Обсуждение основных понятий

В г. Белово

Т.А. Баздерова

НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Учебное пособие

Белово 2012

УДК 514.18

Рецензенты: кафедра начертательной геометрии и графики Алтайского государственного технического университета (зав. кафедрой, доктор технических наук, профессор А. М. Гурьев), доктор технических наук, профессор, член петровской Академии наук и искусств К. И. Вальков, кандидат технических наук, доцент Кемеровского технологического института пищевой промышленности М. Н. Потапова.

Баздерова Т. А. Начертательная геометрия : учеб. пособие / Филиал КузГТУ в г. Белово. – Белово, 2012. – 135 с.

Излагаются теоретические основы и методы построения и чтения чертежей. Рассматривается моделирование геометрических образов, решение позиционных и метрических задач.

Написано по дисциплине «Начертательная геометрия» в соответствии с образовательным стандартом и уровнем подготовки студентов дневной и заочной форм обучения горных специальностей.

Печатается по решению редакционно-издательского совета КузГТУ.

УДК 514.18

	© Баздерова Т.А., 2012
ISBN 978-5-8907-8710-0	© КузГТУ, 2012

ОГЛАВЛЕНИЕ   Предисловие…………………………………………………………
Методические рекомендации………………………………………
1. Обсуждение основных понятий……………………………
1.1. Предмет начертательной геометрии, содержание, цель и задачи курса. Математическое моделирование…………………...
1.2. Краткая история развития начертательной геометрии…….
1.3. Геометрические множества и их размерность……………....
1.4. Понятие о проективном пространстве……………………….
1.5. Аппарат геометрического моделирования………………….
1.6. Классификация геометрических моделей…………………..
2. Метод двух изображений……………………………………
2.1. Метод двух изображений и его частные варианты. Эпюр Монжа. Связь между декартовой системой координат и ортогональными проекциями……………………………………………..
2.2. Модель точки и прямой линии. Взаимное положение прямых линий…………………………………………………………...
2.3. Модель плоскости и многогранников ……………………....
2.4. Преобразования и построение дополнительного поля проекций ………………………………………………………………
3. Моделирование поверхностей……………………………..
3.1. Классификация поверхностей. Определитель или репер поверхности………………………………………………………….
3.2. Моделирование поверхностей вращения..…………………..
3.3. Моделирование винтовых поверхностей………………….... 3.4. Моделирование линейчатых поверхностей…………....……
4. Позиционные задачи…………………………………….......
4.1. Пересечение геометрических образов в пространстве и на плоскости…………………………………………………………… 4.2. Пересечение проецирующих геометрических образов……. 4.3. Пересечение геометрических образов общего положения... 4.3.1. Пересечение прямой линии с плоскостью ……………….. 4.3.2. Пересечение прямой линии с поверхностью……………... 4.3.3. Пересечение плоскостей…………………………………… 4.3.4. Пересечение плоскости с поверхностью………………….. 4.3.5. Пересечение многогранников. Сетка Ананова......………..
4.4. Пересечение поверхностей………………………………… 4.4.1. Метод концентрических сферических посредников …... 4.4.2. Метод эксцентрических сферических посредников..……. 4.4.3. Метод секущих плоскостей………………………………... 4.4.4. Частные случаи пересечения поверхностей………………   5. Метрические задачи……………………………………… 5.1. Перпендикулярность прямой и плоскости, двух плоскостей. Касательные и нормали к поверхности…………………….. 5.2. Решение метрических задач на измерение расстояний. Схема решения задач на измерение расстояний………………….
5.3. Решение метрических задач на измерение углов. Схема решения задач на измерение углов………………………………... 5.4. Построение разверток………………………………………...
5.5. Решение конструктивных задач..…………………………….
Список рекомендуемой литературы…………………………….

