Кинематика прямолинейного движения

Обеспечение машиностроительных

производств – МТ, МА;

Технологические машины

и оборудование – МД;

эксплуатация транспортно-технологи-

Ческих машин и комплексов – МАХ

Часть I

(механика, термодинамика, электромагнетизм, оптика)

Вологда

УДК 53 (07.072)

Индивидуальное домашнее задание по физике, часть I. – Вологда: ВоГТУ, 2011. – 68 с.

Данные методические указания написаны в соответствии с программой курса физики для технических специальностей в вузах. Пособие содержит 225 задач по всем разделам пропедевтического курса физики.

Утверждено редакционно-издательским советом ВоГТУ

Составители: Лебедев Я.Д., к.ф.-м.н., д-р пед. наук, проф. каф.

Михайлов А.В., к.ф.-м.н., доцент

Рецензент: Сауров Ю.А., член-корр. РАО, д-р педагогических наук,

профессор Вятского ГГУ

Современный этап развития профессионального образования предъявляет новые требования не только к преподавательской деятельности, но и к индивидуальной познавательной деятельности студентов. По физике, как правило, она складывается из подготовки к лекционным, практическим и лабораторным занятиям, защите лабораторного практикума, выполнении индивидуальных домашних заданий (расчётно-графических заданий). Учебный процесс в педагогической практике динамичен, постоянно обновляется научной информацией о закономерностях познавательной деятельности и об учебном предмете. Всё это указывает на то, что главной фигурой в учебном процессе вуза становится студент.

В условиях направленности учебного процесса на формирование личности профессионала важным является умение «видеть» обучаемого, поэтому преподавательский корпус кафедры физики привлекает логико-математические и другие формальные методы в качестве средств оценки результатов учебного процесса. Привлечение логико-математических методов в познание учебного процесса объясняется тем, что эти методы вносят в науку организующий и доказательный характер, сочетают количественную и качественную оценку, вводят измерители. Привлечение методов логико-математической формализации в качестве инструмента объективного исследования позволило по-новому предложить построение текста задач. В частности, в дополнение к физическому тексту предлагается текст методический. Это активизирует познавательную деятельность и стимулирует активность студента к выполнению расчётно-графического задания.

Требования к оформлению расчётно-графического задания типовые:

1. Титульный лист оформляется на отдельном листе в соответствии с требованиями ГОСТа;

2. Вначале с указанием номера записывается физический текст задачи без сокращений. Методическая часть не записывается, поскольку предназначена для студента. Затем следует краткое условие и типовое представление решения с пояснениями;

3. В конце расчётно-графического задания необходимо привести список используемой литературы с указанием авторов и названия книги (справочника, учебного пособия).

В первом расчётно-графическом задании РГЗ-I девять задач. Они скорее школьного типа, но требуют свободного владения школьным математическим аппаратом: составить систему уравнений, что требует понимания концептуального аппарата физики; умением упростить выражение; решить систему из трёх-двух уравнений в общем виде; понимать тригонометрические выражения; строить графики; уметь брать производную; решать квадратные уравнения. Этого уже было бы достаточно.

Кинематика прямолинейного движения

1. Моторная лодка проходит расстояние между двумя пунктами А и В, расположенными на берегу реки, за время t₁ = 3 ч, а плот за время t = 12 ч. Сколько времени t₂ затратит моторная лодка на обратный путь? Сделайте чертёж, лучше два: туда и обратно; введите необходимые обозначения. Представьте образ в аналитической форме; получается три уравнения. Система решаема, три уравнения два неизвестных.

2. Поезд первую половину пути шел со скоростью в n = 1,5 раза большей, чем вторую половину пути. Средняя скорость поезда на всем пути u_ср. = 43,2 км/ч. Найти скорость поезда на первой и второй половинах пути? Сделайте чертёж. Запишите уравнения движения; при записи уравнения средней скорости, уточните понятие средней скорости. Если учтёте соотношение между скоростями, уравнений будет три. Придётся решать систему уравнений! Если трудно, подходите. Помогут.

3. Определить скорость встречного ветра, если пассажир автобуса, движущегося со скоростью 15 м/с, заметил, что след капли дождя на боковом стекле расположен под углом 15 градусов к горизонту. Вертикальная составляющая скорости дождя 23 м/с. Сделайте чертёж. Сделали? Где Вы, наблюдатель, находитесь? Где движется капля? По-видимому, автобус придётся остановить (для удобства наблюдения), но при этом не потерять реального движения. Что же нужно сделать? Передать движение автобуса капле дождя. Сделали ещё один чертёж с учётом этого? Тогда только напоминаем, не потеряйте скорость, сообщаемую капле встречным ветром. Геометрия пошла. Трудно? Подходите.

