращаясь к задаче о вычислении работы силы при перемещении материальной точки по дуге ВС , можем записать :

где Р(х,у) и Q(x,y) - проекции вектора соответственно на оси Ох и Оу .

Таков механический смысл криволинейного интеграла по координатам .

3.2.1 Основные свойства криволинейного интеграла по координатам

Рассмотрим некоторые свойства криволинейного интеграла по координатам, непосредственно вытекающие из его определения .

Эти свойства рассмотрим для интеграла .

1. , где С = cons t .

3.( Свойство аддитивности) . Если некоторой точкой С дуга АВ разбита на 2 дуги АС и СВ и функция Р(х,у) интегрируема вдоль каждой из дуг АС и СВ , то она интегрируема и вдоль самой дуги АВ , причём

+ .

Первые три свойства криволинейного интеграла легко доказываются , исходя из соответствующих интегральных сумм ( как и для определённого интеграла ).

4.При изменении направления интегрирования ( на противоположное ) , криволинейный интеграл изменяет лишь свой знак :

(проекции противоположно направленных отрезков отличаются знаками ) .

Доказано , если точку В посчитать началом , а точку А – концом дуги АВ, то точка М_к деления этой дуги будет предшествовать точке М_к-1 ( к = 1,2, . . . , n) и, значит , числа Dх_к = х_к – х_к-1 , входящие в интегральную сумму s , заменяются числами х_к-1 - х_к , а следовательно сама сумма s заменится суммой

Так как

и если криволинейный интеграл вдоль дуги АВ существует , то существует и lim суммы , стоящей в левой части ; переходя к пределу , получим доказываемое равенство .

Вывод .

Таким образом , при вычислении криволинейного интеграла по координатам необходимо учитывать направление интегрирования , тогда как для интегрирования по длине дуги направление интегрирования не имело значения .

5.Если функция Р(х,у) интегрируема по замкнутому контуру L , то величина криволинейного интеграла не зависит от того , какую точку контура L выбрать за начало ( и тем самым за конец ) пути интегрирования .

Доказано , пусть А и В – любые две несовпадающие точки контура . Возьмём в качестве начальной точки обхода контура точку А .

Тогда криволинейный интеграл представим в виде суммы криволинейных интегралов по дугам AmB и BnA переставим слагаемые

Здесь уже в качестве начальной точки будет точка В.

Замечание .При вычислении криволинейного интеграла вдоль той или иной дуги направление интегрирования указывается порядком написания букв , обозначающих начало и конец этой дуги .

Если же контур замкнут , то положительным направлением обхода контура L называют то направление , при котором часть области , ограниченная этим контуром , остаётся слева от наблюдателя .

Противоположное этому направление называют отрицательным. Если путь интегрирования L есть простая замкнутая линия , то при отсутствии дополнительных указаний криволинейный интеграл вычисляется в положительном направлении .

3.2.2 Вычисление криволинейных интегралов

Криволинейные интегралы II рода вычисляются также путём сведения их к обыкновенным определённым интегралам .

Пусть требуется вычислить

I случай .

Пусть линия АВ задана уравнением y = f(x) , где f(х) – непрерывная и дифференцируемая функция ; т.А (х₁ ;у₁) , т.В (х₂ ;у₂) .

Тогда

Пример 3.2.2.1

Вычислить , где L – контур прямоугольника , образованного прямыми х = 1 , у= 1 , х = 3 , у = 5. Интегрирование вести в положительном направлении .

1) ; уравнение АВ: у = 1 Þ dy = 0

2) .

3) , т.к. уравнение CD : y = 5 Þ dy = 0 .

2 случай .

Пусть линия АВ задана параметрическими уравнениями х = j (t) , y = y(t), где j(t) и y(t) – непрерывные и дифференцируемые функции .

Начальной т.А соответствует значение параметра t = t₁ ; конечной т.В t = t₂ .

Заменив в “ х” и “ у ” выражениями через t , dx и dy - через t и dt прийдём к обыковенному определённому интегралу :

. (3.10)

Пример 3.2.2.2

Вычислить значение криволинейного интеграла , где АВ – верхняя половина окружности х = R × cos t , y = R × sin t (рис 3.9) .

3.2.3 Формула Грина

Между криволинейным интегралом взятым по замкнутой линии L , ограничивающей некоторую область D , и двойным интегралом по области D существует определённая связь .

Выводом формулы , устанавливающей эту связь , мы и займёмся.

Рассмотрим в плоскости хОу замкнутую область D , ограниченную замкнутым контуром L .

Теорема 3.2.1

Пусть в простой замкнутой области D , ограниченной контуром L, заданы непрерывные функции Р(х,у) и Q(x,y) , имеющие непрерывные частные производные . Тогда справедливо следующее равенство :

, (3.11)

называемое формулой Грина ( английский математик и физик ).

Доказательство 1. Вычислим интегралы :

Пусть область проектируется на ось Ох в отрезок [ а, b] ; сверху и снизу она ограничена линиями :

у₂ = у₂ (х) – ( уравнение AmB )

у₁ = у₁ (х) - ( уравнение AnB) ,

причём функции у₁(х) и у₂(х) непрерывны на [ a,b] ; у₂(х) ³ у₁(х) :

а.Вычисление :

. (3.12)

б.Вычисление : = ( представим этот интеграл в виде суммы двух интегралов по линиям AnB и BmA ) =

. (3.13)

Из равенств (3.1) и (3.2) следует :

. (3.14)

2.Вычислим : .

Для вычисления этих интегралов проектируем область D на ось Оу .

Пусть область D проектируется на ось Оу в отрезок [ c,d ] .

Уравнение линии NnM : х = х₁(у) ; уравнение линии NmM : х₂ = х₂(у) . уÎ [c,d] .

Функции х₁(у) и х₂(у) непрерывны на [c,d] , причём х₂(у) ³ х₁(у).

(3.15)

б)

(3.16)

Из равенств (3.15) и (3.16) следует :

(3.17)

Вычтем из равенства (3.17) равенство (3.14) почленно , получим доказываемую формулу .

Таким образом , двойной интеграл по области D можно заменить криволинейным по контуру L , ограничивающему область D . Формула Грина широко применяется как в самом 1) математическом анализе, так и 2) его приложениях .

Замечание .

Формула Грина остаётся справедливой для любой области , ограниченной одним или несколькими контурами .

Пример 3.2.3

Применяя формулу Грина, вычислить , где L – эллипс

Решение :

Функции Р и Q непрерывны вместе со своими частными производными в области D .

= ( площадь эллипса S_эл = p×a×b ) = .

3.3 Вычисление площадей фигур с помощью криволинейного интеграла

Криволинейные интегралы часто удобно использовать при вычислении площадей плоских фигур .

Пусть область D ограничена замкнутым контуром L . Найдём площадь области D . Пусть имеет место

(3.18)

1)положим в формуле (3.1) Р(х,у) º у ,