Найти результат умножения матрицы B на число 2

СОДЕРЖАНИЕ

Введение………………………………………….........................1

1. Лабораторная работа №1…………………………...…………...2

2. Лабораторная работа №2………………………………………15

3. Заключение………………………………………………….…..18

Список использованной литературы…………………….……19

ВВЕДЕНИЕ

Курс «Математика» есть совокупность математических дисциплин, входящих в учебный план высших технических и некоторых специальных учебных заведений. Он знакомит с основными понятиями линейной алгебры, аналитической геометрии, математического анализа, математического и линейного программирования, теории вероятностей, математической статистики, служит базой для изучения общенаучных, общеобразовательных и специальных дисциплин. Модели и методы математики являются хорошим средством и языком для построения и анализа моделей в различных науках. Влияние информационных технологий затрагивает практически все стороны нашей жизни. Компьютеры буквально на глазах изменяют нашу жизнь. Появляются потребности в новых способах обработки информации и возникают новые информационные технологии, которые с каждым годом все активнее проникают в различные области знаний: экономику, управление, экологию и т.д.

Математика и ее методы стали обязательным предметом при подготовке специалистов любого профиля. Математика вросла в науки, став универсальным языком описания различных процессов и явлений. Огромный опыт человечества убедительно доказал, что математика является незаменимым и мощным орудием познания мира. С компьютеризацией всех областей человеческой деятельности pоль математических методов еще больше возрастает.

С помощью математических методов исследуются сложные прикладные задачи описательного, оптимизационного и управленческого типов, которые нельзя решить с помощью других более простых методов или основываясь только лишь на опыте и "здравом смысле".

В данных методических указаниях к выполнению лабораторных работ рассмотрены вопросы применения математических функций программы Microsoft Excel для решения типовых математических задач.

Лабораторная работа №1.

ОПРЕДЕЛИТЕЛИ И МАТРИЦЫ

Цель работы: научиться выполнять действия над матрицами, решать матричные уравнения, используя для упрощения расчётов математические функции программы Microsoft Excel.

Задачи работы:

1. Даны матрицыАи В. Найти:

а) матрицу А + В;

б) матрицу 2B;

в) произведение A(A+B) матриц А и A+B;

г) матрицу (A+B)^-1 обратную к матрице A+B;

д) определитель матрицы A+B;

е) матрицу (A+2B)^T транспонированную к матрице A+2B.

2. Для данных матриц А и В решить матричное уравнение AX = B.

ХОД РАБОТЫ

Для выполнения поставленных задач с помощью ЭВМ, целесообразно использовать табличный процессор Microsoft Excel 2007. С помощью различных математических формул, встроенных в данный программный продукт, возможно проводить математические расчеты с участием матриц. Данные для выполнения работы выбраны согласно необходимым критериям

Вариант №14

A= B=

Задача № 1

Найти сумму матриц А+B

Решение с помощью встроенных функций Excel выглядит так:

Здесь использована функция СУММ. Ее синтаксис таков: =СУММ([число]; [число]). С ее помощью складываются отдельные ячейки с данными.

Решение в режиме отображения формул:

Выполнение данного задания вручную выглядит примерно так:

С= =

Задача № 2

Найти результат умножения матрицы B на число 2

Решение с помощью встроенных функций Excel выглядит так:

Решение в режиме отображения формул:

Выполнение данного задания вручную

2B= =

Задача № 3

Найти произведение A(A+B) матриц А и A+B;

Из задачи №1, решение для сложения двух матриц A и B с помощью Excel будет выглядеть так:

Затем производим умножение матрицы А на сумму матриц С:

В данной задаче была применена встроенная функция МУМНОЖ.

Синтаксис таков: =МУМНОЖ(массив1; массив2).

Данная функция возвращает матричное произведение двух массивов данных, причем результат имеет то же число строк, что и первый массив, и то же число столбцов, что и второй массив.

Вот так будет выглядеть решение в режиме отображения формул:

Выполнение данного задания вручную могло бы выглядеть примерно так:

А) Находим матрицу А+B (см. Задача №1);

Б) Находим матрицу А(А+B)

A= С =

D= * =

=

Задача № 4

Найти матрицу (A+B)^-1 обратную к матрице A+B;

Из задачи №1, решение для сложения двух матриц A и B с помощью Excel будет выглядеть так:

Находим матрицу, обратную матрице С и ее определитель:

Для нахождения обратной матрицы С, была использована функция МОБР. Ее синтаксис таков: =МОБР(массив). Данная функция возвращает массив данных, но с уже измененными значениями.