4. Движения двух велосипедистов заданы уравнениями: x₁ = 5×t, x₂ = 150 - 10×t. Построить графики зависимости x = x(t). Найти место и время встречи (задачу решить также аналитически). При построении графика учтите из алгебры у = f(х); выбрали масштаб? Стройте. Для аналитического решения уточните смысл слов «…место и время встречи»; сделайте их аналитическую запись. Удачи в решении системы из двух уравнений.

5. Человек, стоящий в момент начала движения поезда у его переднего конца, заметил, что первый вагон прошёл мимо него за 4 секунды. Сколько времени будет двигаться мимо него четвёртый вагон, если поезд движется равноускоренно? Сделайте чертёж. Запишите аналитические выражения скорости и перемещения (уточнив эти понятия) как для первого, так и для четвёртого вагонов. Возникли трудности? Тогда запишите перемещение четырёх и трёх вагонов. Можно найти перемещение четвёртого вагона? Какой операцией арифметической? Сделали? Получили систему из трёх уравнений: для первого вагона; для трёх и четырёх вагонов. Придётся решать систему уравнений! Будет кстати, если учтёте, вагоны одинаковы. Удачи.

6. Материальная точка движется прямолинейно по закону х = 3 + 1,2ּt + 0,2ּt² м, где t измеряется в секундах. Найти среднее значение скорости за первые 5 секунд. Уточните понятия: скорость, средняя скорость. Придётся брать производную. Взяли? Ищите среднюю скорость. Отобразите на оси х вектор перемещения за пять секунд.

7. Между двумя пунктами, расположенными на реке на расстоянии S = 100 км один от другого, курсирует катер, который, идя по течению, проходит это расстояние за время t = 4 ч, а, идя против течения, – за время t₁ = 10 ч. Определить скорость течения реки u_т и скорость катера u_к относительно воды. Сделайте чертёж; лучше два: по течению и против течения. Запишите в аналитической форме путь по течению и против течения: система из двух уравнений и два неизвестных, решаема. Удачи в делах.

8. Автомобиль проехал половину пути со скоростью u₁ = 60 км/ч, оставшуюся часть пути он половину времени шел со скоростью u₂ = 15 км/ч, а последний участок – со скоростью u₃ = 45 км/ч. Определить среднюю скорость автомобиля на всем пути. Сделайте чертёж; учтите: полпути (отобразили) с u₁, вторые полпути – половину времени его прохождения с одной скоростью, оставшуюся часть этого полпути с другой скоростью, но за такое же время. Переходите к аналитической записи. Должно получиться два уравнения; неизвестны: путь, и времена прохождения половин пути. Уточните понятие средней скорости, запишите её аналитическое выражение с учётом условия задачи. Итак, система из трёх уравнений; решаема. Если трудно, подходите. Помогут.

9. Тело, двигаясь равнозамедленно, к концу второй секунды после начала отсчета времени имело скорость 2 м/с и прошло путь 10 м. Определите величину ускорения тела и его начальную скорость. Запишите уравнение перемещения тела с учётом характера его движения; найдите производную от этого уравнения. Вы получили два уравнения: перемещения и скорости; систему. Для нахождения ускорения, например, можно из уравнения скорости выразить начальную скорость и подставить её в уравнение перемещения. Действуйте. Спрашивайте.

10. Мимо пристани проходит плот. В этот момент в поселок, находящийся на расстоянии 15 км от пристани, вниз по реке отправляется моторная лодка. Она дошла до поселка за время t₁ = 3/4 ч и, повернув обратно, встретила плот на расстоянии S₂ = 9 км от поселка. Каковы скорость течения реки и скорость лодки относительно воды? Сделайте чертёж; лучше два, желательно один под другим; доступнее восприятие происходящего. Запишите аналитические уравнения для пройденного лодкой пути: до посёлка от пристани; от посёлка до встречи с плотом (на втором рисунке это воспринимается лучше). Запишите уравнение пути для плота; это лучше сделать через заданные расстояния и скорость плота, которая определяется движением воды (хорошо воспринимается из второго рисунка, обратный путь лодки-моторки). Получили систему из трёх уравнений. Удачи в преобразованиях. Если что, подходите.