ПРЕДИСЛОВИЕ

Пространственное мышление как сложное структурное образование, в котором проявляются общие и специфические закономерности умственной деятельности, является фундаментальной особенностью психики, обеспечивающей возможность ориентации в пространстве (практическом и теоретическом). Формирование пространственного мышления, познание пространственных свойств и отношений в их всеобщих и закономерных связях, происходит в системе общего развития по мере овладения человеком предметным миром, в процессе общения, в ходе специального обучения и трудовой деятельности. В практике обучения, как показывает опыт и многочисленные исследования, пространственное мышление формируется в значительной мере стихийно. В различных учебных предметах реальное пространство отображается условно-графическими заменителями, имеющими различную структуру пространственного образа с применением различных систем отсчёта и условий функционирования. Это осуществляется неравномерно без системной программы и требует от учащихся сложной системы знаний, умений и навыков для их динамичного представления. В повседневной жизни, науке и технике широко используется геометрическое моделирование, позволяющее более наглядно выявлять существующие зависимости и прогнозировать их проявление. Отражение реальных объектов происходит с помощью образов, знаков или каких-либо других средств индикации. При этом усиливается тенденция к схематизации изображений. Опосредованный характер управления автоматически действующими техническими объектами и технологическими процессами осуществляется через приборные панели, пульты управления и сигнализирующие устройства, позволяющие принимать и перерабатывать значительную информацию по обнаружению конструктивных и функциональных зависимостей, которые лежат в основе протекающих производственных процессов и скрыты от непосредственного наблюдения. В настоящее время только в технических вузах в рамках дисциплины начертательной геометрии делается попытка ознакомления с геометрическими законами организации окружающего мира и передачи этой информации различными способами.

При написании учебного пособия учитывались особенности горных специальностей и ранее накопленный опыт преподавания графических дисциплин в Кузбасском государственном техническом университете и других вузах страны. Цель преподавания инженерной графики как обучающей дисциплины заключается в том, чтобы «вооружить» будущих горных инженеров аппаратом геометрического моделирования, необходимым для конструирования и использования геометрических моделей.

Дисциплина начертательная геометрия и инженерная графика является фундаментальной дисциплиной в подготовке инженера любого профиля. Это одна из основных дисциплин общеинженерного цикла. Проектирование, изготовление и эксплуатация машин, механизмов, а также современных горных предприятий и сооружений связано с изображениями: рисунками, эскизами, чертежами. Это ставит перед дисциплиной ряд важных задач. Она должна обеспечить будущим инженерам знание общих методов построения и чтения чертежей, а также решения большого числа разнообразных инженерно-геометрических задач, возникающих в процессе проектирования, конструирования, изготовления и эксплуатации различных технических и других объектов. Первоначальная задача дисциплины начертательной геометрии заключается в том, чтобы научить приемам и методам построения пространственных геометрических форм на плоскости и решение позиционных и метрических задач, относящихся к этим формам по их проекционным изображениям. Изучение правил построения и чтения чертежей тесно переплетается с формированием основных геометрических понятий. Особенность курса начертательной геометрии, как раз, состоит в том, что наряду с изучением общетеоретических положений и решением графических задач развиваются пространственные представления и творческие способности.

В предлагаемом учебном пособии по начертательной геометрии рассматривается моделирование геометрических образов, решение позиционных и метрических задач. При этом сочетаются достаточная широта обобщения с отчетливо выраженной специализацией и выявляются единые алгоритмы решения задач, что позволяет необходимый объем материала изложить при минимально допустимом количестве часов, отводимых на изучение данного курса. Так как основная цель – формирование основных геометрических понятий для общения, передачи и сохранения информации в области науки и техники, то особое внимание уделено рассмотрению геометрических множеств и их размерности, значительно расширен класс изучаемых геометрических моделей (предметные, расчетные и познавательные) и показаны возможные пути их применения.

Для выделения геометрических образов используется традиционно обозначение: точки обозначаются прописными буквами латинского алфавита или цифрами (римскими или арабскими), прямые и кривые линии – строчными буквами латинского алфавита, а плоскости и поверхности – строчными буквами греческого алфавита. Для установления различия между проекциями точек используются подстрочные индексы (1 – горизонтальная проекция, 2 – фронтальная проекция, 3 – профильная проекция, 4, 5.. – дополнительные проекции). Для обозначения симметричных точек возможно использование надстрочных индексов.