Для нахождения определителя матрицы С в данном случае была использована функция МОПРЕД. Синтаксис таков: =МОПРЕД(массив). С помощью этой функции можно быстро и точно рассчитать определитель матрицы.

Вот так будет выглядеть решение в режиме отображения формул:

Выполнение данного задания вручную могло бы выглядеть примерно так:

А) Находим матрицу А+B (см. Задача №1);

Б) Находим алгебраические дополнения к элементам матрицы С и составляем новую матрицу D:

C=

A₁₁= = 105; A₁₂= = -82; A₁₃= = 180;

A₂₁= = 0; A₂₂= = -5; A₂₃= = 30;

A₃₁= = 0; A₃₂= = -14; A₃₃= = 0;

D=

В) Находим определитель матрицы С:

С| = 2 + 0 -7 = 210;

Г) Находим обратную матрицу D, путем умножения матрицы D на определитель матрицы С и округления получившихся значений:

=

Задача № 5

Найти определитель матрицы A+B;

Из задачи №1, решение для сложения двух матриц A и B с помощью Excel будет выглядеть так:

Находим определитель матрицы С:

Для нахождения определителя матрицы С в данном случае была использована функция МОПРЕД. Синтаксис таков: =МОПРЕД(массив). С помощью этой функции можно быстро и точно рассчитать определитель матрицы.

Вот так будет выглядеть решение в режиме отображения формул:

Выполнение данного задания вручную могло бы выглядеть примерно так:

А) Находим матрицу А+B (см. Задача №1);

Б) Находим определитель матрицы С:

С| = 2 + 0 -7 = 210;

Задача № 6

Найти матрицу (A+2B)^T транспонированную к матрице A+2B.

Из задачи №2 решение для умножения матрицы B на число 2 будет выглядеть так:

Решение для сложения двух матриц A и 2B с помощью Excel будет выглядеть так:

Здесь использована функция СУММ. Ее синтаксис таков: =СУММ([число]; [число]). С ее помощью складываются отдельные ячейки с данными.

Находим транспонированную матрицу С:

В данном случае использовалась функция ТРАНСП. Ее синтаксис таков: =ТРАНСП(массив). С помощью этой функции можно быстро транспонировать матрицу.

Решение в режиме отображения формул:

Выполнение данного задания вручную могло бы выглядеть примерно так:

А) Находим матрицу 2B (см. Задача №2);

Б) Складываем матрицы (A+2B)

С= = ;

В) Находим транспонированную матрицу С:

С=

Задача № 7

Для данных матриц А и В решить матричное уравнение A= AX = B

Путем решения буквенного уравнения, получаем AX=B –>

X=A(-1)B.

Из этого следует, что необходимо найти обратную матрицу А и умножить ее на матрицу B. Полученный результат и будет решением данного уравнения.

С помощью Excel, найдем обратную матрицу А:

Для нахождения обратной матрицы С, была использована функция МОБР. Ее синтаксис таков: =МОБР(массив). Данная функция возвращает массив данных, но с уже измененными значениями.

Решение для умножения двух матриц С и B с помощью Excel будет выглядеть так:

Здесь использован символ *, который означает умножение числа на число. Ее синтаксис таков: =[число]*[число]. С помощью данного символа возможно умножать не только отдельные ячейки, но также и целые массивы данных.

Решение в режиме отображения формул:

Таким образом, найдена матрица Х

Х=

Выполнение данного задания вручную могло бы выглядеть примерно так:

А) Находим определитель матрицы С:

С= = |С| = 1 + 0 + 9 = 182;

Б) Находим обратную матрицу С:

С= = ;

В) Умножим матрицу С на матрицу B и получим ответ в виде матрицы Х:

B= ; С=

Х= =

= .

Лабораторная работа №2.

ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ

Цель работы:научиться интерполировать функции, используя для упрощения расчётов математические функции программы Microsoft Excel.