11. Движение грузового автомобиля описывается уравнением х = –270 + 12×t, а движение пешехода по обочине того же шоссе - уравнением х = – 1,5×t. Когда и где они встретились? При построении графика учтите из алгебры у = f(х); выбрали масштаб? Стройте. Для аналитического решения уточните смысл слов «когда и где… встретились»; сделайте их аналитическую запись. Удачи в решении системы из двух уравнений. Спрашивайте, ответят.

12. За пятую секунду равнозамедленного движения тело проходит 5 м и останавливается. Какой путь прошло тело за третью секунду? Сделайте чертёж; при его построении учтите, движение равнозамедленное (записали уравнение движения), следовательно, каждый последующий путь за единицу времени будет меньше, чем предыдущий. Для нахождения пути за пятую секунду, нужно знать путь за первые пять секунд минус путь за предыдущие четыре секунды. Запишите уравнения: путь за пять секунд и путь за четыре секунды; это позволяет найти уравнение пути за пятую секунду. Такие же рассуждения позволят Вам записать уравнение пути за третью секунду. Пятое уравнение, уравнение скорости, позволяет записать фраза «за пятую секунду… проходит 5 метров и останавливается». Система решаема. Если трудно, подходите.

13. Тело движется по прямой со скоростью u = (6 – 2ּt) м/с, где t – время в секундах. Определить путь, пройденный телом за первые 3 с. Уточните понятие скорости; запишите в дифференциальной форме; если разделить переменные, можно перейти к интегрированию. Уравнение перемещения у Вас в руках. На координатной оси х отобразите вектор перемещения за указанное время. Удачи. Трудно, подходите.

14. Опоздавший к поезду пассажир заметил, что предпоследний вагон прошёл мимо него за 15 с, а последний – за 10 с. На сколько опоздал пассажир к отходу поезда? Сделайте чертёж, учитывая, пассажир подбежал к началу предпоследнего вагона, опоздав на время Dt. За это время состав приобрёл некоторую скорость, уравнение скорости можно записать. Очевидно, предпоследний вагон проходит мимо наблюдателя с начальной скоростью, приобретённой за время опоздания. Записали, учитывая, длина вагонов одинаковая? Такая же процедура позволяет найти начальную скорость последнего вагона и записать путь, пройденный этим вагоном. Таким образом, у Вас три уравнения: скорости; путь предпоследнего вагона и последнего, которые одинаковы. Система поддаётся решению. Удачи в преобразованиях. Подходите.

15. Движение материальной точки задано уравнениями: y = 1 + 2×t, x = 2 + t. Найти уравнение траектории у = у(х). Построить траекторию на плоскости xOy. Указать положение точки при t = 0, направление и скорость движения. Уточните уравнение координаты в общем виде; это позволит построить уравнение траектории. Уточнив понятие скорости, можно найти значение её составляющих по соответствующим осям и ответить на поставленный вопрос.

16. Из одного города в другой вышел пешеход. Когда он прошел 27 км, вслед за ним выехал автомобиль со скоростью в 10 раз большей, чем у пешехода. Второго города они достигли одновременно. Каково в километрах расстояние между городами? Сделайте чертёж; лучше три: начал движение пешеход; начал движение автомобиль; прибыли в город. Второй и третий рисунок позволяют утверждать, объекты двигались в течение одного и того же времени; записали уравнения движения? Не забудьте, пешеход прошёл оставшийся до города путь; в аналитической записи учтите, равно как и соотношение скоростей. Система из двух уравнений, решаема. Удачи. Спрашивайте, ответят.

17. Колонна машин движется по шоссе со скоростью 10 м/с, растянувшись на расстояние 2 км. Из хвоста колонны выезжает мотоциклист со скоростью 20 м/с и движется к голове колонны. За какое время мотоциклист достигнет головы колонны? Сделайте чертёж; лучше два: до того как отправился мотоциклист и второй – достиг голов колонны. Колонну лучше изображать непрерывными линиями, как целое; легче воспринимается. Составьте уравнения движения в аналитической форме; их два. При составлении уравнения мотоциклиста не потеряйте движение колонны. Удачи в преобразованиях. Подходите, помогут.