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ

Поиск технических решений опирается на графическую дея­тельность, которая неотделима от проектной работы инженеров на всех ее этапах. Воображение инженера и выполняемый им чертеж постоянно находятся в диалектическом взаимодейст­вии и взаимно дополняют друг друга, так как инженер не может удерживать в сознании настолько ясные и устойчивые пространственные образы, чтобы оперировать ими в уме, не прибегая к чертежу. Учебным планом по данной дисциплине предусмотрены лекции и практические занятия. При обучении курсу начертательной геометрии наряду с общетеоретическими положениями излагаются и решаются графические задачи. Методологию изучения данной дисциплины точно отражают слова: знать – значит уметь начертить. Поэтому учебный процесс базируется на выполнении большого объема графических работ, требующих от студентов регулярных занятий в течение всего семестра. Большое значение имеет организация самостоятельной работы студентов. Студенты должны готовиться к каждой лекции и практическому занятию: повторять изученный материал, читать дополнительную литературу и самостоятельно решать задачи. Успешно освоить учебную программу можно лишь при условии систематических занятий в течение всего семестра, активная работа на лекциях и практических занятиях, аккуратное выполнение заданий в установленные сроки, все это способствует переводу знаний в долговременную память, на которой основывается подготовка специалистов. При решении задач необходимо обращать внимание на алгоритм решения, проводить анализ полученного решения. Графические построения выполняются на форматах чертежной бумаги, а также на бумаге в клетку с использованием чертежных инструментов и цветных карандашей. Изображение геометрических образов разным цветом позволяет заменить их обозначение, что делает чертежи более понятными. Принято горизонтали проводить красным цветом, а фронтальные прямые – синим цветом. Для прямых, параллельных профильной плоскости проекций, можно использовать желтый, зеленый или коричневый цвет. При построении нескольких линий на одной поверхности удобно выделить их разным цветом, например, на конусе эллипс изобразить красным, параболу – зеленым, а гиперболу – синим. При построении пересечения двух поверхностей также вместо обозначения удобно выделение линии цветом. Линии проекционной связи и другие вспомогательные построения выполняют чуть заметными линиями и не убираются с чертежа.

Долгие годы математика как учебный предмет в школе строилась на дедуктивной (аксиоматической) основе и требовала для своего освоения хорошо развитого теоретического мышления, функционирующего в научных понятиях по законам словесно-дискурсивной логики на предельно абстрактных объектах – числе и фигуре, как множестве точек. Такое построение содержания математического образования не опиралось на целостное образное восприятие мира, организованного определенным образом в видимом или воображаемом пространстве. При изучении начертательной геометрии необходимы знания курса геометрии и черчения средней школы. Чтобы выбрать оптимальные условия рациональной организации своей учебной работы, студенты должны оценить свои индивидуальные особенности и уровень сформированности пространственных представлений и геометрических понятий.

Для этого предлагается примерный перечень вопросов, который позволит повторить и более полно осмыслить школьный курс геометрии, а также развить пространственное воображение:

1. Какие существуют способы задания плоскости, т. е. совокупность каких геометрических элементов определяют плоскость?

2. Какие возможны взаимные положения точки и прямой линии, двух прямых линий, точки и плоскости, четырех точек, прямой линии и плоскости, двух плоскостей?

3. Сколько можно провести через точку прямых линий, параллельных заданной прямой линии?

4. Сколько можно провести через точку прямых линий, пересекающих заданную прямую линию? Что является геометрическим местом этих прямых линий?

5. Сколько можно провести через точку плоскостей, параллельных заданной плоскости?

6. Что является геометрическим местом точек пространства, удаленных от заданной плоскости на заданное расстояние?

7. Сколько можно провести через одну из параллельных прямых линий плоскостей, параллельно другой прямой линии?

8. Сколько можно провести через точку плоскостей, параллельно заданной прямой линии?

