Свойства пределов функции. Первый замечательный предел

1) Предел суммы

Предел суммы равен сумме пределов, если каждый из них существует, т.е.

Свойства пределов функции. Первый замечательный предел - student2.ru

2) Предел разности

Предел разности равен разности пределов, если каждый из них существует, т.е.

Свойства пределов функции. Первый замечательный предел - student2.ru

3) Предел постоянной величины

Предел постоянной величины равен самой постоянной величине:

Свойства пределов функции. Первый замечательный предел - student2.ru

4) Предел произведения функции на постоянную величину

Постоянный коэффициэнт можно выносить за знак предела:

Свойства пределов функции. Первый замечательный предел - student2.ru

5) Предел произведения

Предел произведения равен произведению пределов, если каждый из них существует, т.е.

Свойства пределов функции. Первый замечательный предел - student2.ru

6) Предел частного

Предел частного равен частному пределов, если каждый из них существует и знаменатель не обращается в нуль, т.е.

Свойства пределов функции. Первый замечательный предел - student2.ru

7) Предел степенной функции

Свойства пределов функции. Первый замечательный предел - student2.ru

где степень p - действительное число.

8) Предел показательной функции

Свойства пределов функции. Первый замечательный предел - student2.ru

где основание b > 0.

9) Предел логарифмической функции

Свойства пределов функции. Первый замечательный предел - student2.ru

где основание b > 0.

10) Теорема "о двух милиционерах"

Предположим, что $ g(x)\leqs f(x)\leqs h(x)$ для всех x близких к a, за исключением, быть может, самой точки x = a. Тогда, если

Свойства пределов функции. Первый замечательный предел - student2.ru то Свойства пределов функции. Первый замечательный предел - student2.ru То есть функция f (x) остается "зажатой" между двумя другими функциями, стремящимися к одному и тому же пределу A.

Первый замечательный предел: Свойства пределов функции. Первый замечательный предел - student2.ru

Непрерывность функции в точке. Непрерывность элементарных функций.

Функция y=f(x) называется непрерывной, в точке x0, если выполняются 3 условия:

1) Она определена в некоторой окрестности в точке х0

2) Существует lim f(x)=A при х->х0

3) f(x0)=A

Если ни одно из этих условий не выполняется, функция называется разрывной в точке х0

Функция называется непрерывной на открытом интервале, если она непрерывна в каждой точке этого интервала.

lim (delta y)=0 при (delta x ->0) – основное свойство непрерывности функции.

Если функция непрерывна в точке х0, то малому приращению аргумента соответствует малое приращение функции.

Функция называется непрерывной на замкнутом интервале, если

1) 1)Она непрерывна на открытом интервале

2) 2)Непрерывна слева в точке В и непрерывна справа в точке А

Функция непрерывна слева в точке х0, если:

1) определена в некоторой левой полу окрестности

2) существует lim f(x)=A при x->x0-0

3) A=f(x0)

Аналог даётся непрерывности справа.

Классификация точек разрыва функции

1) Если выполняется 1 и 2 условие непрерывности функции в точке, а 3 не выполняется, то точка х0 называется точкой устранимого разрыва.

2) Если функция разрывна в точке х0, но lim f(x)=A при x->x0-0, lim f(x)=B при x->x0+0 и А не равно В, то х0 называется точкой конечного скачка или точкой разрыва первого рода.

Теоремы Коши

1.Пусть функция непрерывна на замкнутом интервале [a,b] и на концах этого интервала принимает разные по знаку значения. f(A)*f(B)<0. Тогда внутри этого интервала найдётся такая точка С принадлежащая (a,b), что f(C)=0

2.Функция непрерывная на замкнутом интервале [А,В] принимает своё наибольшее и наименьшее значение

3.Функция непрерывная на замкнутом интервале принимает все значения между наибольшим и наименьшим.

Наши рекомендации