Властивості невизначеного інтеграла

1. а) .

б) .

в) .

2. а) .

б) .

в) , якщо .

Заміна змінної

→

→

→

→

→

→

→ ,

→

→

→ ,

→ ,

→

→

Інтегрування частинами

1) ; ; .

2) , ; ; .

3) Циклічні інтеграли

; ; ; .

Таблиця інтегралів

1. ,

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

КОМПЛЕКСНІ ЧИСЛА

Вираз вигляду , де і - дійсні числа, , називається комплексним числом (в алгебраїчній формі).

Комплексне число = називається комплексно-спряженим числом до комплексного числа .

Дії над комплексними числами. Нехай дано два комплексні числа: та . Тоді

1) ;

2) ;

3) = .

Для будь-якого комплексного числа маємо: .

Величина називається модулем комплексного числа. Кут , що визначений наступними рівностями

, , називається аргументом комплексного числа.

Будь-яке комплексне число можна записати в тригонометричній формі:

,

де .

Приклад. Дано комплексне число . Треба:

записати дане число в алгебраїчній та в тригонометричній формах.

Розв’язання Приведемо комплексне число до алгебраїчної форми: .

Для цього помножимо чисельник та знаменник дроби на число , комплексно-спряжене до знаменника. Отримаємо:

.

Це й є алгебраїчна формакомплексногочисла , де .

Приведемо комплексне число до тригонометричного виду: , де - модуль комплексного числа , - аргумент цього числа.

Знайдемо . Для знаходження маємо систему:

,

або ,

і тоді . Звідси, тригонометрична форма комплексного числа має вигляд: .

КОНТРОЛЬНА РОБОТА №1

Тема Матриці. Визначники. Системи лінійних алгебраїчних рівнянь. Елементи векторної алгебри. Аналітична геометрія на площині. Аналітична геометрія у просторі. Функції. Обчислення границь. Диференційованість функцій. Невизначений інтеграл. Комплексні числа

Завдання до контрольної роботи № 1

1. Завдання. Розв’язати систему рівнянь методом Крамера.

1. 6.

2. 7.

3. 8.

4. 9.

5. 10.

2. Задача. Задано координати вершини піраміди. Знайти її об’єм.

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

6. .

7. .

8. .

9. .

10. .

3. Задача. Задано координати вершин трикутника АВС.

Знайти:

1. Рівняння медіани ВК.

2. Довжину медіани ВК.

3. Рівняння прямої, що проходить через вершину А паралельно стороні ВС.

4. Рівняння висоти АР.

5. Довжину висоти АР.

6. Точку перетину медіани ВК та висоти АР.

7. Кут КВС.

8. Площу трикутника АВС.

Варіант
	(-4; 2)	(1; 5)	(-1; 5)
	(4; 1)	(2; 3)	(1; -2)
	(-6; 1)	(3; 7)	(-2; 5)
	(-1; 6)	(3; 3)	(8; 0)
	(1; -1)	(2; 5)	(4; -1)
	(4; -3)	(-1; 5)	(5; -1)
	(3; 0)	(1; 6)	(7; -2)
	(0; 2)	(-1; 6)	(-4; -2)
	(2; 1)	(3; -1)	(9; -1)
	(-1; 2)	(1; 8)	(4; 4)

4. Задача. Побудувати лінію. Знайти довжини осей, координати фокусів, ексцентриситет, рівняння директрис (для еліпса), рівняння асимптот (для гіперболи).

Варіант	Рівняння лінії	Варіант	Рівняння лінії

5. Задача. Знайти координати центра і радіус кола. Побудувати коло.

Варіант	Рівняння кола	Варіант	Рівняння кола

6.Завдання.Знайти границі функцій, не користуючись правилами Лопіталя.

1. а) б)

в) г)

д)

2. а) б)

в) г) д) ;

3. а) б)

в) г)

д)

4. а) б)

в) г)

д)

5. а) б)

в) г)

д)

6. а) б)

в) г) д)

7. а) б)

в) г)

д)

8. а) б)

в) г)

д)

9. а) б)

в) г)

д)

10. а) б)

в) г)

д)

7. Завдання. Знайти похідні даних функцій.

8. Завдання.Записати рівняння дотичної та нормалі до лінії, що задана рівнянням y = f(x) в точці х₀.

1. , ; 6. , ;

2. , ; 7. , ;

3. , ; 8. , ;

4. , ; 9. , ;

5. , ; 10. , .

9. Завдання. Знайти екстремуми функції:

1. ; 6. ;

2. ; 7. ;

3. ; 8. ;

4. ; 9. ;

5. ; 10. .

10. Завдання. Знайти невизначені інтеграли:

1. а) ; 6. а) ;

б) ; б) ;

в) ; в) ;

2. а) ; 7. а) ;

б) ; б) ;

в) ; в) ;

3. а) ; 8. а) ;

б) ; б) ;

в) ; в) ;

4. а) ; 9. а) ;

б) ; б) ;

в) ; в) ;

5. а) ; 10. а) ;

б) ; б) ;

в) ; в) ;

11. Завдання. Представити комплексне число в алгебраїчній та тригонометричній формі:

1. ; 6. ;

2. ; 7. ;

3. ; 8. ;

4. ; 9. ;

5. ; 10. .

2. ПРОГРАМА ДИСЦИПЛІНИ “ВИЩА МАТЕМАТИКА”

(2 семестр)