9. Сколько можно провести плоскостей через одну из скрещивающихся прямых линий параллельно другой и наоборот? Как называются эти плоскости?

10. Сколько можно провести через точку прямых линий перпендикулярных к заданной плоскости?

11. Сколько можно провести через точку плоскостей перпендикулярно к заданной прямой линии?

12. Что является геометрическим местом точек пространства, равноудаленных от двух заданных точек?

13. Что является геометрическим местом точек пространства, равноудаленных от трех заданных точек?

14. Сколько можно провести через точку прямых линий, пересекающих заданную прямую линию под прямым углом (перпендикулярно)? Если точка лежит на заданной прямой линии, то, что является геометрическим местом этих прямых линий?

15. Сколько можно провести через прямую линию плоскостей перпендикулярно к заданной плоскости (какие возможны варианты)?

16. Что является геометрическим местом точек пространства, равноудаленных от заданных плоскостей?

17. Что является геометрическим местом точек пространства, равноудаленных от заданных прямых параллельных линий?

18. Что называется углом. Какие они бывают?

19. Как определяется угол между скрещивающимися прямыми линиями?

20. Сколько можно провести через точку прямых линий, перпендикулярных к заданной прямой линии, включая скрещивающиеся линии, и что является геометрическим местом прямых искомых линий?

21. Что является геометрическим местом точек плоскости и пространства, равноудаленных от сторон заданного угла?

22. Как определяется угол между прямой линией и плоскостью?

23. Что называется двугранным углом и чем он измеряется?

24. Сколько двугранных углов у тетраэдра, куба?

25. Что является геометрическим местом точек пространства, равноудаленных от двух пересекающихся плоскостей?

26. Сколько можно провести прямых линий, пересекающих две скрещивающиеся прямые линии под прямым углом?

27. Какая поверхность описывается прямой линией при её вращении вокруг другой прямой параллельной линии?

28. Какая поверхность описывается прямой линией, при её вращении вокруг оси, пересекающейся с ней под каким-то углом?

29. Какую поверхность описывает окружность при ее вращении вокруг диаметра?

30. Что является элементом касания плоскости с поверхностью сферы, цилиндра и конуса?

31. Сколько можно провести через точку прямых линий, отстоящих от заданной прямой линии на определенном расстоянии, и что является геометрическим местом точек этих прямых линий?

32. Сколько можно провести через одну точку прямых линий, удаленных от другой точки на заданное расстояние, и что является геометрическим местом прямых искомых линий?

33. Сколько можно провести плоскостей, находящихся от заданной точки на заданном расстоянии, и что это за множество?

34. Сколько можно провести плоскостей, на заданном расстоянии от заданной прямой линии, и что это за множество?

35. Сколько можно провести через точку плоскостей, наклоненных к заданной плоскости под заданным углом, и что это за множество?

36. Сколько можно провести через точку прямых линий, касательных к поверхности цилиндра, и что является геометрическим множеством прямых искомых линий?

37. Сколько можно провести через точку прямых линий, касательных к поверхности сферы, и какие возможны варианты (если точка лежит на сфере)?

38. От чего зависит положение плоскости и сферы (внешнее, касательное и секущее)?

39. Сколько можно провести через точку прямых линий, касательных к конической поверхности?

40. Сколько можно провести через прямую линию плоскостей, касательных к поверхности сферы, и всегда ли это возможно?

41. Всегда ли можно через заданную прямую линию провести плоскость, касательную к поверхности цилиндра, и сколько имеется таких плоскостей?

42. Всегда ли можно через заданную прямую линию провести плоскость, касательную к поверхности конуса, и сколько имеется таких плоскостей для возможного случая?

43. Всегда ли можно провести плоскость, касательную к цилиндру и сфере, конусу и сфере, двум цилиндрам, цилиндру и конусу, двум конусам, двум сферам (указать число искомых плоскостей, когда решение задачи возможно)?

44. Всегда ли можно провести через точку плоскость, касательную к двум сферам, Указать число искомых плоскостей, когда решение задачи имеет место?

