Смешанное произведение векторов

Определение 9.3. Пусть даны три вектора , и . Умножим вектор на векторно, а затем, векторное произведение × умножим скалярно на . В результате получим число (× )× , которое называют смешанным произведениетрёх векторов , и .

Теорема 9.3.Смешанное произведение (× ) × трёх некомпланарных векторов равно объёму параллелепипеда, построенного на векторах , и , связанному со знаком «+», если тройка , , правая, и со знаком «−», если эта тройка – левая.

Доказательство. Рассмотрим параллелепипед, построенный на векторах , и (рисунок 9.5).

Построим вектор × и пусть – единичный вектор, одинаково направленный с вектором × . Так как │× │= S – площадь параллелограмма OBDA, построенного на векторах и , то × = × S.

Рисунок 9.5

Возьмём ось ℓ, одинаково направленную с вектором . Тогда по свойствам проекции векторов пр_е = соsφ, где φ – угол между и осью ℓ. Тогда │пр_е │= h, где h – высота параллелепипеда. Отметим, что если тройка , , правая (рисунок 9.5), то h = пр_е = соsφ. Если же тройка , , левая, то h = − пр_е = − соsφ.

Теперь,

(× ) × =( S) × = ( × )S = cosφ × S = S × соsφ = ± S × h = ± V_{параллелепипеда,}

причём знак «+» берётся, если , , – правая тройка, и знак «−», если она левая.

Следствие 9.5.Векторы , и компланарны тогда и только тогда, когда их смешанное произведение (× ) × = 0.

Доказательство.

Рисунок 9.6

Отметим, что если тройка , , правая, то тройка , , также правая (рисунок 9.6, а), а если тройка , , левая, то тройка , , также левая (рисунок 9.6, б).

Очевидно, что параллелепипед, построенный на векторах , , и векторах , , – один и тот же. Поэтому

(× ) × = ±V_парал., ( × ) × = ± V_{паралл.}.

Так как тройки , , и , , либо обе правые, либо обе левые, то знак перед V выбирается в обоих произведениях одинаково. Поэтому

(× ) × = ( × ) × = × ( × ).

Ввиду следствия 9.5 смешанное произведение векторов , , ещё обозначают .

Теорема 9.4.Если = (х₁; у₁; z₁), = (х₂; у₂; z₂), = (х₃; у₃; z₃),

= .

Доказательство.

= (× ) × = х₃ × − у₃ × + z₃ × = .

Пример.Найти объём параллелепипеда, построенного на векторах = (3; 1; 2), = (2; 2; 3), = (1; 3; 1).

Решение.

V = │ │= │6 + 12 + 3 – 4 – 27 – 2│= │−12│= 12 (куб. ед.).

Ответ: 12.

Вопросы для самоконтроля

1. Что называют базисными векторами?

2. Что называется скалярным произведением двух векторов? Каковы его свойства?

3. Какие системы координат называют правыми (левыми)?

4. Что называется векторным произведением двух векторов? Каковы его свойства?

5. Что называется векторно-скалярным (смешанным) произведением векторов? Каковы его свойства?

Литература

1. Письменный, Д. Т. Конспект лекций по высшей математике : в 2 ч. / Д. Т. Письменный. – М. : Айрис-пресс, 2004. – 280 с.

2. Кремер, Н. Ш. Высшая математика для экономистов / Н. Ш. Кремер. – М. : «Юнити». 1997 г. – 439 с.

3. Минорский, В. П. Сборник задач по высшей математике / В. П. Минорский. – М., 1978. – 352 с.

4. Яблонский, А. И. Высшая математика /А. И. Яблонский. – Мн. : Высшая школа, 2000. – 351 с.

5. Гусак, А. А. Задачи и упражнения по высшей математике / А. А. Гусак. – Мн. : Высшая школа, 1988. – 544 с.

6. Гурский, Е. И. Руководство к решению задач по высшей математике / Е. И. Гурский. – Мн. : Высшая школа, 1989. – 348 с.

7. Александров, П. С. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры / П. С. Александров. – М. : Наука, 1979. – 512 с.

8. Сборник задач по алгебре и аналитической геометрии / А. А. Бурдун [и др.]. – Мн. : Университетское, 1999. – 302 с.

9. Милованов, М. В. Алгебра и аналитическая геометрия / М. В. Милованов, Р. И. Тышкевич, А. С. Феденко. – Мн. : Вышэйшая школа, 1984. – 269 с.

10. Гусак, А. А. Аналитическая геометрия и линейная алгебра: справочное пособие по решению задач / А. А. Гусак. – Мн. : ТетраСистемс, 2001. – 288 с.

11. Тер-Крикоров, А. М. Курс математического анализа: учебное пособие для вузов / А. М. Тер-Крикоров, М. И. Шабунин. – М. : Наука Гл. ред. физ.-мат. Лит., 2001. – 672 с.

12. Пискунов, Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления для вузов / Н. С. Пискунов. – М.: Наука, 1970. – 560 с.

13. Бугров, Я. С. Высшая математика. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функция комплексного переменного / Я. С. Бугров, С. М. Никольский. – М. : Наука,1981. – 506 с.

14. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии / Р. Ф. Апатенок [и др.]. – Мн. : Вышэйшая школа, 1986. – 272 с.

15. Выготский, М. Я. Справочник по высшей математике / М. Я. Выготский. – М. : Наука, 1966. – 872 с.

16. Справочник по высшей математике / А. А. Гусак [и др.]. – Мн. : ТетраСистемс, 2000. – 638 с.

Производственно-практическое издание

БУЗЛАНОВ Александр Васильевич

БОРОДИЧЕлена Николаевна

БОРОДИЧ Руслан Викторович

БОРОДИЧ Тимур Викторович

Высшая математика: