Основные свойства пределов

ТЕОРЕМА 1. Единственность предела.

Если функция f (x) имеет в точке а конечный предел, то только один.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.

Доказательство теоремы проведем для случая, когда а — конечное число. Предположим, что функция f (x) имеет в точке a два различных конечных предела: = А и = В, A ≠ B. Пусть А < B. Возьмем окрестности U (A,e) и U (B,e) точек A и B радиуса . Поскольку = А и = В, то

$ (a, d₁): (x Î (a, d₁) Þ f(x) Î U (A,e)) и

$ (a, d₂): (x Î (a, d₂) Þ f(x) Î U (B,e)).

Возьмем число d = min {d₁, d₂}. Так как (a, d₁) и (a, d₂) являются окрестностями одной и той же точки а, то окрестность (a, d) совпадает с меньшей из них и содержится в большей. Следовательно, для х из этой окрестности выполняются оба условия: f(x) Î U (A,e) и f(x) Î U (B,e), то есть

Из последней системы следует, что и одновременно, что невозможно. Получили противоречие, следовательно, A = B. Теорема доказана. Для случаев a = ± теорема доказывается аналогично.

ТЕОРЕМА 2. Предел константы.

Если f (x) = C для любого x из некоторой проколотой окрестности (a, d) точки a, то = C.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.

Возьмем произвольное e > 0. Поскольку для любого x из (a, d) имеем , то есть f(x) Î U (C,e), то = C. Теорема доказана.

ТЕОРЕМА 3. Арифметические свойства пределов.

Пусть функции f(x) и g(x) имеют в точке a конечные пределы A и B. Тогда в точке a существуют конечные пределы функций f(x) ± g(x), f(x) · g(x) и (при B ≠ 0), причем = A ± B, = A · B, .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.

Докажем теорему для суммы функций в случае, когда а — конечное число.

Возьмем произвольное e > 0. Поскольку = А, то существует проколотая окрестность (a, d₁), для каждой точки х из которой справедливо неравенство

| f(x) – A| < e/2. Поскольку = В, то существует проколотая окрестность (a, d₂), для каждой точки х из которой справедливо неравенство | g(x) – B| < e/2. Возьмем d = min {d₁, d₂}. Тогда окрестность (a, d) совпадает с меньшей из окрестностей (a, d₁) и (a, d₂), и, следовательно, для точек этой окрестности справедливы оба из указанных неравенств. В результате для любого х из (a, d) имеем | f(x) + g(x) – (A + B) | = | ( f(x) – A)+ (g(x) – B) | £ | ( f(x) – A) | + | (g(x) – B) | < e/2 + e/2 = e. Следовательно + g(x) = A + B. Доказательство теоремы для суммы функций закончено. Остальные утверждения теоремы примем без доказательства.

ТЕОРЕМА 4. Об ограниченности функции, имеющей конечный предел.

Если функция f(x) имеет в точке а конечный предел = А, то существует проколотая окрестность точки а, в которой функция f(x) ограничена.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.

Возьмем произвольное e > 0. Поскольку = А, то существует проколотая окрестность (a, d), для каждой точки х из которой справедливо неравенство | f(x) – A| < e. Раскрывая модуль, получим – e < f(x) – A < e, A – e < f(x) < A + e. Справедливость последнего неравенства означает ограниченность функции f(x) в окрестности (a, d). Теорема доказана.

ТЕОРЕМА 5. О сохранении знака.

Пусть = A > B. Тогда существует проколотая окрестность (a, d) точки a, для любой точки x из которой справедливо неравенство f(x) > B.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.

Возьмем e . Согласно определению предела для этого e существует проколотая окрестность (a, d) точки a, для любой точки x из которой справедливо неравенство , которое равносильно неравенствам

, ,

, .

Из последнего неравенства следует, что , а так как A > B, то . Получили, что для любой точки x из проколотой окрестности (a, d) точки a справедливо неравенство f(x) > B. Теорема доказана.

Замечание. Если = A < B, то существует проколотая окрестность (a, d) точки a, для любой точки x из которой справедливо неравенство f(x) < B. Докажите самостоятельно.

ТЕОРЕМА 6. О предельном переходе в равенстве и неравенстве.

Пусть в некоторой проколотой окрестности (a, d) точки a функции f(x) и g(x) определены и существуют пределы и .

Тогда если для любого x из (a, d) f(x) = g(x), то = ,

если для любого x из (a, d) f(x) £ g(x) или f(x) < g(x), то £ .

Без доказательства.

ТЕОРЕМА 7. Принцип сжатой переменной.

Пусть в некоторой проколотой окрестности (a, d₀) точки a функции f(x), g(x) и h(x) определены, и для любого x из (a, d₀) справедливо неравенство f(x) £ h(x) £ g(x). Тогда если в точке a существуют равные между собой пределы = = A, то существует = A.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.

Доказательство рассмотрим для случая конечной точки а.

Возьмем произвольное e > 0. Поскольку = А и = A, то существует проколотая окрестность (a, d₁), для любой точки x из которой справедливо неравенство | f(x) – A| < e, и существует проколотая окрестность (a, d₂), для любой точки x из которой справедливо неравенство | g(x) – A| < e. Возьмем d = min {d₀, d₁, d₂}. Тогда окрестность (a, d) совпадает с меньшей из окрестностей (a, d₀), (a, d₁) и (a, d₂), и, следовательно, для точек этой окрестности справедливы три неравенства: f(x) £ h(x) £ g(x), | f(x) – A| < e, | g(x) – A| < e, то есть

f(x) £ h(x) £ g(x), A – e < f(x) < A + e и A – e < g(x) < A + e. Отсюда следует, что для всех х из (a, d) справедливы неравенства A – e < f(x) £ h(x) £ g(x) < A + e, то есть A – e < h(x) < A + e, или | h(x) – A| < e. Значит, = A. Теорема доказана.

ТЕОРЕМА 8. О пределе монотонной функции.

Пусть функция f(x) определена и монотонно возрастает на промежутке [a; +¥). Тогда существует предел конечный, если f(x) ограничена сверху, и бесконечный, равный +¥, в противном случае. Без доказательства.

БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ ФУНКЦИИ