45. Всегда ли можно провести плоскость, касательную к трем сферам (указать число возможных плоскостей, когда решение задачи возможно)?

46. Как построить сферу, касательную к пересекающимся плоскостям, причем точка касания с одной из плоскостей задана?

47. Как построить куб с заданной вершиной и направлением диагонали основания?

48. Как провести прямую линию, равноудаленную от трех заданных точек, и сколько таких прямых линий?

49. Как пересечь три произвольные прямые линии другой прямой линией, и сколько таких прямых линий (как называется это множество)?

50. Как провести прямую линию, параллельную заданной прямой линии и пересекающую две другие прямые линии?

ОБСУЖДЕНИЕ ОСНОВНЫХ ПОНЯТИЙ

Предмет начертательной геометрии, содержание, цель и задачи курса. Математическое моделирование

Основной задачей высшей технической школы является подготовка специалистов, которые, используя достижения науки и техники, ставя и решая новые задачи, обеспечат создание продукции мирового уровня. Наше будущее зависит от эффективности и рациональности решения, стоящих перед нами проблем, т. е. глубины знаний, умения соединять последние достижения научной мысли своего времени с практикой, передовым производственным опытом, широты научного кругозора, интуиции и таланта инженера. Работа инженера является наиболее творческой деятельностью, т. к. на всем протяжении истории развития человечества она связана с поиском, изобретением, разработкой и освоением новых машин, приборов и оборудования, новых технологий и материалов. Первые навыки технического проектирования формируются в курсе инженерной графики, являющейся базой для освоения специальных дисциплин в технических вузах. Разработка и освоение новых машин, приборов и оборудования, новых технологий и материалов возможно только на основе достижений современной науки и осуществляется творчески одаренными личностями. Поэтому школа и вуз должны готовить будущих специалистов, способных решать задачи, для которых еще неизвестны способы решения. Решение современных инженерных задач связано с анализом и оценкой реальной ситуации, определением принципиальных возможностей использования существующих научно-технических идей и технологий, разработкой новых моделей и этапов решения инженерных задач, выбором оптимального варианта решения инженерной задачи, управления решением инженерной задачи, оформлением и внедрением результатов решения инженерной задачи. Для того, чтобы творчески решать задачи в нестандартных условиях, гибко и самостоятельно применять приобретенные знания в разнообразных жизненных ситуациях, уметь анализировать, прогнозировать, планировать, кор­ректировать не только свои действия, но и действия других людей в жизненном пространстве, студенты в процессе организации учебной работы должны развивать умственные интеллектуальные способности, которые определяются особенностями восприятия, представлений, памяти, мышле­ния, внимания, эрудированности, общей культуры и широты познавательных интересов, уровня владения определенным кру­гом логических операций. В структуре интеллекта можно условно выделить два ас­пекта: вербально-логический, связанный с речевыми ответами, и действенно-практический, состоящий из интеллектуальных операций на основе развития образного и практического мышления. Ведущие компоненты в структуре умственных способностей будущих инженеров – высокий уровень развития пространственных представлений, логичности практического мышления, эвристического мышления и быстрота сообразительности. Эти качества является профессионально необходимыми в структуре умственных способностей будущего инженера.