Задача работы: найти интерполяционный многочлен P₃(x) третьей степени функции y = f(x), заданной таблицей

x	-1
y

ХОД РАБОТЫ

Для выполнения поставленных задач с помощью ЭВМ, целесообразно использовать табличный процессор Microsoft Excel 2007. С помощью различных математических формул, встроенных в данный программный продукт, возможно проводить математические расчеты с участием матриц. Данные для выполнения работы выбраны согласно необходимым критериям

Пусть функция y = f(x) задана таблицей своих значений (x_i,y_i). Это означает, что дискретному множеству аргумента {x_i} поставлено в соответствие множество значений функции {y_i} (i =0,1,2,...,n). Эти значения - либо результаты расчетов, либо экспериментальные данные.

Задача интерполирования обычно ставится в следующей форме: найти аналитическую зависимость определенного вида, которая принимает заданные значения в заданных узлах. Этот процесс может быть назван аналитической заменой. Классический численно-аналитический подход заключается в том, что табличная зависимость заменяется многочленом, с которым легко можно выполнить любые действия.

Определим многочлен P_n(x) = c₀xⁿ+ c₁x^n-1+ ... + c_n-1x+ c_n,

значения которого в точках x_i (i = 0,1,..., n) совпадают со значениями данной функции, т.е. P_n(x_i) = y_i(x_i). Геометрически это означает, что нужно найти кривую вида y = P_n(x) , график которой проходит через заданное множество точек.

Многочлен P_n(x) называется интерполяционным многочленом. Точки (x_i, y_i) называются узлами интерполяции. Доказано, что в указанной постановке задача интерполирования всегда имеет единственное решение.

Интерполяционные формулы обычно используются при нахождении неизвестных значений f(x) для промежуточных значений аргумента.

Поставленная задача отыскания многочлена P_n(x) может быть решена путем различных подходов. Из условия P_n(x_i) = y_i, имеем систему

, (i = 0,1,2,....,n).

Нахождение искомых коэффициентов сводится к решению системы (n+1) уравнений с (n+1) неизвестными. Эта система имеет единственное решение, если значения x_i отличны друг от друга.

Интерполяционный многочлен P₃(x) третьей степени функции y = f(x) имеет вид: P₃(x) = Ax³+Bx²+Cx+D.

Для нахождения коэффициентов A, B, C, D необходимо решить систему c помощью электронных таблиц. Задав матрицы Х и Y, следует воспользоваться функциями Excel.

Проделав необходимые манипуляции, получаем таблицу данных:

Затем, с помощью встроенной функции Excel для нахождения обратной матрицы Х МОБР, найдем обратную матрицу Х. Ее синтаксис таков: =МОБР(массив). Данная функция возвращает массив данных, но с уже измененными значениями. Затем с помощью функции МУМНОЖ, перемножаем обратную матрицу и значения матрицы Y. В результате получаем следующее:

Вот так будет выглядеть решение в режиме отображения формул:

Итак, решив данную систему, получаем искомый многочлен

P3(x) = – 0,95x³ + 0,083x² +4,1x +3

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

После окончательного выполнения двух лабораторных работ, становится ясно, что действия, необходимые для получения результата можно выполнять не только вручную, но и программно.

Таким программным средством, позволяющим выполнять задачи по решению различного рода уравнений, матриц и т.д., является программный продукт Excel 2007. Помимо прочего, он также позволяет оптимизировать и ускорить работу над заданиями. Безусловно, выполняя сложные математические расчеты на бумаге, с использованием только калькулятора и справочника формул, есть вероятность допустить грубейшую ошибку, что, несомненно, скажется на окончательном результате вычислений. Но благодаря Excel 2007, можно практически исключить появление ошибок и скорректировать результаты расчетов.

Таким образом, можно сделать вывод, что современные средства обработки математической информации являются наилучшим подспорьем в случае необходимости вычисления больших объемов математической информации.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Общий курс высшей математики для экономистов. Учебник/ Под. ред. В.И. Ермакова. – М.: ИНФРА-М, 2001.

2. Васильков Ю.В., Василькова Н.Н. Excel. Сборник примеров и задач. – М.: Финансы и статистика. 2003.

3. Турчак Л.И. Основы численных методов. – М.: Наука, 1987.

4. Плис А.И., Сливина Н.А. Лабораторный практикум по высшей математике. – М.: Высшая школа, 1983.