18. В координатах (t,u) график зависимости скорости тела от времени представляет собой прямую линию, проходящую через точки с координатами (2 с, 8 м/с) и (6 c, 16 м/с). Определить путь, пройденный телом за промежуток времени от 2 до 6 с. При построении графика учтите из алгебры у = f(х); выбрали масштаб? Стройте. Построили? Исходя из графика, запишите уравнение скорости. Уточните понятие скорости через дифференциальное уравнение и приравняйте правые части; разделите переменные и переходите к интегрированию. Трудно, подходите. Помогут.

19. Эскалатор метро поднимает неподвижно стоящего на нём пассажира за 1 минуту. По неподвижному эскалатору пассажир поднимается за 3 минуты. Сколько времени будет подниматься идущий пассажир по движущемуся эскалатору? Сделайте чертёж; лучше три. Запишите для каждого движения аналитическое уравнение. Если Вы учли одинаковость подъёма во всех ситуациях, получили систему из трёх уравнений. Удачи в преобразованиях; всё-таки система из трёх уравнений. Если трудно? Подходите.

20. Автомобиль первую половину пути ехал со скоростью в 1,5 раза большей, чем вторую половину. Найти отношение средней скорости автомобиля на всём пути к скорости на второй половине пути. Сделайте чертёж; учтите: полпути (отобразили) с одной скоростью, вторые полпути – с другой. Соотношение между скоростями известно. Запишите для этих половинок аналитическое уравнение движения. Уточните понятие средней скорости для Вашей ситуации. Поскольку необходимо найти отношение средней скорости к скорости на втором пути, в уравнениях движения должна быть лишь скорость на второй половине пути. Удачи в преобразованиях. Спрашивайте. Помогут.

21. От движущегося поезда отцепляют последний вагон. Поезд продолжает двигаться с той же скоростью. Сравните пути, пройденные поездом и вагоном к моменту остановки вагона. Ускорение вагона можно считать постоянным. Постройте графики S = f(t). При построении учтите из алгебры у = f(х); выберите масштаб, графики лучше расположить один под другим, нагляднее; не забудьте, время движения до остановки одинаково. Учтите также, каков характер движения вагона. Решите задачу аналитически. Если будет трудно, подходите. Помогут.

22. Поезд прошёл расстояние между двумя станциями s = 17 км со средней скоростью u_ср = 60 км/ч. При этом на разгон в начале движения и торможение перед остановкой он потратил в общей сложности t₁ = 4 мин, а остальное время двигался с постоянной скоростью u. Чему равна эта скорость? Постройте график скорости u = f(t). В условии задачи не оговорено, что время разгона и торможения одинаковы; будем считать их разными. Из графика; полное время в пути включает: временя разгона, торможения и движения с постоянной скоростью. Возникает необходимость их поиска, если уточнить понятие средней скорости. Запишите уравнения скорости и перемещения на участках ускорения и торможения; общее время движения на этих участках известно. Подставляя в уравнение средней скорости, находите скорость u. Если трудно, подходите. Помогут. Удачи.

23. Свободно падающий камень пролетел последние 196 метров за 4 с. С какой высоты падал камень, если его начальная скорость равна нулю? Сопротивлением воздуха пренебречь. Сделайте чертёж; не забудьте, действие происходит в поле тяготения Земли. Записывая аналитические выражения скорости и пути для последних метров, не забудьте, что тело, по-видимому, приобрело некую скорость на предыдущем участке. Это требует аналитического оформления. Удачи. Спрашивайте. Ответят.

24. Поезд начинает движение из состояния покоя и равномерно увеличивает скорость. На первом километре пути она возрастает на 10 м/с. На сколько возрастёт скорость на втором километре пути? Сделайте чертёж. Запишите уравнение скорости и перемещения для первого километра. Для второго километра начальная скорость не будет равна нулю, поэтому, записывая для него уравнение скорости и перемещения, будьте внимательны. Уточните слова «на сколько возрастёт… на втором километре». Не обойти арифметическую операцию вычитания. Будьте внимательны. Если трудно, спрашивайте. Должны помочь.

25. Сосулька падает с крыши дома. Первую половину пути до земли она пролетела за 1 с. Сколько времени ей осталось лететь? Сделайте чертёж; возможно, лучше два (две половины пути). Запишите уравнения скорости и пути для первой половины. Если перешли к рисунку, где показали вторую половину пути, то обнаружите, что вторую половину сосулька пролетает с начальной скоростью не раной нулю. Записываете уравнения скорости и пути для второй половины. Преобразуйте. Если спросите, ответят.