Пространственные представления об окружающем мире формируются у человека от рождения на житейском опыте, которые затем перерастают в понятия. Изучение геометрических законов (международного языка общения) в школе приходится на уроки рисования, черчения и геометрии, а в вузе в рамках дисциплин начертательная геометрия и инженерная графика. Целью курса начертательной геометрии является систематизировать уже имеющиеся пространственные представления, развить их. Будут ли эти представления и понятия верными, научно обоснованными, глубокими, или же поверхно­стными, зависит от целенаправленности, систематичности работы. Техническое образование благодаря изучению цикла общеобразовательных и специальных дисциплин, основанных на большом количестве графической информации, оказывает максимальное влияние на сообразительность человека, а известно, что сообразительность является определяющим фактором для творческого мышления. Знание основных геометрических законов формирует пространственно-геометрическую логику мышления. Чертеж как язык техники дает геометрическую информацию о форме деталей узла, принципе работы узла, перемещении деталей относительно друг друга, преобразовании движений, возникновении усилий, напряжений, преобразовании энергии в механическую работу и т. п. В техническом вузе чертежи и схемы имеют место во всех изучаемых общетехнических и специальных дисциплинах. Для передачи различной информации чертежи дополняют различными знаками и символами, а для их словесного описания используются новые понятия, в основу формирования которых положены фундаментальные понятия физики, химии и математики. Таким образом, геометрические модели становятся интегрирующим звеном естественных и технических учебных дисциплин. Любое производство невозможно без предварительной разработки технической документации. Неотъемлемой частью любого проекта являются чертежи, схемы или карты. Большинство используемых чертежей построено в системе ортогональных проекций. Теория построения таких чертежей изложена в начертательной геометрии. Проникно­вение в большинство профессиональных сфер техни­ки, в том числе и компьютерной, требует от человека понимания языка техники, умения воспринимать ин­формацию, кодировать и декодировать ее. Наиболее широко применяемый способ представления информа­ции – графический – строится на умении опериро­вать графическими изображениями: читать их, созда­вать, преобразовывать, выполняя эти действия, как на моделях, так и в уме. Начертательная геометрия плодотворно питает другие области знаний. По образному выражению Д.И. Менделеева, «Геометрические знания составляют основу всей точной науки». Геометрия всегда “помогала разуму познать истину”, являясь “правительницей умственных изысканий”.

Любая область человеческой деятельности: научная, производственная, бытовая – всегда связана с накоплением, переработкой и передачей информации о процессах и явлениях окружающего мира. Для переработки и передачи такой информации используются разнообразные средства: устная и письменная речь, математические знаки и символы, нотная запись, магнитные ленты, кино и фото съемка, электронные приборы и устройства, макеты, чертежи, рисунки и многое другое. Одну и ту же информацию можно передавать различными способами. Так, сообщая сведения о форме технической детали, можно использовать словесное описание, рисунок, чертеж, макет. Экспериментальные замеры процесса равномерного прямолинейного движения некоторого тела и расчет по формуле доставляют одну и ту же информацию о длине пути, пройденного телом. Если различные физические предметы, явления или процессы позволяют извлечь одну и ту же информацию, то принято говорить, что эти предметы, явления или процессы моделируют друг друга. Нетрудно понять, что без моделирования невозможно получить или передать какую-либо информацию об окружающем нас мире. Вот почему изучение различных моделей и методов моделирования имеет очень важное практическое значение. Общее число типов моделей, применяемых в науке и технике, необозримо велико. Это и различные натурные модели (макеты), аналоговые модели различных типов характера их устройства, кибернетические модели, построенные на основе современной вычислительной техники, и многие другие. Среди всего многообразия моделей очень большое и самое широкое распространение получили математические модели. В настоящее время математические модели широко используются в науке и технике. Создание и внедрение автоматизированных систем проектирования и автоматизация производственных процессов во многом зависят от эффективных математических моделей этих процессов. Под математическими моделями обычно понимаются различные математические конструкции (формулы, зависимости), пригодные для описания и воспроизведения взаимосвязей между параметрами моделируемого объекта. Известно, что математика условно делится на два направления: аналитическое, которое оперирует с количествами и числами, и геометрическое, оперирующее с формами и фигурами. При конструировании математических моделей используют как аналитические, так и геометрические (или, как иногда говорят, синтетические) методы. В первом случае от условия поставленной задачи переходят к чисто количественному описанию и устанавливают зависимость между действующими числами, во втором случае от условия задачи переходят к геометрическому (пространственному) описанию и устанавливают зависимость между действующими геометрическими образами (фигурами). На практике часто бывает очень полезно совместное использование тех и других методов. В том случае, когда модели строятся на основе геометрических понятий, речь идет о геометрических моделях, а методы их конструирования называют геометрическим моделированием.