Уравнения и методы их решения

Основные понятия:

Одним из важнейших умений в математике – это умение решать квадратные уравнения.

Алгоритм решения квадратного уравнения по формуле корней:

1) Найти число, называемое дискриминантом квадратного уравнения

и равное D = b²- 4ac.

2) Дискриминант показывает сколько корней имеет уравнение

I. если D<0, то данное квадратное уравнение не имеет корней;

II. если D=0, то данное квадратное уравнение имеет единственный корень, который равен

III. если D>0, то данное квадратное уравнение имеет два корня, которые равны

Например:

Умение удачно ввести новую переменную – облегчает решение:

Дробно-рациональные уравнения

Как ясно из названия, в этих уравнениях обязательно присутствуют дроби. Но не просто дроби, а дроби, у которых есть неизвестное в знаменателе.

ОДЗ – (Область Допустимых Значений).

Это те значения икса, которые могут быть в принципе. Т.к. делить на ноль нельзя, знаменатели в дробно-рациональных уравнениях не должны равняться нулю. Перед решением внимательно исследуйте пример и определите ОДЗ. Все найденные в процессе решения корни нужно проверять: не обратят ли они какой-либо из знаменателей в ноль (такой корень будет посторонним и в окончательный ответ не попадёт).

Контрольные вопросы и задания для самостоятельного решения по разделу 4

Ответьте на вопросы:

1) Какое уравнение называется квадратным?

2) Что такое дискриминант?

3) Как решать биквадратное уравнение?

4) Какое уравнение называется дробно-рациональным?

5) Что такое ОДЗ?

Решите упражнения:

№ 1

1) 2)

3) 4)

5) 6)

№ 2

1) 2)

3) 4)

5) 6)

№ 3

1) 2)

3) 4)

5) 6)

7) 8)

Проверьте своё решение:

№ 1

1) 7 2) 1 3) 3

4) - 2 5) 4 6) - 2

№ 2

1) 2 2) 1; 0 3) 1

4) 2; 1 5) 1 6) 1

№3

1) 2 2) 1 3) - 2; 5 4) 1

5) - 1; 3 6) - 5 7) 2 8) - 1; 6

Логарифмы.

I Логарифмические уравнения

Что такое логарифмическое уравнение?

Это уравнение, в котором неизвестные (иксы) и выражения с ними находятся внутри логарифмов.

Например:

log₂х = 32

log₃х = log₃9

log₃(х²-3) = log₃(2х)

log_х+1(х²+3х-7) = 2

lg²(x+1)+10 = 11lg(x+1)

А что же такое логарифм?

Т.е. log_ab = c

(а - это основание, которое нужно возвести в степень с, чтобы получить b).

Любое число можно представить в форме логарифма:

т.е.

Чтобы решать уравнения, нужно знать свойства логарифмов:

Эти формулы верны безо всяких оговорок для положительных чисел. Но в уравнениях используются неизвестные, на которые накладывается ограничение:

подлогарифмическое выражение больше нуля, а основание логарифма и больше нуля и не равно единице!

log_ab = c

ОДЗ: b > 0, a > 0, a ≠ 1.!

В логарифмических уравнениях все найденные корни обязательно нужно проверять через ОДЗ!

Как решать логарифмические уравнения?

Процесс решения любого логарифмического уравнения заключается в переходе от уравнения с логарифмами к уравнению без них.

Например:

log₃х = log₃9 ОДЗ: х > 0

х = 9

Ликвидировать логарифмы (потенцировать) безо всяких опасений можно, если у них:

а) одинаковые числовые основания

в) логарифмы слева и справа чистые (безо всяких коэффициентов) и находятся в гордом одиночестве.

Например: в уравнении log₃х = 2log₃(3х-1)

убирать логарифмы нельзя. Двойка справа не позволяет.

В примере log₃х+log₃(х+1) = log₃(3+х)

тоже нельзя потенцировать уравнение. В левой части нет одинокого логарифма. Их там два.

Убирать логарифмы можно, если уравнение выглядит так и только так:

log_а(.....) = log_а(.....)

В скобках, где многоточие, могут быть какие угодно выражения. Простые, суперсложные, всякие. Какие угодно. Важно то, что после ликвидации логарифмов у нас остаётся более простое уравнение.

Примеры:

1) log₇(2х-3) = log₇х ОДЗ:

2х-3 = х 2х – х = 3 х=3 (Ответ)

2) log₇(50х-1) = 2 ОДЗ:

log₇(50х-1) = log₇7²

50х-1 = 49 х = 1(Ответ)

3) 4)

5)

Ответ:

II Логарифмические неравенства.

Контрольные вопросы и задания для самостоятельного решения по разделу 5

Ответьте на вопросы:

1) Что такое логарифм?

2) Что такое ОДЗ для логарифмической функции?

3) Назовите свойства логарифмов.

Решите упражнения:

№ 1. Решите уравнения:

1) 2)

3) 4)

5) 6)

№ 2.

Решите неравенства:

1) 2)

3) 4)

5) 6)

Проверьте своё решение:

Ответы:

№ 1.

1) 3 2) 4 3) - 4

4) 4 5) 3 6) 6

№ 2.

1) 2)

3) 4)

5) 6)

7) 8)

9) 10)

11) 12)

13) 14)

15) 16)