Алгоритм идентификации параметров математической модели

Алгоритм идентификации, используемый в настоящей работе, основан на нестохастической (теоретико-множественной) интерпретации неопределенностей, присущих управ­ляемому процессу или объекту. В данных алгоритмах /3/ неопределенным величинам не приписываются вероятностные свойства с указанием соответствующих статистических распределений. Указываются только некоторые гарантированные оценки множества их возможных значений.

Получение этих оценок осно­вано на рассмотренных в /1/ идеях и способах аппрок­симации выпуклых множеств специального вида (шаровых сегментах), содержащими их эллипсоидами.

Исходной информацией для работы алгоритма идентификации (АИ) являются уравнения (7) модели процесса /2/, текущие измерения вектора входов

и выходов (показаний анализаторов, измеряющих октановое число смеси)

(10)

где - ошибка измерений, причем известно, что

,

известная постоянная, определяемая классом точности измеряющего устройства.

Предполагается известной также правая часть соотношения (8), определяющая меру несоответствия линейной модели

"истинной" модели процесса (7.1). Тогда, исходя из соотношений (7.1), (10) уравнение

измерения октанового числа может быть записано в виде

, (11)

где величина

характеризует как погрешность измерения, так и погрешность, вызванную тем, что формула (11) в целях упрощения ограничи­вается использованием только первого члена, входящим в уравнение (7.1) модели процесса.

Схема адаптивной системы компаундирования товарных бензинов с модулем идентификации представлена на рис. 1.

Априорно известны оценки возможных значений компонент вектора Q коэффициентов модели (7) в виде интервалов (9), где , и - заданные числа для всех i = 1,n . Величины и получаются из оценки результатов работы технологических процессов, предшествующих рассматриваемо­му, и задаются оператором-технологом.

В результате работы алгоритма идентификации строится пос­ледовательность эллипсоидальных множеств в соответствую­щих пространствах , данные множества в дальнейшем условимся называть просто эллипсоидами.

Эллипсоиды имеют вид:

(12)

где - центр эллипсоида,

H(k)- симметрическая положительно определенная матрица, характеризующая многомерный объем эллипсоида.

При возрастании дискретного времени k многомерные объемы эллипсоидов E(k) монотонно убывают.

При этом гарантируется, что вектор Q* октановых чисел компонентов товарного бензина в смешиваемых потоках принадлежит эллипсоидам E(k), то есть, выполняются включения

(13)

для всех k= 1,2, ... .

Центры эллипсоидов принимаются за оценки вектора па­раметров Q* .

Описание алгоритма идентификации приведено в /3/.

Для описания алгоритма построения эллипсоида Е(0) по известному эллипсоиду

Е(k), k = 1, 2, ... , введем следующие обозначения

(14)

где индекс k дискретного времени для сокращения последующих запи­сей опущен.

Построение эллипсоида E(k+1), то есть вычисление его параметров H(k+1) и по известным H(k) и Q(k)осуществляется пос­ледовательно. На первом шаге строится эллипсоид E(k+1), покрывающий пересечение эллипсоида Е⁰ и полосы П⁰.

Затем строятся последовательно эллипсоиды Е^j+1(k+1) = E ^j+1, покрывающие пере­сечения эллипсоидов Е^j+1(k+1) с полосами П^j. С учетом обозначений (14) алгоритм вычисления параметров H(k+1) и Q(k+1) эллипсоида E(k+1) может быть записан в следующем виде

- объем продукта; - объем j-го компонента; - октановое число продукта, (Yк);

- показания О.Ч. на анализаторе октанового числа; - октановое число j-го компонента;

-индентиф-нное О.Ч. j-го компонента; - симметрическая положительно опред-ная матрица;

- оптимальный расход j-го компонента; - изучающая добавка (поправка);

- расчетный расход j-го компонента; к- дискретное время;

Рис. 1. Схема адаптивной системы компаундирования товарных бензинов.

(15)

(16)

где

(17)

(18)

(19)

(20)

параметры алгоритма.

Если при этом получится, что

(21)

то полагается

(22)

Если условие (21) не выполняется, то полагается

(23)

и весь цикл вычислений по формулам (15)-(21) повторяется. Эти циклы выполняются до тех пор, пока не выполнится условие (21) или же число этих циклов не станет равным некоторому целому числу L. В любом из этих случаев полагается . Выбор максимального числа циклов L определяется временными ресурсами ЭВМ.

Если при построении эллипсоида , покрывающего пересечение полосы и эллипсоида для его центра выполняется неравенство

(24)

то вычисления по формулам (15)-(24) при j>1 далее не про­изводятся и полагается

.

При нормальном функционировании анализаторов величина удовлетворяет условию , где S - заданные числа /погрешность измерения октанового числа/. При возникновении неисправности /сбой анализатора/ может оказаться, что . Последнее означает, что некоторый эллипсоид может не пересекаться с полосой . В этом случае вычисленное значение параметра x^j окажется больше единицы x^j 1. При этом полагается и процесс построения последующих эллипсоидов по формулам (15)-(24) про­должается по описанной выше схеме.

В соответствии с подходом к решению задачи оптимизации процесса компаундирования, сформулированным в разделе 1, задача линейного программирования (1)-(6) решается при условии, что вместо неизвестных октановых чисел смешиваемых компонент берутся их оценки , получаемые с помощью алгоритма идентификации.

Очевидно, что решение задачи при оценках будет тем ближе к решению, при известных , чем точнее будут оценки .

В результате получения уравнений измерения октанового числа (25) и (26),

- показания октаномера ; (25)

- уравнение измерения октанового числа, (26)

и выше приведенных ограничений (2), (3) и (4) возникает задача оценивания параметров линейной регрессии (27) при линейных ограничениях на вектор входных переменных /3/.

(27)

где число и вектор входных переменных ( -евклидова норма вектора) предполагаются известными в каждый момент k дискретного времени, - вектор неизвестных (оцениваемых) па­раметров ( - n-мерное евклидово вещественное пространство), Т - символ транспонирования. Неизвестная величина (помеха) предполагается ограниченной, где - известное число.

Список литературы.

1. Астапов В.Н., Бакан Г.М., Сальников Н.Н. Оценивание с помощью эллипсоидов параметров линейной регрессии при линейных ограничениях на вектор входных переменных //Автоматика. – 1993. - №1. – С.28 – 34.
2. Астапов В.Н., Бакан Г.М., Коцюба А.Т., Одинцова Е.А. Математическое моделирование технологического процесса смешивания бензиновых фракций //Автоматика. – 1992. - №5. – С. 31 – 37.
3. Астапов В.Н. Методологические и схемотехнические решения в системах контроля и управления на нефтеперерабатывающем заводе – Самара: Изд-во СНЦ РАН, 2006. 286 с.
4. Савин М.М., Елсуков В.С., Пятина О.Н. Теория атоматического управления: Учеб. пособие / Под ред. д.т.н., проф. В.И. Лачина – Ростов-на-Дону; Феникс, 2007 – 469 с.
5. Лукас.В.А. Основы фази-управления: Учеб. пособие. – Екатеринбург, 2000. – 60 с.
6. Нечеткие множества в моделях управления и искусственного интеллекта/ Под ред. Д.А. Поспелова – М.: Наука, 1986 – 312с.
7. Мелихов А.Н., Бернштейн Л.С., Коровин С.Я. Ситуационные советующие системы с нечеткой логикой – М.: Наука, 1990 – 272с.